Свойства функции тангенса — справочник студента

Свойства функции тангенс.

Определение. Числовая функция, заданная формулой у = tgx, называется тангенсом.

1.Областью определения функции тангенс является множество всех действительных чисел, кроме Z:D(tg) = {Z}.

Доказательство:

2.Множеством значений функции тангенс является множество всех действительных чисел:E(tg)=R.

Доказательство:

Любое заданное действительное число можно отложить на оси тангенсов и получить точку . Соединим полученную таким образом точку с центром единичной окружности и получим отрезок .

Алгебраическая величина отрезка есть значение тангенса угла между отрезком и осью абсцисс (рис.37).

Следовательно, для любого действительного числа всегда найдется угол, тангенс которого равен этому числу, то есть множество значений функции тангенс равно множеству действительных чисел.

Рис.37

3. Тангенс – нечетная функция: tg(-) = — tg.

Доказательство:

Отложим угол на единичной окружности. Отложим противоположный ему угол (-).Проведем лучи до пересечения с линией тангенсов. Алгебраичекие величины отрезков и равны тангенсам соответствующих углов. Из равенства треугольников и следует, что длины отрезков и равны, а значения точек и , лежащих на линии тангенсов, противоположны, что означает

tg (-) = — tg(рис.38).

Рис.38

4.Тангенс является периодической функцией с наименьшим положительным периодом : tg(Z,D(tg).

Доказательство:

Начальный радиус повернем на угол.

Этому углу поворота будет соответствовать точка, лежащая на линии тангенсов. Алгебраическая величина отрезка есть значение тангенса угла . Следовательно, значение точки есть также значение тангенса

угла . На единичной окружности есть еще точки, которым будет соответствовать тоже значение, что и значение точки (рис.39):

Рис.39

и т.д., что говорит о периодичности функции тангенс. Периодами функции тангенс являются числа и, наименьшим положительным периодом является .

Рассмотрим другой метод нахождения периода функции тангенс.

Обозначим искомый период за Т, тогда должно иметь место соотношение: tg(, откуда tg (= 0, или . Это условие необходимо и достаточно, чтобы число Т было периодом тангенса. Предыдущее равенство может выполняться только тогда, когда sinT = 0, отсюда Т = Z. Из этой общей формулы для периода тангенса следует, что наименьший положительный периодами этой функции будут числа и т.д., а наименьший положительный период будет при = 1: Т = .

5.Функция тангенс возрастает на каждом из промежутков области определения. Но функция тангенс не является возрастающей на всей области своего определения.

Рис.40

Для углов и , удовлетворяющих условию (рис.40) выполняется неравенство . Так как алгебраическая величина отрезков и есть соответствующее значение тангенса углов и, то tg. Заметим, что tg(не существует, так как линия тангенсов параллельна оси Оу. Если угол приближается к , оставаясь меньше , то тангенс неограниченно возрастает (tg при , где .

Рис.41

Для углов и, удовлетворяющих условию (рис.41), выполняется неравенствои, так как алгебраическая величина отрезков иесть соответствующие значения тангенсов углов и , то tg.При возрастании угла от до тангенс возрастает до 0. Если угол стремится к , оставаясь больше , то тангенс стремится к минус бесконечности (tg при, где ).

Для углов и, удовлетворяющих условию (рис.42), тангенс ведет себя так же, как и в I четверти, то есть возрастает от 0 до +.

• Если угол стремится к , оставаясь меньше , то тангенс стремится к плюс бесконечности
• ( tg при , где ).
• Рис.42
• Для углов и, удовлетворяющих условию (рис.43), тангенс ведет себя так же, как и во II четверти, то есть возрастает
• о
• Рис.43
• Рассмотрим другой подход в решении этого вопроса.
• Пусть дано два значения аргумента, принадлежащие I и IV четвертям:

т -до 0. Если угол стремится к , оставаясь больше , то тангенс стремится к минус бесконечности (tgпри , где ).

. Рассмотрим разность значений функции тангенс, соответствующим этим значениям аргумента: tg- tg.

Используя определения тангенса и тождество синуса разности, получим:

tg- tg = . В I и IV четвертях косинус положителен: cos; cos.Осталось определить знак числителя дроби:

1. Используя свойство числовых неравенств, умножим второе неравенство системы на минус единицу и, переписав второе неравенство, сложим его с первым:
2. _____________________________
3. -.

С учетом выбора аргументов получаем , то есть разность аргументов является углом, принадлежащим III и IV четвертям. В этих четвертях синус отрицателен: sin(. Итак, получили: Ζ.

По определению возрастания функции, доказали, что в I и IV четвертях тангенс возрастает. Аналогично доказывается возрастание тангенса во II и III четвертях.

Вместе с тем, функция тангенс не является возрастающей на всей области своего определения. В самом деле,

пусть и . Для этих значений аргумента получим:

tg, tg.Отсюда: , что является условием убывания.

6.Знаки тангенса.

• На этот вопрос можно ответить, используя определение тангенса: тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу.

7.График функции тангенс.

На основании того, что функция тангенс периодическая функция с наименьшим положительным периодом и ее нечетности достаточно построить график функции на отрезке , далее продолжить его нечетно на отрезке и, наконец, то, что получится на отрезке , продолжить периодически на всю числовую ось. Изучим поведение функции тангенс на отрезке .

1. Точки пересечения с осями координат:

а) с осью Оу (х = 0) у(0) = tg0 = 0; график функции тангенс проходит через начало координат;

б) с осью Ох (у = 0) (нули функции).

Найдем те значения х, при которых tgx = 0.Такими значениями будут =. Нас интересуют из отрезка : х= 0, остальные нули функции находятся вне

отрезка . Следовательно, единственный нуль функции тангенс, находящийся на отрезке , совпадает с левым концом этого отрезка.

2) Вертикальные асимптоты.

Тангенс определен всюду на отрезке , кроме точки х = . Так как tgx при х, где х, то прямая х = является вертикальной асимптотой для графика функции тангенс.

1. 3) Наименьшие и наибольшие значения функции на отрезке .
2. На основании того, что тангенс на отрезке возрастает от 0 до +, наименьшее значение будет 0, а наибольшего значения не будет, так как tgx , когда х.
3. 4) Интервалы знакопостоянства функции.

На отрезке функция тангенс всюду неотрицательна, то есть у = tgx . Следовательно, график функции лежит над осью Ох.

• П
• Рис.44
• Продолжим график тангенса на отрезок ,

осле того, как провели исследование функции тангенс, приступим к построению ее графика. Для этого найдем некоторые «опорные» точки его, и затем соединим их плавной линией с учетом свойств функции тангенс. Воспользуемся геометрическими соображениями. Разделим первую четверть единичной окружности и соответствующий ей отрезок оси Ох, например, на 8 равных частей. На оси тангенсов получим отрезки, численно равные тангенсам соответствующих углов. Эти отрезки перенесем в соответствующие точки оси Ох. Концы их соединим плавной линией и получим график функции тангенс на отрезке(рис.44)

используя нечетность тангенса: построим на отрезке график, симметричный графику тангенса на отрезке относительно начала координат (рис.45).

1. Рис.45
2. И
3. Рис.45
4. Рис.46

мея график тангенса на отрезке , используя его периодичность, сможем продолжить его на всю числовую ось (рис.46).

Источник: https://textarchive.ru/c-1862221.html

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
2. Область значений:
3. 

   (график симметричен относительно начала координат).

4. Функция периодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат:  
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания:   

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

 Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице.

Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при .

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке . 

Рис.2                                                                            Рис.3

Если  (рис.3,б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке .

Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке .

Учитывая нечетность функции  (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

• Рис.4
• Рис.5

Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

Рис.6

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

Свойства функции и ее график

1. График функции  (косинусоида).
2. Свойства функции 

1. Область определения: R (x — любое действительное число).
2. Область значений: 

3. Функция четная:

   (график симметричен относительно оси ).

4. Функция периодическая с периодом  : 
5. Точки пересечения с осями координат 
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания: 

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:.

Рис.7

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому  при 

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента  абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

Рис.8                                                                                                                          Рис.9

• Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу
• Рис.10

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

прямоугольника  около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

1. Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.
2. Тогда,
3. Таким образом, .

Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на  (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

• Рис.11
• Рис.12

Свойства функции  и ее график

1. График функции  (тангенсоида) 
2. Свойства функции :
3. 1. Область определения: 
4. 2. Область значений: 
5. 3. Функция нечетная: 
6. 4.

    Функция периодическая с периодом 

7. 5. Точки пересечения с осями координат:   
8. 6. Промежутки знакопостоянства:
9. 7. Промежутки возрастания и убывания:

8.

 Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Свойство функции  и ее график

• График функции  (котангенсоида)
• Свойства функции :
• 1. Область определения:
• 2. Область значений:
• 3. Функция нечетная: 

4. Функция переодическая с периодом 5. Точки пересечения с осями координат: 

1. 6. Промежутки знакопостоянства: 
2. 7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Источник: https://ya-znau.ru/znaniya/zn/73

Периодичность функций

Категория: 10-11 класс, Функции

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли  функция, и каков ее период.

Функция периодична, если  некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

Периодичная функция

Пример 1: функция имеет период, равный 2: и при . Найдите значение выражения .

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

Определение значения периодичной функции

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6  единиц и т.д., тогда . Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение , в точке (3,5) функция принимает значение .

Теперь найдем значение искомого выражения: .

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что .

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.

Пример 3. Проверим, периодична ли функция .

Функцию для удобства представим в виде: .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется: . Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция . Если функция периодична, то будет выполняться условие: , то есть . Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки . Тогда  , или . Это означает, что либо  , либо ,  то есть либо ,  либо ,  а так как главным считается наименьший  положительный период, то .

Определение периода функции

В данном примере делать проверку необязательно, но проверка бывает очень полезна в более сложных задачах, поэтому сделаем ее здесь для тренировки: .

Пример 5. Определить периодичность функции .

• Если Т – период, то .
• В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, . Получим:

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: . Подставим  «удобную» точку :

1. Пользуясь четностью косинуса  и нечетностью синуса можем записать:
2. Имеем систему:
3. Уравнения сложим, и получим
4. , откуда
5. , при получим  – ведь нам нужен наименьший период.
6. Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: . Из основного тригонометрического тождества:
7. Оставим в левой части только корень:
8. Возведем в квадрат:
9. Тогда либо , либо и .

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

• и наименьшим будет период при , то есть .
• Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие  :
• , то есть
• период данной функции – .

Определение периода функции

Пример 6. Определить периодичность функции и найти ее основной период.

1. Если Т – период, то
2. Подставим , имеем
3. ,
4. Или , , наименьший период при , .
5. Проверим:

Определение периода функции

Пример 7. Определим период функции .

Запишем условие периодичности:

, если , то

, откуда  , . При , , при , . Проверкой можно показать, что периодом не является. Тогда . Действительно:

Определение периода функции

Пример 8. Доказать, что периодом функции является .

Тогда:

Пример 9. Доказать, что периодом функции является .

• Тогда:
• Если , то
• , а  так как и –  одна и та же точка на единичной окружности, то равенство выполняется.
• Удачи вам в учебе и надеюсь, эта статья вам помогла.

Источник: https://easy-physic.ru/periodichnost-funktsij/

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Тангенс острого угла α (tg α или tan α) – это отношение противолежащего катета (a) к прилежащему (b) в прямоугольном треугольнике.

tg α = a / b

Например:
a = 3
b = 4
tg α = a / b = 3 / 4 = 0.75

График тангенса

Функция тангенса пишется как y = tg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства тангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства тангенса с формулами.

Свойство	Формула
Симметричность	tg (-α) = -tg α
Симметричность	tg (90°- α) = ctg α
Тригонометрические тождества	tg α = sin α / cos α
tg α = 1 / ctg α
Тангенс двойного угла	tg 2α = 2 tg α / (1 — tg2α)
Тангенс суммы углов	tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1 — tg α tg β)
Тангенс разности углов	tg (α-β) = (tg α — tg β) / (1 + tg α tg β)
Сумма тангенсов	tg α + tg β = sin (α + β) / cos α cos β
Разность тангенсов	tg α — tg β = sin (α — β) / cos α cos β
Произведение тангенсов	tg α tg β = (tg α + tg β) / (ctg α + ctg β)
Произведение тангенса и котангенса	tg α ctg β = (tg α + ctg β) / (ctg α + tg β)
Производная тангенса	tg' x = 1 / cos2 (x)
Интеграл тангенса	∫ tg x dx = -ln |cos x| + C
Формула Эйлера	tg x = (eix — e-ix) / i(eix + e-ix)

microexcel.ru

Обратная к тангенсу функция

• Арктангенс x – это обратная функция к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).
• Если тангенс угла у равняется х (tg y = x), значит арктангенс x равен у:
• arctg x = tg-1 x = y
• Например:
• arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад

Таблица тангенсов

x (°)	x (рад)	tg x
-90°	-π/2	-∞
-71.565°	-1.2490	-3
-63.435°	-1.1071	-2
-60°	-π/3	-√3
-45°	-π/4	-1
-30°	-π/6	-1/√3
-26.565°	-0.4636	-0.5
0°	0	0
26.565°	0.4636	0.5
30°	π/6	1/√3
45°	π/4	1
60°	π/3	√3
63.435°	1.1071	2
71.565°	1.2490	3
90°	π/2	∞

microexcel.ru

(1

Источник: https://MicroExcel.ru/tangens/

Графики тригонометрических функций. Тангенс, котангенс

График функции y=tgx

• Если вы умеете работать с тригонометрическим кругом, то вам не составит труда построить график функции .
• Надеюсь, вы помните, где располагается ось тангенсов…
• 

1. Переносим  основные значения углов, представленные на круге, например, из I и IV четвертей и соответствующие им значения тангенса на координатную плоскость.
2. По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат — значения тангенса угла.
3. 

Нанесенные на координатную плоскость точки подсказывают нам плавную кривую.  Это и есть график функции на .

Обратите внимание! Тангенс в точках не существует. Мы лишь можем сколь угодно близко «подбираться» к этим значениям.

• Указанный выше фрагмент графика тангенса будет для нас являться как бы штампом. Тиражируя этот фрагмент, мы и получим вот такой график функции :
• 
• График функции является симметричным относительно начала координат.

 График функции y=ctgx

1. Точно также, как мы строили график при помощи тригонометрического круга, мы могли бы построить и .
2. Поступим несколько иначе.
3. Согласно формулам приведения  или, что тоже самое, что .

График функции является симметричным относительно начала координат.

Источник: https://egemaximum.ru/grafiki-trigonometricheskix-funkcij-tangens-kotangens/

Матвокс ⋆ свойства функции тангенс. свойство 7 ⋆ энциклопедия математики

Skip to content

Функция тангенс монотонно возрастает во всей ее области определения, т.е. в интервалах:

Возрастание тангенсоиды видно из ее графика. Также это можно доказать аналитически.

Докажем возрастание тангенса на всей его области определения

Шаг 1

Функция f(x) называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек x1 и x2 этого множества, таких что:

справедливо неравенство:

Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Рассмотрим две точки из области определения тангенса: x1 и x2, такие что:

Докажем, что:

По определению тангенса:

Тогда:

И:

Пусть рассматриваемые точки принадлежат промежутку [0, π/2).

Из свойств синуса, на промежутке [0, π/2) синус – возрастает, а следовательно:

Из свойств косинуса, на промежутке [0, π/2) косинус – убывает, а следовательно:

• Таким образом, получаем, что функция синус возрастает, а косинус убывает при возрастании.
• Следовательно:
• Первая дробь больше второй, так как числитель первой дроби больше, чем числитель второй, и знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй.
• А значит:

1. Пусть рассматриваемые точки принадлежат промежутку (-π/2,0].
2. Из свойств синуса, на промежутке (-π/2,0] синус – возрастает, а следовательно:
3. Из свойств косинуса, на промежутке (-π/2,0] косинус – возрастает, а следовательно:
4. Таким образом, получаем, что синус возрастает, и косинус возрастает:
5. А значит:
6. Таким образом, доказано возрастание тангенса на всей области определения.

• Если производная функции больше нуля, то функция возрастает.
• Найдем производную тангенса:
• Правая часть равенства всегда больше нуля, так как квадрат любого числа не отрицателен:
• При любом:
• Таким образом получили, что производная тангенса больше нуля на всей области определения тангенса, а, следовательно, тангенс – возрастающая функция.

Возрастание тангенса

MATHVOX

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/trigonometria/grafiki-i-svoistva-trigonometricheskih-funkcii/glava-4-tangens-svoistva-funkcii-i-grafik/svoistva-funkcii-tangens-svoistvo-7/

Тангенс и котангенс. Формулы и определение

• Главная
• Справочник
• Тригонометрия
• Тангенс и котангенс. Формулы и определение

• Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.
• Определение тангенса:
• Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x)
• Формула тангенса:
• [ LARGE tg x = dfrac{sin x}{cos x} ]
• Определение котангенса:
• Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).
• Формула котангенса:
• [ LARGE ctg x = dfrac{cos x}{sin x} ]
• Определения для прямоугольного треугольника:
• Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
• Определения для числа:
• Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, tg(t)=y/x.
• Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, ctg(t)=x/y.

Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.

1. ( tg x = dfrac{sin x}{cos x} ), где ( x
   eq dfrac{pi}{2}+pi k )
2. ( ctg x = dfrac{cos x}{sin x} ), где ( x
   eq pi k )
3. Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):

I	II	III	IV
tg x	+	–	+	–
ctg x	+	–	+	–

Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса.

( frac{pi}{6} )	( frac{pi}{4} )	( frac{pi}{3} )	( frac{pi}{2} )
tg x	( frac{sqrt{3}}{3} )	1	( sqrt{3} )	–
ctg x	( sqrt{3} )	1	( frac{sqrt{3}}{3} )		–

• Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:
• Для любого допустимого значения х справедливы равенства:
• [ tg (-x) = -tg x ]
• [ ctg (-x) = -ctg x ]
• Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:
• [ tg (x+pi)= tg pi ]
• [ ctg (x+pi)= ctg pi ]
• Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.

ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

• Тригонометрические функции числового аргументаОсновным тригонометрическим тождеством в русскоязычных учебниках математики называют соотношение sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1
• Косинус двойного угла cos2α=cos2α−sin2α
• Что такое угол. Понятие угла: радиан, градусУглом в один градус называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную 1/360 части окружности. Углом в 1 радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.
• Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс углаСинус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе. Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе. Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому). Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
• Основные формулы тригонометрииОсновное тригонометрическое тождество, синус суммы и разности, косинус суммы и разности. Основные формулы тригонометрии.
• Основные тригонометрические тождестваТригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
• Значения тригонометрических функцийЗначения тригонометрических функций для основных углов: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 180, 270 и 360 градусов

• 1 Ампер это сила тока, при которой через проводник проходит заряд 1 Кл за 1 сек.
• 1 ом представляет собой электрическое сопротивление между двумя точками проводника, когда постоянная разность потенциалов 1 вольт, приложенная к этим точкам, создаёт в проводнике ток 1 ампер, а в проводнике не действует какая-либо электродвижущая сила.
• Что такое дюйм? Чему равен 1 дюйм?Дюйм — это длина, которая соответствует 2,54 сантиметра (приблизительно 25 миллиметров)
• 1 Вольт равен электрическому напряжению, вызывающему в электрической цепи постоянный ток силой 1 ампер при мощности 1 ватт.
• Сколько километров в миле?Морскую милю приравняли к 1862 метрам, сухопутная американская миля равна 1.609344 километра.
• Сколько метров в километре?В одном километре содержится тысяча метров. 1 км = 1000 м
• Что такое баррель. Чему равен 1 баррель в литрах?Американский нефтяной баррель равен 42 галлонам в английской системе мер или 158,988 л в метрической системе.
• Основные тригонометрические тождестваТригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Источник: https://calcsbox.com/post/tangens-i-kotangens-formuly-i-opredelenie.html

Тангенс

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

Тригонометрическая функция тангенс угла, обозначается как tg. «Тангенс» дословно переводится с латинского как «касающийся». Тангенс острого угла прямоугольного треугольника есть отношение катета, лежащего против этого угла, ко второму катету. Для визуального запоминания: На рисунке внизу нужные стороны треугольника обозначены двусторонней стрелкой. «Синий» катет нужно разделить на «красный».

Тригонометрична функція тангенс кута, позначається як tg. «Тангенс» дослівно перекладається з латинської як «що торкається». Тангенс гострого кута прямокутного трикутника є відношення катета, що лежить проти цього кута, до другого катету. Для візуального запам'ятовування: На малюнку внизу потрібні сторони трикутника позначені двосторонньою стрілкою. «Синій» катет потрібно розділити на «червоний».

Простыми словами, чтобы вычислить тангенс угла в прямоугольном треугольнике мы действуем следующим образом: Берем длину катета, противоположного острому углу (α) — это катет BC, обозначенный на рисунке синим цветом Делим ее на длину второго катета (это катет AC, который обозначен на рисунке красным цветом) Полученное значение будет верным и одинаковым для данной величины угла в любом прямоугольном треугольнике и не будет зависеть от размеров треугольника Из этого следует, что: Зная длины катетов в прямоугольном треугольнике, можно определить значение тангенса угла, а потом, с помощью функции arctg() можно определить величину этого угла Поскольку tg α всегда равен tg α = BC / AC, то при известной величине угла α и одного из катетов, всегда можно вычислить величину второго катета

Простими словами, щоб обчислити тангенс кута в прямокутному трикутнику ми діємо наступним чином: Беремо довжину катета, протилежного гострого кута (α) — це катет BC, позначений синім кольором на малюнку Ділимо її на довжину другого катета (це катет AC, який позначений на малюнку червоним кольором) Отримане значення буде правильним і однаковим для заданої величини кута у будь-якому прямокутному трикутнику і не буде залежати від розмірів трикутника З цього випливає, що: Знаючи довжини катетів в прямокутному трикутнику, можна визначити значення тангенса кута, а потім, за допомогою функції arctg() можна визначити величину цього кута Оскільки tg α завжди дорівнює tg α = BC / AC, то при відомій величині кута α і одного з катетів, завжди можна обчислити величину другого катета

Описанные выше соотношения часто используются при решении задач. При этом подразумевается, что, используя базовое свойство функции тангенса tg α = BC / AC (см. выше рисунок с обозначениями сторон), можно легко найти размеры треугольника или иной геометрической фигуры. Однако, на практике, именно это простейшее свойство тангенса и вызывает трудности при решении.

Описані вище співвідношення часто використовуються при вирішенні завдань. При цьому мається на увазі, що, використовуючи базове властивість функції тангенса tg α = BC / AC (див. вище малюнок з позначеннями сторін), можливо легко знайти розміри трикутника або іншої геометричної фігури. Однак, на практиці, саме це просте властивість тангенса і викликає труднощі при рішенні.

Линия тангенсов – это касательная l к единичной окружности в точке А (1;0). За положительное направление линии тангенсов берут направление снизу вверх. По определению тангенса угла (tg α = sin α / cos α)  tg α = BA1 / OA1 = CA / OA = CA, так как ОА=1. Т.е. тангенс угла α – это величина отрезка АС на линии тангенсов. Иначе говоря, тангенс угла – это величина отрезка касательной, проведенной через точку А (конец неподвижного радиуса), от точки касания А до пересечения с продолжением подвижного радиуса ОВ. Рассмотрим изменение величины (отрезка АС) при движении подвижного радиуса ОВ по окружности и увеличении угла. Заметим, что значение совпадают I и III квадрантах, во II и IV квадрантах:

Лінія тангенсів — це дотична l до одиничного кола в точці А (1;0). За позитивний напрямок лінії тангенсів беруть напрямок знизу вгору. З визначення тангенса кута (tg α = sin α / cos α) tg α = BA1 / OA1 = CA / OA = CA,так як ОА=1. Тобто, тангенс кута α — це величина відрізка АС на лінії тангенсів. Інакше кажучи, тангенс кута — це величина відрізка дотичної, проведеної через точку А (кінець нерухомого радіуса), від точки дотику А до перетину з продовженням рухомого радіуса ОВ. Розглянемо зміна величини (відрізка АС) при русі рухомого радіуса OВ по колу і збільшенні кута. Зауважимо, що значення збігаються у I і III квадрантах, у II і IV квадрантах:

В таблице ниже, приведены сведения о том, каково значение функции тангенса (является ли оно положительным или отрицательным) для всех от 0 до 360 градусов (что соответствует значениям от 0 до 2π радиан). Для более простого визуального запоминания, там где функция тангенса принимает положительные значения, tg α обозначен красным цветом, а там, где отрицательные — синим.

У таблиці нижче наведено відомості про те, яке значення функції тангенса (є воно позитивним чи негативним) для всіх від 0 до 360 градусів (що відповідає значенням від 0 до 2π радіан). Для більш простого візуального запам'ятовування, там де функція тангенса приймає позитивні значення, tg α позначено червоним кольором, а там, де негативні — синім.

Угол α /Кут α

0°

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson768/