Умножение вектора на число — справочник студента

  • Цели урока:
  • 1) рассмотреть правило умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач;
  • 2) повторить и систематизировать знания по теме «Векторы»;
  • 3) совершенствовать навыки выполнения действий над векторами.
  • Ход урока
  • I. Организационный момент
  • II. Контроль домашнего задания
  • На доске приготовить заранее чертежи к задачам № 327, 330 и вызвать двоих учеников для записи решений этих задач по уровням.
  • Кроме того, вызвать 1 ученика для записи и объяснения решения задачи № 335 и задачи № 340, если ребята справились с творческим заданием.
  • № 327 (рис. 1)

Умножение вектора на число - Справочник студента Умножение вектора на число - Справочник студента

№ 330 (рис. 2)

Умножение вектора на число - Справочник студента

Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы Умножение вектора на число - Справочник студента соответственно через Изобразите на рисунке векторы: Умножение вектора на число - Справочник студента

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Решение:

Умножение вектора на число - Справочник студента Умножение вектора на число - Справочник студента

№ 335

Умножение вектора на число - Справочник студента Умножение вектора на число - Справочник студента Умножение вектора на число - Справочник студента

  1. Решение: Поэтому нужно найти вектор такой, что Из этого равенства находим: или
  2. В это время обсудить конспекты (выполненные дома) и повторить в вопросно-ответной форме материал предыдущего урока: правила сложения и вычитания векторов, свойства сложения, правило многоугольника для суммы нескольких векторов.
  3. III. Актуализация опорных знаний (задания для самостоятельного выполнения с последующей проверкой)
  4. № 1. Найти:

(Ответы: ..

  • № 2. Начертите неколлинеарные векторы Постройте векторы:
  • IV. Изучение нового материала
  • Сформулировать правило умножения вектора на число: если то при при k < 0. Если
  • Подробно рассмотреть на примерах свойства умножения вектора на число и попросить ребят изобразить схему в тетрадях.
  • Умножение вектора на число
Сочетательный закон Первый распределительный закон Второй распределительный закон
  1. Обратить внимание учащихся на то, что так же, как и в планиметрии, можно доказать следующее утверждение: если векторы коллинеарные и то существует число k, такое, что (рекомендовать повторить доказательство учащимся, проявляющим интерес к геометрии)
  2. V. Закрепление изученного материала
  3. 1) Решение задач из учебник.
  4. Задача № 345

Точки Е и F — середины сторон АВ и ВС параллелограмма ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор через вектор (рис. 4).

  • Решение: Так как EF — средняя линия треугольника ABC, то EF || АС и EF = 1/2AС. Поэтому
  • Задача № 347
  • а) Упростите выражение
  • Решение:
  • Задача № 348

Дан параллелепипед ABCDA1В1C1D1. (рис. 5).

  1. Докажите, что
  2. Решение: Из рисунка видно, что
  3. Практическая работа (выполняется на листочках и сдается на проверку)
  4. 1) Отметьте на прямой а три точки А, В и М так, что:
  5. 2) Точка О — произвольная точка пространства. Для каждого случая из а-г 1) выразите вектор через векторы
  6. 3) Точки А, В и М лежат на одной прямой, причем Найдите а, если для данных точек и произвольной точки О выполняется равенство:
  7. Постройте точки, удовлетворяющие каждому из этих равенств.
  8. VI. Подведение итогов (блиц-опрос по вопросам):
  9. — Что называется произведением ненулевого вектора на число?
  10. — Что называется произведением нулевого вектора на число?
  11. — Свойства умножения вектора на число.
  12. — Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарные; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарные; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если
  13. Домашнее задание
  14. I уровень — № 349, 351; II уровень — № 352, 353; творческое задание — № 385.
  15. Решение домашних зада.
  16. № 351
  17. Векторы а также коллинеарные. Докажите, что коллинеарные векторы:
  18. Доказательство:
  19. 1 способ
  20. — коллинеарные, — коллинеарные.
Читайте также:  Закон стефана-больцмана - справочник студента

а) Прямые, на которых лежат либо параллельны, либо совпадают. Прямые, на которых расположены либо параллельны, либо совпадают. Две прямые, параллельные третьей, параллельны ( значит, ). Таким образом, расположены либо на нескольких прямых, либо на одной, то есть коллинеарные;

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • б) — коллинеарные, коллинеарен значит, коллинеарен и и По условию, коллинеарные, значит, и тоже коллинеарные;
  • в) Так как коллинеарные, то коллинеарные. По условию коллинеарные, тогда и коллинеарные;
  • г) коллинеарные, поэтому коллинеарен По условию коллинеарные, значит, и коллинеарные.
  • 2 способ
  • а) Отсюда
  • б) коллинеарные;
  • в) коллинеарные;
  • г) коллинеарные.
  • № 352
  • Векторы коллинеарные.
  • Докажите, что векторы коллинеарные.
  • Доказательство: Примем По условию, то есть где Равенство доказывает, что коллинеарные.
  • № 353
  • Векторы коллинеарные.
  • Докажите, что векторы коллинеарные.
  • Доказательство: По условию, то есть где Равенство показывает коллинеарность
  • Творческое задание
  • № 385

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство (рис. 6).

  1. Доказательство:
  2. 1 способ.
  3. Для произвольного ΔPQR Запишем равенство для каждой грани пирамиды OABCD: Сложив их, получим: или
  4. Для ΔOKL имеем для ΔOMN имеем Итак, поэтому

Источник: https://compendium.su/mathematics/geometry10/60.html

Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

На данном уроке мы рассмотрим новую операцию над векторами – умножение вектора на число. Кроме того, мы сформулируем законы умножения и научимся применять знания о векторах к решению различных задач.

На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие вектора, ввели определения коллинеарных, сонаправленных, противонаправленных и равных векторов. Научились складывать и вычитать векторы, ввели законы сложения.

Теперь нам нужно научиться умножать вектор на число.

Особенность данной операции состоит в том, что число – это просто численная величина, не имеющая направления, а вектор – это направленный отрезок, имеющий численное измерение и направление.

Рассмотрим такую ситуацию: по дороге едут два автомобиля, скорость одного – 30 км/ч, а второго – 60 км/ч. Очевидно, что скорость второго автомобиля в два раза больше скорости первого, и скорость второго можно выразить через скорость первого, умножив скорость первого на два.

Определение

Произведение ненулевого вектора  на число k – такой вектор , длина которого равна , причем векторы  и  сонаправлены при  и противонаправлены при . Произведение нулевого вектора на любое число – это нулевой вектор.

Пусть задан вектор  (см. Рис. 1). Вектор  – это вектор, направленный в ту же сторону, но длина его в два раза больше.

Читайте также:  Виды организационно-правовых форм организаций - справочник студента

Вектор  имеет длину, в два раза большую, чем вектор  и ему противонаправлен.

Умножение вектора на число - Справочник студента

  • Рис. 1
  • Законы, которым подчиняется операция умножения вектора на число:
  •  – сочетательный закон;

Умножение вектора на число - Справочник студента Умножение вектора на число - Справочник студента

Анализ данных законов показывает, что действия с векторами аналогичны действиям с алгебраическими выражениями.

Пример 1 – упростить выражение:

Умножение вектора на число - Справочник студента

Раскроем скобки:

Умножение вектора на число - Справочник студента

Приведем подобные:

Умножение вектора на число - Справочник студента

Пример 2: Дан отрезок АВ (см. Рис. 2). Точка С – середина отрезка, точка О – произвольная точка плоскости. , . Доказать, что вектор .

  1. Решение:
  2. 1 способ: применим правило треугольника и выразим вектор  как сумму двух векторов:
  3. С другой стороны:  
  4. Получили систему двух уравнений:

Умножение вектора на число - Справочник студента

  • Рис. 2
  • Сложим уравнения системы:

Умножение вектора на число - Справочник студента

  1. , так как С – середина АВ, значит, модули данных векторов равны, но они противонаправлены, значит, их сумма – это нулевой вектор.
  2. Получаем:
  3. Поделим обе части на два:

Умножение вектора на число - Справочник студента

Что и требовалось доказать.

2 способ:

Умножение вектора на число - Справочник студента

  • Раскроем скобки и приведем подобные:
  • Пример 3: Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Мы знаем, что средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых сторон, кроме того, мы знаем, что основания трапеции параллельны.
  • Воспользуемся правилом многоугольника и выразим вектор  как сумму векторов:
  • Рис. 3
  • С другой стороны,
  • Получаем систему уравнений:
  • Выполним сложение уравнений системы, получаем:

Векторы  противоположны и дают в сумме нулевой вектор, так как М – середина АВ, то есть модули данных векторов равны, кроме того, очевидно, что они противонаправлены. Аналогично векторы  дают в сумме нулевой вектор. Таким образом, получаем:

  1. Поделим обе части на два:

Таким образом, мы доказали, что средняя линия равна полусумме оснований. Кроме того, равенство вектора  сумме  говорит о том, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

Итак, в данном уроке мы изучили операцию умножения вектора на число и сформулировали законы умножения. Кроме того, мы научились применять факты о векторах к решению различных задач.

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Задание 1: для произвольного четырехугольника MNPQ докажите, что: ; .
  2. Задание 2: сторона равностороннего треугольника  равна а. Найдите: ; ;;;.
  3. Задание 3: точки M и N – середины сторон АВ и ВС треугольника . Выразите векторы , , ,  через векторы , .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/vektory/umnozhenie-vektora-na-chislo-primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach

Вектор: определение, сложение, умножение, скалярное и векторное произведение

В статье узнаете что такое вектор, векторные компоненты, единичный вектор, как складывать вектора, умножать вектора на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведение двух векторов.

Сохранение физической величины с вектором обычно означает совершенно иную ситуацию, чем просто сохранение ее скалярной длины. Постоянное значение импульса p (скаляр) может означать совершенно иную ситуацию, чем постоянный вектор p.

Умножение вектора на число - Справочник студента

Вектор должен иметь три необходимые характеристики: значение (длина), направление, начало и конец.

Любое изменение любого из этих признаков — длины, направления или начало с концом — означает, что создан другой вектор. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют равную длину, направление и начало с концом.

Векторные компоненты

Компонентами вектора являются его проекции на оси системы координат.

Также в трехмерном пространстве векторы A называются векторами, которые являются проекциями этого вектора A на оси системы координат.

Имея вектор A, мы погружаем его в систему координат x, y, z. Векторы, являющиеся проекциями вектора A на оси системы, называются векторными компонентами вектора A. Вектор A является векторной суммой составляющих векторов Ax, Ay и Az .

Единичный вектор

Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор, на который он ссылается, важен, но его длина всегда равна 1.

Единичные векторы осей координат. Мы также присваиваем единичные векторы оси системы отсчета. а) относится к правовращающей системе и б) к левосторонней системе.

Сложение векторов

Сумма вектора обычно не совпадает с суммой скалярных величин:

Добавление двух или более векторов друг к другу сводится к добавлению их компонентов, то есть проекций на опорные оси. Результирующий вектор называется случайным вектором. Для двух векторов результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Метод параллелограмма.

 В случае большего числа векторов результирующий вектор получается путем рисования одного из этих векторов, затем в конце первого вектора мы начинаем второй, в конце второго мы даем начало третьего и так далее.

Полученный вектор является вектором, начало которого находится в начале первого из добавленных векторов. и его конец в конце последнего.

 При изменении порядка сложения результирующий вектор (красный) не меняет длину, направление:

Умножение вектора на число - Справочник студента

Это правило добавления векторов также действует в трехмерном пространстве:

Умножение вектора на число - Справочник студента

Умножение вектора на скаляр

Самым простым умножением, выполняемым на векторах, является умножение вектора на скаляр (число). Такое умножение не меняет направление вектора, но, как правило, меняет его длину и может изменить его конец (когда скаляр является отрицательным числом). Когда вектор A умножается на α-скаляр, мы получаем новый вектор B:

Скалярное произведение и векторное произведение двух векторов являются очень важными направления в физике и геометрии. Существует также смешанное произведение трех векторов.

Скалярное произведение двух векторов

Формально скалярное произведение векторов представляет собой точку, и ее значение определяется зависимостью

Скалярное произведение описывает способ, которым оба вектора видят друг друга, то есть как долго тень (проекция) отбрасывает каждый из векторов в своего партнера, когда угол между ними равен φ

B cos φ — длина тени, которую вектор B выбрасывает в вектор A. Аналогично, A cos φ — длина тени, которую вектор A выбрасывает в вектор B.

Когда длина проекции (тени) одного из векторов равна нулю, тогда длина проекции второго вектора равна нулю, то есть A • B = 0. Это означает, что эти векторы не работают в одном и том же направлении вообще. Работа, которую мы выполняем при движении автомобиля, зависит не только от приложенной силы F, но и от угла, который создает направление силы и направление пути.

Так как единичные векторы оси системы отсчета х, у и z, которые обозначают векторы ехеY и еz, перпендикулярны друг к другу, то в виду того, что А • В = АВcosφ и что cos 0 = 1 и cos 90o = 0, мы получаем произведение значений этих единичных векторов:

Выполнение аналогичного умножения на векторы A и B

мы получили новое выражение для скалярного произведения двух векторов A и B

Значение скалярного произведения двух векторов A и B можно записать в виде двух эквивалентных выражений:

Сравнивая оба выражения, мы находим выражение для угла между векторами A и B:

Векторное произведение двух векторов

Многие важные величины в науке и технике определяются вектором, который является произведением двух других векторов. В таких случаях произведение этих векторов, называемое векторным произведением , приводит к третьему вектору.

В этом случае задача состоит в том, чтобы определить все три особенности вектора C, являющегося произведением векторного произведения векторов A и B:

  • длина
  • направление
  • начало и конец

Произведение векторов A и B , приводящее к третьему вектору C, отмечено диагональным крестом

Направление

Вектор С такой, что вектор перпендикулярен к плоскости, образованной векторами A и B, которая перпендикулярна как к вектору A и B.

Длина

вектор С равен значению параллелограмма, построенного на векторах А и В. Числовой C = ABsin φ.

  • Начало и конец
  • Вектор С определяет правое направление движения шнека во время нанесения первого вектора, а именно А или B.
  • Изменение порядка применения векторов означает изменение знака векторного произведения.

Таким образом, действительное свойство векторного произведения выглядит следующим образом A*B= -B*A

В отличие от скалярного произведения, векторное произведение некоммутативно.

Мы встретимся с векторным произведением на протяжении всего курса физики. Это также часто встречается в механике, а также в науке об электричестве и магнетизме.

В повседневной жизни векторное произведение находится в виде момента силы во вращательном движении. Мы воздействуем на вращательное движение тем эффективнее, чем больше применяем момент силы.

При откручивании гайки гаечным ключом речь идет не только о силе F, но и о способе ее применения (длина рычага R и угол, который создает рычаг с направлением силы).

Все эти зависимости элегантно включены в одно выражение в виде векторного произведения:

Хотя составляющие вектора C, который является произведением векторного произведения векторов A и B, уже включены в его длину и направление, но имея данные составляющих векторов A и B, мы можем использовать их для определения компонентов вектора C в форме матрицы:

Удобнее всего рассчитать этот определитель, расширив относительно первой строки.

Смешанное произведение трех векторов

Смешанное произведение трех векторов является скалярным значением, равным значению детерминанта

Геометрическая интерпретация: смешанное произведение численно равно объему V параллелепипеда, растянутому по векторам A, B и C:

Циклическая корректировка векторов в смешанном произведении не меняет значение этого произведения, то есть:

Источник: https://meanders.ru/vektor.shtml

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Умножение вектора на число - Справочник студента

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с2. Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .

Умножение вектора на число - Справочник студента

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций.

Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Умножение вектора на число - Справочник студента

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

  • При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Читайте также:  Пьезоэлектрики - справочник студента

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

  1. Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
  2. Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
  3. Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число.

    Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

  4. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

    А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

  5. Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии.

Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть 1 и задачу 13. Просто, понятно и доступно. Автор — репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Мега-распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-na-ege-po-matematike-v-zadache-v6-dejstviya-nad-vektorami/

Действия над векторами /qualihelpy

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

  • Линейные действия над векторами
  • К линейным действиям с векторами относят сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число.
  • Сложение векторов с заданными координатами

Чтобы сложить (вычесть) векторы   и  необходимо сложить (вычесть) их соответствующие координаты:Умножение вектора на число - Справочник студента (3.8)

Умножение вектора на число

Чтобы умножить вектор   на число , необходимо каждую координату вектора   умножить на это число:Умножение вектора на число - Справочник студента (3.9)

Сочетая действия сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число, получим линейную комбинацию векторов. 

Аналогично выполняются линейные действия над -мерными векторами. 

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов   и   называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:  (3.10)Угол между векторами    и     находят по формуле:. (3.11)Векторы    и     перпендикулярны, если угол между ними равен  . Поскольку   то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.  Проекцией вектора  на вектор    называют длину отрезка, концами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора   на вектор   . Записывают: пр.  На рисунке 3.7  пр Проекцию вектора на вектор находят по формуле:  пр  (3.12) где  – угол между векторами  и .

Свойства скалярного произведения:

1) 2)  где 3) 4) Скалярное произведение векторов   и   можно найти и по формуле: (3.13)Аналогично в -мерном пространстве: (3.13.1)

Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов  и   называют третий вектор , который перпендикулярен как вектору  , так и вектору Векторное произведение векторов   и   находят по формуле: , (3.14)где векторы    и  – орты.Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , находят по формуле:  (3.15)

Площадь треугольника, построенного на этих же векторах, находят по формуле: 

 (3.16)

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим векторы  ,  и  Смешанным произведением этих векторов называют число, которое получено в результате скалярного умножения вектора   на векторное произведение векторов   и  Смешанное произведение векторов  и   и   находят по формуле: . (3.17)Объем параллелепипеда, построенного на векторах  ,    и  , находят по формуле:  (3.18)Объем пирамиды, построенной на векторах  ,    и  , находят по формуле:  (3.19) Пример 1.  Найдите вектор если известно, что   и   Решение. Согласно формулам 3.8 и 3.9 получим:  Ответ:  Пример 2. Найдите скалярное произведение векторов   и  , если известно, что  ,   и  . Решение. Согласно формуле 3.10 получим: Ответ: Пример 3. Найдите скалярное произведение векторов   и  Решение. Согласно формуле 3.13 запишем: Ответ: Пример 4. Найдите угол между векторами  и Решение. Согласно формуле 3.11 получим:Ответ: Пример 5. Найдите векторное произведение векторов   и Решение. Согласно формуле 3.14 запишем: Ответ: Пример 6. Найдите смешанное произведение векторов  ,  и  . Решение. Согласно формуле 3.17 запишем:Ответ:  1. Множество всех -мерных векторов, в котором для любых двух векторов определена их сумма, и для любого действительного числа определено произведение вектора на это число, называется действительным -мерным векторным арифметическим пространством .2. Пространство   со скалярным произведением (3.13.1) называют евклидовым

Источник: http://helpy.quali.me/theme/university/64

Умножение вектора на число

  • УРОК № 47
  • Тема. Умножение вектора на число
  • Цель урока: формирование умения умножать вектор на число; изучение свойств умножения вектора на число; формирование умений применять изученные значение и свойства к решению задач.
  • Тип урока: комбинированный.
  • Наглядность и оборудование: таблица «Декартовы координаты и векторы на плоскости»[13].
  • Требования к уровню подготовки учащихся: описывают умножения вектора на число; откладывают вектор, равный произведению вектора на число; формулируют свойства умножения вектора на число; применяют изученные определения и свойства к решению задач.
  • Ход урока
  • И. Проверка домашнего задания
  1. 1. Проверить наличие выполненного домашнего задания и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при его выполнении.
  2. 2. Фронтальная беседа
  3. 1) Дайте определение суммы двух векторов. Опишите способы построения вектора суммы двух векторов.

  4. 2) Дайте определение разности двух векторов. Опишите способы построения вектора разности двух векторов.
  5. 3) Сформулируйте законы сложения и вычитания двух векторов.
  1. II.

    Поэтапное восприятие и осознание нового материала

  2. Умножение вектора на число
  3. Произведением вектора на действительное число λ называетесь вектор = λ, колінеарний вектора , причем:
  1. 1) = |λ| · ;
  2. 2) если λ > 0, то вектор , одинаково направленный с вектором ;
  3. 3) если λ 0, то вектор противоположно направленный вектору (рис. 209).

Умножение вектора на число - Справочник студента

Свойства произведения вектора на число

  1. 1) (λ1λ2) = λ1(λ2) (связующий закон);
  2. 2) λ1 + λ2 = (λ1 + λ2) (распределительный закон);
  3. 3) λ + λ = λ( + ) (распределительный закон);
  4. 4) 0 · = λ · = .

Два ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда = λ, λ — отличное от нуля число.

Координаты вектора λ равны произведению числа λ на соответствующие координаты вектора . Если векторы заданы на плоскости, то λ(а1; а2) = = (λа1; λа2).

Решение упражнений

    1. 1. Постройте вектор , длина которого равна 4 см. Построй то с помощью линейки векторы:

а) 2; б) -2; в) ; г) -.

    1. 2. Дано (1; -3), (-2; 1). Найдите координаты вектора:

а) 2; б) -3; в) 2 + 3; г) 2 — 3.

    1. 3. Найдите |2|, если (1; 2).
    2. 4. Докажите, что векторы (1; 2) и (0,5; 1) одинаково направлены, а векторы (-1; 2) и (0,5; -1) противоположно направлены.
    3. 5. Абсолютная величина вектора λ равна 5. Найдите λ, если:

а) (-6; 8); б) (3; -4).

    1. 6. В паралелограмі ABCD О — точка пересечения диагоналей, К — середина стороны CD. Выразите векторы и через векторы и .

III. Закрепление и осмысление нового материала

Решение задач

  1. 1. В треугольнике ABC AM — медиана. Докажите, что = ( + ).
  2. 2. Точки М и N — середины отрезков АВ и CD соответственно (рис. 210). Докажите, что = ( + ).

Умножение вектора на число - Справочник студента

  1. 3. Дан параллелограмм ABCD, = , = . Выразите векторы , , и через и .

IV. Домашнее задание

  1. 1. Изучить теоретический материал.
  2. 2. Решить задачи.
  3. 1) Даны векторы (3; 2) и (0; -1). Найдите вектор = -2 + 4 и его абсолютную величину.
  4. 2) В паралелограмі ABCD О — точка пересечения диагоналей, М — середина ВС. Выразите и через векторы и .

V. Подведение итогов урока Вопрос к классу

  1. 1. Дайте определение умножения вектора на число.
  2. 2. Сформулируйте свойства произведения вектора на число.

Источник: http://na-uroke.in.ua/47-123.html

Урок 9 умножение вектора на число. — презентация

  • 1 УРОК 9 УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
  • 2 ЗАДАЧА1 Найдите:
  • 3 ЗАДАЧА2 Докажите:
  • 4 ЗАДАЧА3 ABCD-прямоугольник AB=5; AD=12. Докажите: Найдите:

5 Умножение вектора на число.

Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и сонаправлены при и притивоположно направлены при. ak a b a k k>0 b k

6 Умножение вектора на число. a b2b 2bb b2b2= 2 a1 2 a1a 2 a1a 21=

7 Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. o a o = Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. o o k = Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. ak aka a — 2 a — a 12 1 a 1 2

  1. 8 A BCDN MRESF HJKLZ Q VTYU Назовите вектор, который получится в результате умножения. I OPXG
  2. 9 XT = XT х – 43 – 0 СК = JO х A BCDN MRESF HJKLZ Q VTYU I OPXG JO = CK х XD = CK х NN = XD х ХТ = XD х не существует х не существует 1 TX = XT х
  3. 10 2 ВК = ОК х3 A C O K T B О – точка пересечения медиан треугольника.31 – КO = ВK х ОВ = КО х
  4. 11 х DO = KF –4 –4 A C 7 TB AC = TВ х 3 TВ = 7TВ = 7TВ = 7TВ = 7 AC = 3 O D KF 10 2,5 DO = 10 KF = 2,5 73 TB = AC х 37 KF = DO х 41 –
  5. 12 х D S LK SD = LK SDLK Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK1,25 A C TB ТВ = АС х TBАС Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС -0,75
  6. 13 BC = DA 8 ВС ABCD – трапеция. А D 10 х –0,8 –0,8 DA = BC х – 810
  7. 14 – 3 8В С ABCD – параллелограмм. CS : SB = 5 : 3 А D BS = DA х – 8 3S х DA = BS
  8. 15 Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон Первый распределительный закон Второй распределительный закон k (a + b) = ka + kb (k+l)a = ka + la Для любых, и любых чисел, справедливы равенства:abbkl1 2 3

16 B O a k = 2, l = 3. Рисунок иллюстрирует сочетательный закон. Представлен случай, когда k = 2, l = 3. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон 1 B OA OВ = 2OA = 2(3 ) a aa a OВ = 6 a a a = (2 3) a aa a

17 B k = 3, l = 2. Рисунок иллюстрирует первый распределительный закон. Представлен случай, когда k = 3, l = 2. Oa Первый распределительный закон 2 Aka l al al al a OA = ka ; AB = la la (k+l)a = ka + la OB = (k+l)a = ka + la

  • 18 Oa Второй распределительный закон 3 A k (a + b) = ka + kb Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон. На рисунке, коэффициент подобия ОАВ ОА 1 В 1 k A1A1A1A1 B1B1B1B1Bb a+b OA = ka k(a+b) kb AB = OB = ka+kb OB = OA + AB = С другой стороны, Таким образом,k(a+b) ka+kb=
  • 19 781 Пусть х = m + n, y = m – n Выразите через и векторыmn 2х – 2у 2х + у 21 –х – у 31
  • 20 ЗАДАЧА 4 Построить вектор С А В
  • 21 ЗАДАЧА 5 Построить вектор С А В

22 ЗАДАЧА6 Построить вектор. С А В = АВСD – параллелограмм. DCAAC

23 ЗАДАЧА7 Построить вектор.С А В DAC АВСD – параллелограмм.

24 АВСD – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1, К – середина DC, АВ =, AD =. Выразите через векторы и векторы: С А Вab aD b a b E K AE AK KE

25 Прежде, чем ввести еще одно действие – умножение вектора на число, обратимся к примеру. Представим себе, что один автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью, второй движется в том же направлении со скоростью, вдвое большей, а третий автомобиль движется им навстречу, т.е.

в противоположном направлении, и величина его скорости такая же, как у второго автомобиля.

ТАКСИ v 2v -2v Если мы изобразим скорость первого автомобиля вектором v, то естественно изобразить скорость второго автомобиля вектором, у которого направление такое же, как у вектора v, а длина в 2 раза больше, и обозначить этот вектор 2v. Скорость третьего автомобиля изобразиться вектором, противоположным вектору 2v, т.е.

вектором -2v. Естественно считать, что вектор 2v получается умножением вектора v на число 2, а вектор -2v получается умножением вектора v на число -2. Этот пример показывает каким образом следует вести умножение вектора на число и что при умножении получается вектор.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/202307

Ссылка на основную публикацию