Возрастание и убывание функции — справочник студента

Редакция репетитора по математике: нулями функции называются такие числа х, у которых соответствующие игреки равны нулю.
Как найти нули функции без графика? Составьте и решите уравнение f (x)=0, то есть приравняйте аналитическое выражение функции (правую часть ее записи) к нулю.

Как найти по графику? Определите абсциссы точек пересечения графика с осью Ох.
Оформление: , если

7) Четность и нечетность функции.
а) Четность. Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого верно равенство .

Редакция репетитора по математике:функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Уточнение репетитора по математике: равенство можно получить только тогда, когда функция имеет симметричную область определения, поэтому проверку этой симметричности при решении задач часто опускают.

Как определить четность функции по графику?График четной функции должен быть симметричен оси Оу.

Пояснения репетитора по математике: симметрия графика означает то, что он состоит из двух частей, одна из которых является зеркальным отражением другой.

8) Нечетность. Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого верно равенство .

Редакция репетитора по математике:функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Уточнение репетитора по математике: равенство можно получить только тогда, когда функция имеет симметричную область определения, поэтому проверку этой симметричности при решении задач часто опускают.

Как определить нечетность функции по графику?График нечетной функции должен быть симметричен началу координат, Пояснения репетитора по математике: симметрия означает то, что если какая-то точка лежит на графике, то и симметричная ей точка (с противоположными координатами) тоже должна лежать на графике.

9) Наименьшее и наибольшее значение функции.
Число a называется наименьшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента из этого промежутка верно неравенство .

1. Число a называется наибольшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента из этого промежутка верно неравенство .
2. Материалы для подготовки к ГИА по математике, 9 класс.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике, профессиональный репетитор и методист. Москва, Строгино.

Источник: https://ankolpakov.ru/2011/03/11/osnovnye-svojstva-funkcij/

Возрастающие функции, убывающие функции

Определение: Функция называется возрастающей на некотором множестве , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

— растет, если для любых

Свойства возрастающей функции

1. Если функция возрастает на некотором множестве , то большему значению функции соответствует большее значение аргумента из этого множества



2. Сумма нескольких возрастающих на данном множестве функций является возрастающей функцией на этом множестве.
3. Если функция возрастает, то обратная к ней функция также возрастает.
4. Если в составленной функции функция возрастает функция возрастает, то и функция возрастает. Результат последовательного применения двух возрастающих функций — возрастающая функция.
5. Результат последовательного применения возрастающей и убывающей функции есть функция убывающая.
6. Любая растущая на заданном множестве функция каждого приобретает свое значение только в одной точке из этого множества.

— возрастающая функция

— возрастающая функция

Признак возрастания функции

Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале.

Примеры функций возрастают на всей области определения

Нисходящая функция

1. Определение: Функция называется убывающей на некотором множестве , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.
2. — приходит, если для любых

Свойства убывающей функции

1. Если функция спадаєна некотором множестве , то большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента из этого множества
2. Сумма нескольких нисходящих на данном множестве функций является убывающей функцией на этом множестве.
3. Если функция убывает, то обратная к ней функция также убывает.

4. Если в составленной функции функция убывает и функция убывает, то функция убывает. Результат последовательного применения двух убывающих функций — возрастающая функция.
5. Результат последовательного применения возрастающей и убывающей функции есть функция убывающая.

6. Любая нисходящая на заданном множестве функция каждого приобретает свое значение только в одной точке из этого множества.

— убывающая функция

— убывающая функция

Признак убывания функции

Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

Примеры функций, спадающими на всей области определения

Раздел: Функции и графики

• UK
• EN
• PT
• ES
• DE
• ZH
• JA
• HI
• BN
• AR

• Числа и выражения
• Уравнения и неравенства
• Функции и графики
• Алгебра и начала анализа
• Тригонометрия
• Комбинаторика
• Дробные числа
• Обучение по скайпу

Использование Cookies

Если Вы будете продолжать использовать данный веб-сайт, мы предполагаем, что Вы согласны получать все файлы cookie на всех сайтах Cubens. Получить подробную информацию можно здесь.

Источник: https://cubens.com/ru/handbook/functions-and-graphs/increasing-and-nondecreasing-functions

Возрастание и убывание функции

• Методическая разработка урока
• по математике
• «Признак возрастания (убывания) функции»

Преподаватель ГБПОУ СТТТ АО Мальцева О.В.

1. Цель урока
2. Создание условий для формирования знаний о признаке возрастание (убывания) функции.
3. Задачи урока
4. 1. Образовательные:
5. а) информировать студентов о признаке возрастания и убывания функции;
6. б) сформировать умения применения признаков при решении задач;
7. 2. Развивающие:
8. а) развивать познавательные умения и мышление (выделять главное, анализировать, сравнивать);
9. б) развивать умения при учебном труде (читать, писать);
10. 3. Воспитательные:
11. а) воспитывать положительное отношение к знаниям;
12. б) прививать навыки самоорганизации, самооценки и самоанализа.
13. Тип урока
14. Урок формирования умений и навыков
15. ТСО
16. Мультимедийный комплекс
17. Дидактический материал
18. Карточки с заданиями
19. Средства ИКС
20. Презентация
21. Место урока в учебном процессе

Урок разработан в соответствии с содержанием учебной программы по математике. Цели и задачи отвечают программным требованиям.

Урок по теме «Признак возрастание (убывания) функции» изучается в рамках раздела «Применение производной к исследованию функции». Для освоения данной темы студенты должны хорошо владеть понятием «Производная функции» и уметь находиться её, используя основные правила дифференцирования.

Литература для студентов и преподавателя

1. Алгебра и начла математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразов. учреждений: базовый уровень/ [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачев]. – 18 изд.-М.: Просвещение, 2012, -464 с.

2. Математика: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования/ М. И. Башмаков. – 10-е изд., стер.- М.: Издательство «Академия», 2015. – 256 с.

3. Математика. Сборник задач профильной направленности: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования/ М. И. Башмаков. – 5-е изд., стер.- М.: Издательство «Академия», 2014. – 208 с.

Литература для преподавателя

1. Математика. Книга для преподавателя: методическое пособие для НПО и СПО/ М. И. Башмаков. – 8-е изд., стер.- М.: Издательство «Академия», 2013. – 256 с.

Организационная структура урока

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

3. Проблемная ситуация

4. Изучение нового материала

5. Применение знаний, формирование умений

6. Подведение итогов. Домашнее задание

• Конспект урока
• 1. Организационный момент
• Приветствие участников образовательного процесса
• 2. Актуализация опорных знаний
• Проводиться устный опрос студентов.
• Задание. Вычислить производную следующих функций:
• 3. Проблемная ситуация

Какой рисунок иллюстрирует эту ситуацию (см. слайд 1)?

1. (Предполагаемый ответ: рисунок 2)
2. Как называется функция, соответствующая этому графику — возрастающая (по точкам графика «поднимаемся в гору»)
3. Назовите промежутки возрастания и убывания функций: и , графики которых представлены на слайде 2.
4. А где будет возрастать и убывать функция ? (Предполагаемый ответ: Надо построить график функции)
5. Попробуйте сформулировать тему нашего урока.
6. 4. Изучение нового материала (В тетради подписывается тема урока)
7. Необходимо сформулировать цели нашего урока:
8. -определить признак возрастания и убывания функции;
9. -научиться использовать признак для исследования функции.
10. Как мы будем формулировать признак?
11. Работа по учебнику: найти и прочитать признак возрастания и убывания функции.

Давайте запишем признак в тетрадь (см. слайд 5).

На слайде представлен график функции. С помощью признака определите промежутки возрастания и убывания функции.

Прочитайте еще раз формулировку признака и ответьте на вопрос: «Какие действия необходимо выполнить, чтобы определить промежутки возрастания и убывания?» (Предполагаемый ответ: Найти производную функции, определить ее знак)

Составим и запишем полный алгоритм в тетради (см. слайд 7).

• Памятка: Алгоритм определения промежутков возрастания и убывания функции
• 1.Найдите область определения функции f
• 2. Найдите производную функции f '
• 3.Найдите точки, в которых производная равна нулю и не существует

4. Отметить на области определения точки, в которых производная равна нулю и не существует (см. п.3)

5.Расставьте знаки производной в каждом из полученных промежутков.

6.Определите промежутки возрастания и убывания

7.Запишите ответ

Задание. Применим алгоритм для нашей функции и найдем промежутки возрастания и убывания функций без построения графика функции.

1. Образец (выполняется на доске)
2. 1)Df=
3. 2)
4. 3)

х1=1 или х2=-1

4) f ' + — +

• f -1 1
• f '(-10)0
• f '(0)
• f '(2)0
• Ответ: функция f(х) возрастает на
• функция f(х) убывает на
• 5.Применение знаний, формирование умений
• Задание 1.Определите, где возрастает и убывает функция
• .
• На слайде вы видите верное решение и правильная запись – ответ должен быть такой: функция f(х) возрастает на
• функция f(х) убывает на

Задание 2. Исследуем функцию на возрастание и убывание. В этом примере производная обращается в ноль только в одной точке – точке х=2. И, значит, функция возрастает на а убывает на .

Задание 3. Исследуем следующие функции на возрастание и убывание. В чем отличие этих функций от предыдущих? (Предполагаемый ответ: Количество промежутков возрастания и убывания может быть различным)

1. Ответ: f(x) возрастет ( Ответ: f(x) убывает (
2. Задание 4.Выполним самостоятельную работу по вариантам:
3. 1 вариант
4. Найти промежутки возрастания функции
5. 2 вариант
6. Найти промежутки убывания функции

1. 6.Подведение итогов. Домашнее задание

2. Задание 5. Изменение курса франка по отношению к евро в течение месяца происходило по правилу . С какого дня в данном месяце началось снижение курса франка? (Предполагаемый ответ: с 2 дня месяца)

3. Сверим решение со слайдом.

4. Подведем итоги. Как вы думаете, где можно использовать полученные знания на уроке? (Предполагаемый ответ: Для построения сложных графиков функций, определять поведение функции без построения графика функции).

5. В начале урока были сформированы две цели урока:

6. -определить признак возрастания и убывания функции;

7. -научиться использовать признак для исследования функции.

8. Отметьте знаком : «+» — те цели, выполнение которых удалось на уроке;

9. «-» — те, выполнение которых не удалось на уроке и знаком «?» — те, над реализацией которых необходимо еще поработать на ваш взгляд.

10. Домашнее задание

11. Найти промежутки возрастания и убывания для функций:

12. на оценку «3» — ,

13. на оценку «4» и «5» — ,

Источник: https://multiurok.ru/files/vozrastaniie-i-ubyvaniie-funktsii-2.html

Связь производной с возрастанием/убыванием функции

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе.

Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин.

Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля».

Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов.

Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» — здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков.

К каждому из них, например, на нахождение производной функции, прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.

Источник: https://shkolkovo.net/catalog/vzaimosvyaz_funkcii_i_ee_proizvodnoj/svyaz_s_vozrastaniemubyvaniem_funkcii

Лекции — Математический анализ — файл Глава — 2.doc

Лекции — Математический анализскачать (4427.7 kb.)Реклама MarketGid:

Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Итак, x = x – x0, y = f(x) – f(x0). Из равенства x = x – x0 получаем равенство

x = x0 + x, тогда y = f(x0 + x) – f(x0).

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается (x0).

Итак,

Пример 1. Найти производную для функции f(x) = x2 в точке x0 = 3.

Решение

Е

сли (x0) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x0. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x0 и ее непрерывностью в этой точке.

Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство: Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Дано, что f'(x0) существует, т.е. есть некоторое число. Покажем, что выполняется равенство (*):

Итак, доказано, что f(x) непрерывна в точке x0.

Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f(x) = | x | непрерывна в точке x0 = 0, так как .

• Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x0:

не существует, т.е. f(x) не дифференцируема в точке x0 = 0. Рассмотрим геометрический смысл производной.

На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции y = f (x). Точка M0 на графике имеет координаты x0, f(x0), другая точка графика M – координаты x0 + x, f(x0 + x).

Прямая MM является секущей для линии y = f(x), она наклонена к оси Ox под углом . Пусть (x0) существует, т.е. есть некоторое число. Из MMА получаем: (известно, что tg – угловой коэффициент прямой MM).

Если x  0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M0, при этом секущая MM, поворачиваясь вокруг точки M0, стремится занять предельное положение, т.е.

Таким образом, но tg = k есть угловой коэффициент касательной MK.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x0: (x0) = k = tg.

В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной MK имеет вид: y – f (x0) = (x0)(x – x0).

Переходим к рассмотрению механического смысла производной.

П

усть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.

Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0 (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t0. Рассмотрим другой момент времени

t0 + t. За время t0 пройденный точкой путь равен: S0 = f (t0), за (t0 + t) пройдено расстояние S = f(t0 + t), и точка оказалась в положении M, тогда за время t пройден путь MM и он равен:

S – S0 = f(t0 + t) – f(t0) = S.

Средняя скорость Vср за пpомежуток времени t равна: Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени t. Скоростью в момент времени t0 (обозначим V(t0)) называется предел средней скорости Vср при t  0. Итак,

Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t0 есть скорость в момент времени t0.

Скачать файл (4427.7 kb.) Нажми чтобы узнать.

Источник: https://gendocs.ru/v24899/?cc=2&page=9