( sin alpha = dfrac{|BC|}{|AB|} ), ( cos alpha = dfrac{|AC|}{|AB|} )
α — угол, выраженный в радианах.
Синус (sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AB|. Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AC| к длине гипотенузы |AB|.
С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.
На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.
Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса
Косинус угла — это абсцисса точки. Синус угла — это ордината точки.
На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.
Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.
Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях
Табличные значения синуса и косинуса
Нулевой угол ( LARGE 0^{circ } )
Абсцисса точки 0 равна 1, ордината точки 0 равна 0. Следовательно,
cos 0 = 1 sin 0 = 0
Угол ( LARGE frac{pi}{6} = 30^{circ } )
- Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30°. Как известно, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы1; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,
- [ sin frac{pi}{6} =frac{1}{2} ]
- Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):
- [ cos frac{pi}{6} = sqrt{1 — left(frac{1}{2}
ight)^{2} } =frac{sqrt{3} }{2} ]
1 Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1. 
Угол ( LARGE frac{pi}{4} = 45^{circ } )
В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x. Имеем:
- [ x^{2} + x^{2} = 1 ]
- откуда ( x=frac{sqrt{2} }{2} ). Следовательно,
- [ cos frac{pi}{4} = sin frac{pi}{4} =frac{sqrt{2} }{2} ]
Свойства синуса и косинуса
Принятые обозначения
( sin^2 x equiv (sin x)^2; )( quad sin^3 x equiv (sin x)^3; )( quad sin^n x equiv (sin x)^n )( sin^{-1} x equiv arcsin x )( (sin x )^{-1} equiv dfrac1{sin x} equiv cosec x ).
( cos^2 x equiv (cos x)^2; )( quad cos^3 x equiv (cos x)^3; )( quad cos^n x equiv (cos x)^n )( cos^{-1} x equiv arccos x )( (cos x )^{-1} equiv dfrac1{cos x} equiv sec x ).
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.
( sin(x + 2pi) = sin x; quad )( cos(x + 2pi) = cos x )
Четность
Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.
( sin( -x ) = — sin x; quad )( cos( -x ) = cos x )
Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n — целое).
| ( small -dfrac{pi}2 + 2pi n )( small < x < )( small dfrac{pi}2 + 2pi n ) | ( small -pi + 2pi n )( small < x < )( small 2pi n ) | |
| Убывание | ( small dfrac{pi}2 + 2pi n )( small < x < )( small dfrac{3pi}2 + 2pi n ) | ( small 2pi n )( small < x < )( pi + small 2pi n ) |
| Максимумы, ( small x = )( small dfrac{pi}2 + 2pi n ) | ( small x = 2pi n ) | |
| Минимумы, ( small x = )( small -dfrac{pi}2 + 2pi n ) | ( small x = )( small pi + 2pi n ) | |
| Нули, ( small x = pi n ) | ( small x = dfrac{pi}2 + pi n ) | |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы, содержащие синус и косинус
Сумма квадратов
( sin^2 x + cos^2 x = 1 )
Формулы синуса и косинуса суммы и разности
( sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ) ( sin(x — y) = sin x cos y — cos x sin y ) ( cos(x + y) = cos x cos y — sin x sin y ) ( cos(x — y) = cos x cos y + sin x sin y )
( sin( 2x ) = 2 sin x cos x ) ( cos( 2x ) = cos^2 x — sin^2 x = )( 2 cos^2 x — 1 = 1 — 2 sin^2 x ) ( cosleft( dfrac{pi}2 — x
ight) = sin x ) ; ( sinleft( dfrac{pi}2 — x
ight) = cos x ) ( cos( x + pi ) = — cos x ) ; ( sin( x + pi ) = — sin x )
Формулы произведения синусов и косинусов
( sin x cos y = )( dfrac12 {Large [} sin( x — y ) + sin( x + y ) {Large ]} ) ( sin x sin y = )( dfrac12 {Large [} cos( x — y ) — cos( x + y ) {Large ]} ) ( cos x cos y = )( dfrac12 {Large [} cos( x — y ) + cos( x + y ) {Large ]} )
( sin x cos y = dfrac12 sin 2x ) ( sin^2 x = dfrac12 {Large [} 1 — cos 2x {Large ]} ) ( cos^2 x = dfrac12 {Large [} 1 + cos 2x {Large ]} )
Формулы суммы и разности
( sin x + sin y = 2 , sin dfrac{x+y}2 , cos dfrac{x-y}2 ) ( sin x — sin y = 2 , sin dfrac{x-y}2 , cos dfrac{x+y}2 ) ( cos x + cos y = 2 , cos dfrac{x+y}2 , cos dfrac{x-y}2 ) ( cos x — cos y = 2 , sin dfrac{x+y}2 , sin dfrac{y-x}2 )
Выражение синуса через косинус
Далее мы полагаем, что ( n ) – целое число.
( sin x = cosleft( dfrac{pi}2 — x
ight) = )( cosleft( x — dfrac{pi}2
ight) = — cosleft( x + dfrac{pi}2
ight) )( sin^2 x = 1 — cos^2 x )( sin x = sqrt{1 — cos^2 x} ) ( { 2 pi n leqslant x leqslant pi + 2 pi n } )( sin x = — sqrt{1 — cos^2 x} ) ( { -pi + 2 pi n leqslant x leqslant 2 pi n } ).
Выражение косинуса через синус
( cos x = sinleft( dfrac{pi}2 — x
ight) = )( — sinleft( x — dfrac{pi}2
ight) = sinleft( x + dfrac{pi}2
ight) )( cos^2 x = 1 — sin^2 x )( cos x = sqrt{1 — sin^2 x} ) ( { -pi/2 + 2 pi n leqslant x leqslant pi/2 + 2 pi n } )( cos x = — sqrt{1 — sin^2 x} ) ( { pi/2 + 2 pi n leqslant x leqslant 3pi/2 + 2 pi n } ).
Выражение через тангенс
- ( sin^2 x = dfrac{ g^2 x}{1+ g^2 x} )( cos^2 x = dfrac1{1+ g^2 x} ).
- При ( — dfrac{pi}2 + 2 pi n < x < dfrac{pi}2 + 2 pi n )( sin x = dfrac{ g x}{ sqrt{1+ g^2 x} } )( cos x = dfrac1{ sqrt{1+ g^2 x} } ).
- При ( dfrac{pi}2 + 2 pi n < x < dfrac{3pi}2 + 2 pi n ) : ( sin x = - dfrac{ g x}{ sqrt{1+ g^2 x} } )( cos x = - dfrac1{ sqrt{1+ g^2 x} } ).
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. [ img style=»max-width:500px;max-height:1080px;» src=»tablitsa.png» alt=»Таблица синусов и косинусов» title=»Таблица синусов и косинусов» ]
Выражения через комплексные переменные
( i^2 = -1 ) ( sin z = dfrac{e^{iz} — e^{-iz}}{2i} )( cos z = dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} )
Формула Эйлера
( e^{iz} = cos z + i sin z )
Выражения через гиперболические функции
( sin iz = i sh z )( cos iz = ch z ) ( sh iz = i sin z )( ch iz = cos z )
Производные
( ( sin x )' = cos x )( ( cos x )' = — sin x ). Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:( left( sin x
ight)^{(n)} = sinleft( x + ndfrac{pi}2
ight) )( left( cos x
ight)^{(n)} = cosleft( x + ndfrac{pi}2
ight) ).
Интегралы
( int sin x , dx = — cos x + C )( int cos x , dx = sin x + C ) См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>
Разложения в ряды
( sin x = sum_{n=0}^{infty} dfrac{ (-1)^n x^{2n+1} }{ (2n+1)! } = )( x — dfrac{x^3}{3!} + dfrac{x^5}{5!} — dfrac{x^7}{7!} + … ) ( {- infty < x < infty } ) ( cos x = sum_{n=0}^{infty} dfrac{ (-1)^n x^{2n} }{ (2n)! } = )( 1 - dfrac{x^2}{2!} + dfrac{x^4}{4!} - dfrac{x^6}{6!} + ... ) ( { - infty < x < infty } )
Секанс, косеканс
( sec x = dfrac1{ cos x } ; ) ( cosec x = dfrac1{ sin x } )
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.
Арксинус, arcsin
( y = arcsin x ) ( left{ -1 leqslant x leqslant 1; ; — dfrac{pi}2 leqslant y leqslant dfrac{pi}2
ight} )( sin( arcsin x ) = x ) ( { -1 leqslant x leqslant 1 } )( arcsin( sin x ) = x ) ( left{ — dfrac{pi}2 leqslant x leqslant dfrac{pi}2
ight} )
Арккосинус, arccos
( y = arccos x ) ( left{ -1 leqslant x leqslant 1; ; 0 leqslant y leqslant pi
ight} )( cos( arccos x ) = x ) ( { -1 leqslant x leqslant 1 } )( arccos( cos x ) = x ) ( { 0 leqslant x leqslant pi } )
Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория
Не можешь написать работу сам?
Доверь её нашим специалистам
от 100 р.стоимость заказа 
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
- Косинус двойного угла cos2α=cos2α−sin2α
- Что такое угол. Понятие угла: радиан, градусУглом в один градус называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную 1/360 части окружности. Углом в 1 радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.
- Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс углаСинус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе. Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе. Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому). Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
- Основные формулы тригонометрииОсновное тригонометрическое тождество, синус суммы и разности, косинус суммы и разности. Основные формулы тригонометрии.
- Основные тригонометрические тождестваТригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
- Значения тригонометрических функцийЗначения тригонометрических функций для основных углов: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 180, 270 и 360 градусов
- Для измерения углов используются градусы или радианы.
- Соотношения между тригонометрическими функциями Знак тригонометрической функции в левой части должен совпадать со знаком правой части.
- Ведро́ — сосуд для хранения жидких и сыпучих материалов и транспортировки их на небольшие расстояния.
- Сколько должен весить человек?Чтобы узнать вес человека, достаточно знать его рост в сантиметрах, из этой цифры вычесть 100, а к полученному числу либо прибавить 10, если речь идет о мужчине, либо отнять 10, если вычисляется вес женщины.
- Сложение и вычитание векторовСуммой двух векторов a и b называется третий вектор c, проведенный из начала a к концу b, если начало вектора b совпадает с концом вектора a. Разностью двух векторов a и b называется вектор c при условии: c = a − b, если c + b =a.
- Сколько метров в километре?В одном километре содержится тысяча метров. 1 км = 1000 м
Источник: https://calcsbox.com/post/sinus-sin-x-i-kosinus-cos-x-svojstva-grafiki-formuly.html
Внеклассный урок — Функции y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x
- Функция y = sin x
- Графиком функции является синусоида.
- Полную неповторяющуюся часть синусоиды называют волной синусоиды.
- Половину волны синусоиды называют полуволной синусоиды (или аркой).
Свойства функции y = sin x:
7) На промежутках [2πn; π + 2πn] функция принимает положительные значения. На промежутках [-π + 2πn; 2πn] функция принимает отрицательные значения.8) Промежутки возрастания функции: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. Промежутки убывания функции: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].9) Точки минимума функции: -π/2 + 2πn. Точки максимума функции: π/2 + 2πn10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции –1, наибольшее значение 1.11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π) |
Для построения графика функции y = sin x удобно применять следующие масштабы:
— на листе в клетку за единицу отрезка примем длину в две клетки.
— на оси x отмерим длину π. При этом для удобства 3,14 представим в виде 3 – то есть без дроби. Тогда на листе в клетку π составит 6 клеток (трижды по 2 клетки). А каждая клетка получит свое закономерное имя (от первой до шестой): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это значения x.
— на оси y отметим 1, включающий две клетки.
Составим таблицу значений функции, применяя наши значения x:
| x |
|
|
|
|
|
π | |
| y | 0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
Далее составим график. Получится полуволна, наивысшая точка которой (π/2; 1). Это график функции y = sin x на отрезке [0; π]. Добавим к построенному графику симметричную полуволну (симметричную относительно начала координат, то есть на отрезке -π). Гребень этой полуволны – под осью x с координатами (-1; -1). В результате получится волна. Это график функции y = sin x на отрезке [-π; π].
Можно продолжить волну, построив ее и на отрезке [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] и т.д. На всех этих отрезках график функции будет выглядеть так же, как на отрезке [-π; π]. Получится непрерывная волнистая линия с одинаковыми волнами.
- Функция y = cos x.
- Графиком функции является синусоида (ее иногда называют косинусоидой).
- Свойства функции y = cos x:
7) На промежутках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] функция принимает положительные значения. На промежутках [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] функция принимает отрицательные значения.8) Промежутки возрастания: [-π + 2πn; 2πn]. Промежутки убывания: [2πn; π + 2πn];9) Точки минимума функции: π + 2πn. Точки максимума функции: 2πn.10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции –1, наибольшее значение 1.11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π) |
Функция y = mf(x).
Возьмем предыдущую функцию y = cos x. Как вы уже знаете, ее графиком является синусоида. Если мы умножим косинус этой функции на определенное число m, то волна растянется от оси x (либо сожмется, в зависимости от величины m). Эта новая волна и будет графиком функции y = mf(x), где m – любое действительное число.
Таким образом, функция y = mf(x) – это привычная нам функция y = f(x), умноженная на m.
Если m < 1, то синусоида сжимается к оси x на коэффициент m. Если m > 1, то синусоида растягивается от оси x на коэффициент m.
- Выполняя растяжение или сжатие, можно сначала построить лишь одну полуволну синусоиды, а затем уже достроить весь график.
- Функция y = f(kx).
- Если функция y = mf(x) приводит к растяжению синусоиды от оси x либо сжатию к оси x, то функция y = f(kx) приводит к растяжению от оси y либо сжатию к оси y.
- Причем k – любое действительное число.
При 0 < k < 1 синусоида растягивается от оси y на коэффициент k. Если k > 1, то синусоида сжимается к оси y на коэффициент k.
- Составляя график этой функции, можно сначала построить одну полуволну синусоиды, а по ней достроить затем весь график.
- Функция y = tg x.
- Графиком функции y = tg x является тангенсоида.
- Достаточно построить часть графика на промежутке от 0 до π/2, а затем можно симметрично продолжить ее на промежутке от 0 до 3π/2.
- Свойства функции y = tg x:
1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = π/2 + πk, где k – любое целое число.Это означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой x = π/2, либо прямой x = 3π/2, либо прямой x = 5π/2, либо прямой x = –π/2 и т.д.
7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений. |
- Функция y = ctg x
- Графиком функции y = ctg x также является тангенсоида (ее иногда называют котангенсоидой).
- Свойства функции y = ctg x:
7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений. |
Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-310
Матвокс ⋆ вывод свойств функции синус. свойство 4 ⋆ энциклопедия математики
Skip to content
Функция у=sinх является нечетной (sin(-х)=-sinх, для всех х ∈ R, и график синуса симметричен относительно начала координат)
Докажем нечетность функции синус.
Функция y=f(x) является нечетной функцией, если для любого х ∈ R выполняется неравенство:
Т.е. докажем, что:
для всех х ∈ R.
Шаг 1
- Пусть угол α образован поворотом подвижного луча ОМ1 по часовой стрелке.
- Угол – α образован поворотом подвижного луча ОМ против часовой стрелки.
- Следовательно, ОМ1 и ОМ симметричны относительно оси абсцисс ОХ.
Доказательство нечетности синуса. Шаг 1
Точка М имеет координаты (х, у), а точка М1 имеет координаты (х1, y1) Т.е. абсциссы этих точек (х = х1) совпадают, а ординаты (y= -у1) отличаются только знаками.
По определению синус является ординатой точки на единичной окружности (sin α = y).
Поэтому,
- для угла α, образованного радиус-вектором ОМ
- для угла (– α), образованного радиус-вектором ОМ1:
Умножим обе части этого уравнения на -1, получим:
По построению, как мы выяснили выше y= -у1, следовательно,
Из полученного равенства следует, что функция синус является нечетной функцией угла.
Нечетность синуса доказана.
MATHVOX
Go to Top
Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять
Privacy & Cookies Policy
Источник: https://mathvox.ru/trigonometria/grafiki-i-svoistva-trigonometricheskih-funkcii/glava-2-svoistva-funkcii-sinusa-sinusoida/vivod-svoistv-funkcii-sinus-svoistvo-4/
Загрузка...
