Степенная функция — справочник студента

Справочник по математике Алгебра Координатная плоскость

Степенная функция - Справочник студента

  •       Определение 1. Степенной функцией называют функцию
  • y = x p ,
  • где   p   – любое действительное число, отличное от нуля.
  •      С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».
  •       Графики степенных функций при различных значениях   p   представлены в следующей таблице.

Графики степенных функций

y = xСтепенная функция - Справочник студента Степенная функция - Справочник студента
y = x2Степенная функция - Справочник студента Степенная функция - Справочник студентаСтепенная функция - Справочник студента
y = x3Степенная функция - Справочник студента Степенная функция - Справочник студента
y = x4
y = x
y = x2
y = x3
y = x4

Показательные функции

  1.       Определение 2. Показательной функцией называют функцию
  2. y = a x ,
  3. где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .

  4.      С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».

    alt

    Узнай стоимость своей работы

    Бесплатная оценка заказа!

    Оценим за полчаса!
  5.       Графики показательных функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики показательных функций

y = 2x
y = e x
y = 2x
y = e x

Логарифмические функции

  •       Определение 3. Логарифмической функцией называют функцию
  • y = log a x ,
  • где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .
  •      С определением и свойствами логарифмов можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Логарифмы».
  •       Графики логарифмических функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики логарифмических функций

y = ln x
y = lg x
y = log 2x
y = ln x
y = lg x
y = log 2x

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/fiz/dgia.htm

Степенная функция. Степень в комплексной области. Методика изучения степенной функции в школьном курсе математики

1)Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Степен. Функц у=х2 при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,…. Степенная функция - Справочник студента

  • Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
  • Область определения: хϵ(-∞,+∞)
  • Область значений:уϵ(-∞,+∞)

Функция нечетная, т.к. у(-х)=-у(х)

  1. Функция возрастает при хϵ(-∞,+∞) .
  2. Функция выпуклая при хϵ(-∞,0] и вогнутая прихϵ[0,+∞) (кроме линфункц).
  3. Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линфункw).
  4. Асимптот нет.
  5. Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).
  6. 2)Степенная функция с четным положительным показателем.
  7. Рассмотрим степенную функциюy=xa с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,…. Степенная функция - Справочник студента
  8. Свойства степенной функции с четным полож показателем.
  9. Область определения: хϵ(-∞,+∞)
  10. Область значений: yϵ[0,+∞)
  11. Функция четная, так как у(-х)=у(х)
  12. Функция возрастает при хϵ[0,+∞) , убывает прихϵ(-∞,0]
  13. Функция вогнутая при хϵ(-∞,+∞)
  14. Точек перегиба нет.
  15. Асимптот нет.
  16. Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).
  17. 3)Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции y=xпри нечет отрицзначпоказателя степени, т.e, при а=-1,-3,-5,….

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

Область определения:xϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ ) При x=0 имеем разрыв второго рода, т.k. Степенная функция - Справочник студента , Степенная функция - Справочник студента , при а=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

Область значений: yϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ ).

Функция нечетная, т.k.у(-х)=-у(х)

  • Функция убывает при xϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ )
  • Функция выпуклая при xϵ(-∞,0)и вогнутая при xϵ(0,+∞ )
  • Точек перегиба нет.

Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, т.к.k= b= Степенная функция - Справочник студента ⇾y=kx+b=0 при а=-1,-3,-5,….

  1. Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).
  2. 4)Степенная функция с четным отрицательным показателем.
  3. Перейдем к степенной функции y=xaпри а=-2,-4,-6,….

Степенная функция - Справочник студента

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

Область определения:xϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ ) При x=0 имеем разрыв второго рода, так как Степенная функция - Справочник студента , Степенная функция - Справочник студента , при а=-2,-4,-6,…. Следов-но, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

  • Область значений: yϵ(0,+∞)
  • Функция четная, так как у(-х)=у(х)
  • Функция возрастает при xϵ(-∞,0), убывает при xϵ(0,+∞).
  • Функция вогнутая при xϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ )
  • Точек перегиба нет.

Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, т.кk= b= ⇾y=kx+b=0при а=-2,-4,-6,….

Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

5)Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

  1. Рассмотрим степенную функциюy=xaс рац или иррац показателем a, причем 00.

    3. Если функция у=f(u) непрерывна в точке u0, а функция u=φ(x) непрерывна в точкеu0=φ(x0), то сложная функция y=f[φ(x)] непрерывна в точке х0.

    Page 9

    Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции.

    В более старших классах вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.

    Введение понятия функции – длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:

    – упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);

    1. – глубокое изучение отдельных функций и их классов;
    2. – расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.
    3. Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее остальных.

    В реализации этого направления значительное место отводится усвоению важного представления, входящего в понятие функции, – однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции.

    Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функции формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому после первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в обучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартную алгебраическую форму их выражения.

    Однако при введении понятия, сопоставление разных способов задания функции выполняет важную роль.1) оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи.

    2) оно важно для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции.

    Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами.

    Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую – необходимый методический прием при введении понятия функции.

    Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены все случаи такого перевода.

    Если ограничиться основными способами представления функции – формулой, графиком, таблицей, то получится 6 типов упражнений, при которых форма представления меняется, и 3 – при которых она остается такой же. Приведем примеры заданий первого типа – изменения формы представления:

    а) Изобразить график функции у = 4х+1 на промежутке [0; 2].

    б) Проверить, насколько точна таблица квадратов чисел, взяв несколько значений для аргумента и проведя расчет: x=1,35; 2,44; 9,4; 7; 6,25.

    Мы рассмотрим методику работы с этими заданиями только на этапе первоначального ознакомления с понятием функции, на других этапах она может быть совершенно иной. На рассмотренном этапе учащиеся еще не знают общего вида графика линейной функции (задание а)).

    Поэтому график функции у=4х+1 они могут построить только по точкам.

    Учитель может обратить внимание на то, что по точкам нельзя построить целиком график функции, если она определена на бесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат на прямой; оказывается, что это замечание верно.

    Таким образом, можно установить связи с дальнейшим изучением материала.

    Способ построения графика функции по точкам иллюстрируется заданием б); пользуясь конкретным содержанием задания, учитель может отметить, что предлагаемые учащимися графики могут отличаться от действительного положения, но что на практике этим приемом часто приходится пользоваться (интерполяция).

    В задании б) можно отметить связь функциональных представлений с числовой системой – с понятиями точного и приближенного числового значения. С их сопоставлением постоянно приходится сталкиваться при построении графиков, потому что наносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью.

    • В настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный.
    • Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.
    • Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах.
    • Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов.

    В первом примере она задана аналитически, во втором – графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций.

    И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым – они уже сталкивались с этим ранее.

    Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и значение функции.

    «В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

    1. Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента.
    2. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения.
    3. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
    4. Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.»

    Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе.

    Для этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений.

    Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию.

    Вот как выглядит изложение той же темы «Понятие функции» в соответствии с дедуктивным подходом:

    1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.

    2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).

    3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

    4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

    5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная образуют множество значений функции.

    6. Для функции f приняты обозначения: D (f) (область определения функции, E(f) (множество значений функции, f ( ) (значение функции в точке ).

    7. Если D(f)= R и E(f)= R, то функцию называют числовой.

    8. Элементы множества D(f) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E (f) значениями функции.

    9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

    10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты (соответствующим значениям функции.

    Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры – идет усвоение нового материала.

    Page 10

    Теорема 1: (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем. Необходимо доказать, что существует M>0 , что для всех

    Источник: https://cyberpedia.su/6x6a97.html

    Степенная функция, ее свойства и графики

    Степенная функция - Справочник студента

    Представлены свойства и графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Основные формулы, области определения и множества значений, четность, монотонность, возрастание и убывание, экстремумы, выпуклость, перегибы, точки пересечения с осями координат, пределы, частные значения.

    На области определения степенной функции  y = x p  имеют место следующие формулы: ;   ; ; ;   ; ;   ; ;   .

    Свойства степенных функций и их графики

    Далее мы рассматриваем степенную функцию y(x) = x p .

    Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

    Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0, то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице: y = x p = x 0 = 1,   x ≠ 0 .

    Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ..

    Рассмотрим степенную функцию   y = x p = x n   с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, …. Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, … – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

    Степенная функция - Справочник студента График степенной функции   y = x n   с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ….

    Область определения:   –∞ < x < ∞ Множество значений:   –∞ < y < ∞ Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x) Монотонность:   монотонно возрастает Экстремумы:   нет Выпуклость: при   –∞ < x < 0 выпукла вверх при   0 < x < ∞ выпукла вниз Точки перегибов:   x = 0,   y = 0 Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0 Пределы: ;   Частные значения: при x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k+1 = –1 при x = 0,   y(0) = 0 n = 0 при x = 1,   y(1) = 1 n = 1 Обратная функция: при n = 1, функция является обратной к самой себе:   x = y при n ≠ 1, обратной функцией является корень степени n:  

    Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ..

    Рассмотрим степенную функцию   y = x p = x n   с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, …. Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k, где k = 1, 2, 3, … – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

    Степенная функция - Справочник студента График степенной функции   y = x n   с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ….

    Область определения:   –∞ < x < ∞ Множество значений:   0 ≤ y < ∞ Четность:   четная, y(–x) = y(x) Монотонность: при x ≤ 0 монотонно убывает при x ≥ 0 монотонно возрастает Экстремумы:   минимум,   x = 0,   y = 0 Выпуклость: выпукла вниз Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0 Пределы: ;   Частные значения: при x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k = 1 при x = 0,   y(0) = 0 n = 0 при x = 1,   y(1) = 1 n = 1 Обратная функция: при n = 2, квадратный корень:   при n ≠ 2, корень степени n:  

    Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ..

    Рассмотрим степенную функцию   y = x p = x n   с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, …. Если положить n = –k, где k = 1, 2, 3, … – натуральное, то ее можно представить в виде:

    Степенная функция - Справочник студента График степенной функции   y = x n   с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ….

    Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ….

    Область определения:   x ≠ 0 Множество значений:   y ≠ 0 Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x) Монотонность: монотонно убывает Экстремумы:   нет Выпуклость: при x < 0:   выпукла вверх при x > 0:   выпукла вниз Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   нет Знак: при x < 0,   y < 0 при x > 0,   y > 0 Пределы: ;   ;   ;   Частные значения: при x = –1,   y(–1) = (–1) n = –1 при x = 1,   y(1) = 1 n = 1 Обратная функция: при n = –1,   при n < –2,  

    Четный показатель, n = -2, -4, -6, ..

    Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ….

    Область определения:   x ≠ 0 Множество значений:   y > 0 Четность:   четная, y(–x) = y(x) Монотонность: при x < 0:   монотонно возрастает при x > 0:   монотонно убывает Экстремумы:   нет Выпуклость:   выпукла вниз Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   нет Знак:   y > 0 Пределы: ;   ;   ;   Частные значения: при x = –1,   y(–1) = (–1) n = 1 при x = 1,   y(1) = 1 n = 1 Обратная функция: при n = –2,   при n < –2,  

    Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

    Рассмотрим степенную функцию   y = x p   с рациональным (дробным) показателем степени , где n – целое, m > 1 – натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

    Знаменатель дробного показателя — нечетный

    Пусть знаменатель дробного показателя степени     нечетный: m = 3, 5, 7, … . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x. Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

    Показатель p отрицательный, p < 0

    Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, … ) меньше нуля: .

    Степенная функция - Справочник студента Графики степенных функций     с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, … — нечетное.

    Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем   ,   где n = -1, -3, -5, … — нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 … — нечетное натуральное.

    Область определения:   x ≠ 0 Множество значений:   y ≠ 0 Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x) Монотонность: монотонно убывает Экстремумы:   нет Выпуклость: при x < 0:   выпукла вверх при x > 0:   выпукла вниз Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   нет Знак: при x < 0,   y < 0 при x > 0,   y > 0 Пределы: ;   ;   ;   Частные значения: при x = –1,   y(–1) = (–1) n = –1 при x = 1,   y(1) = 1 n = 1 Обратная функция:

    Четный числитель, n = -2, -4, -6, ..

    Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем   ,   где n = -2, -4, -6, … — четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 … — нечетное натуральное.

    Область определения:   x ≠ 0 Множество значений:   y > 0 Четность:   четная, y(–x) = y(x) Монотонность: при x < 0:   монотонно возрастает при x > 0:   монотонно убывает Экстремумы:   нет Выпуклость:   выпукла вниз Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   нет Знак:   y > 0 Пределы: ;   ;   ;   Частные значения: при x = –1,   y(–1) = (–1) n = 1 при x = 1,   y(1) = 1 n = 1 Обратная функция:

    Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1

    Степенная функция - Справочник студента График степенной функции     с рациональным показателем (0 < p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

    Представлены свойства степенной функции   y = x p   с рациональным показателем   ,   находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

    Область определения:   –∞ < x < +∞ Множество значений:   –∞ < y < +∞ Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x) Монотонность: монотонно возрастает Экстремумы:   нет Выпуклость: при x < 0:   выпукла вниз при x > 0:   выпукла вверх Точки перегибов:   x = 0,   y = 0 Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0 Знак: при x < 0,   y < 0 при x > 0,   y > 0 Пределы: ;   Частные значения: при x = –1,   y(–1) = –1 при x = 0,   y(0) = 0 при x = 1,   y(1) = 1 Обратная функция:

    Четный числитель, n = 2, 4, 6, ..

    Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем   ,   находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 2, 4, 6, ... – четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

    Область определения:   –∞ < x < +∞ Множество значений:   0 ≤ y < +∞ Четность:   четная, y(–x) = y(x) Монотонность: при x < 0:   монотонно убывает при x > 0:   монотонно возрастает Экстремумы:   минимум при x = 0,   y = 0 Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0 Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0 Знак:   при x ≠ 0,   y > 0 Пределы: ;   Частные значения: при x = –1,   y(–1) = 1 при x = 0,   y(0) = 0 при x = 1,   y(1) = 1 Обратная функция:

    Показатель p больше единицы, p > 1

    Степенная функция - Справочник студента График степенной функции     с рациональным показателем (p > 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, … — нечетное.

    Свойства степенной функции   y = x p   с рациональным показателем, большим единицы:   .   Где n = 5, 7, 9, … – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 … – нечетное натуральное.

    Область определения:   –∞ < x < ∞ Множество значений:   –∞ < y < ∞ Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x) Монотонность:   монотонно возрастает Экстремумы:   нет Выпуклость: при   –∞ < x < 0 выпукла вверх при   0 < x < ∞ выпукла вниз Точки перегибов: x = 0, y = 0 Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0 Пределы: ;   Частные значения: при x = –1,   y(–1) = –1 при x = 0,   y(0) = 0 при x = 1,   y(1) = 1 Обратная функция:  

    Четный числитель, n = 4, 6, 8, ..

    Свойства степенной функции   y = x p   с рациональным показателем, большим единицы:   .   Где n = 4, 6, 8, … – четное натуральное, m = 3, 5, 7 … – нечетное натуральное.

    Область определения:   –∞ < x < ∞ Множество значений:   0 ≤ y < ∞ Четность:   четная, y(–x) = y(x) Монотонность: при x < 0 монотонно убывает при x > 0 монотонно возрастает Экстремумы:   минимум при   x = 0,   y = 0 Выпуклость: выпукла вниз Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0 Пределы: ;   Частные значения: при x = –1,   y(–1) = 1 при x = 0,   y(0) = 0 при x = 1,   y(1) = 1 Обратная функция:  

    Знаменатель дробного показателя — четный

    Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, … . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

    Степенная функция с иррациональным показателем

    Рассмотрим степенную функцию   y = x p   с иррациональным показателем степени p. Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x. Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

    Степенная функция - Справочник студента Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p.

    Область определения:   x > 0 Множество значений:   y > 0 Монотонность:   монотонно убывает Выпуклость:   выпукла вниз Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   нет Пределы:   ;   Частное значение:   При x = 1,   y(1) = 1p = 1

    Область определения:   x ≥ 0 Множество значений:   y ≥ 0 Монотонность:   монотонно возрастает Выпуклость:   выпукла вверх Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0 Пределы:   Частные значения:   При x = 0,   y(0) = 0 p = 0. При x = 1,   y(1) = 1 p = 1

    Показатель больше единицы p > 1

    Область определения:   x ≥ 0 Множество значений:   y ≥ 0 Монотонность:   монотонно возрастает Выпуклость:   выпукла вниз Точки перегибов:   нет Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0 Пределы:   Частные значения:   При x = 0,   y(0) = 0 p = 0. При x = 1,   y(1) = 1 p = 1

    Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

    Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/stepennaya/grafiki/

    [Билет 32] Степень с целым показателем. Степенная функция с натуральным и целым показателями, свойства и графики

    Степень с целым показателем.
    Степенная функция - Справочник студента

    Степенная функция с натуральным и целым показателями, свойства и графики.

    Вы знакомы с функциями y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=xp, где p — заданное действительное число.Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень xp. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости отпоказателя степени p.

    1. Показатель p=2n -четное натуральное число.

    В этом случае степенная функция y=x2n, где n — натуральное число, обладает следующими

    свойствами:

    • область определения — все действительные числа, т. е. множество R;
    • множество значений — неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
    • функция y=x2n  четная, так как x2n=(-x)2n
    • функция является убывающей на промежутке x0.

    График функции y=x2n имеет такой же вид, как например график функции y=x4.

    Степенная функция - Справочник студента

            2. Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число

    В этом случае степенная функция  y=x2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

    • область определения — множество R;
    • множество значений — множество R;
    • функция y=x2n-1 нечетная, так как (-x)2n-1=x2n-1;
    • функция является возрастающей на всей действительной оси.

    График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x3.
    Степенная функция - Справочник студента

           3.Показатель p=-2n, где n — натуральное число.

    В этом случае степенная функция y=x-2n=1/x2n обладает следующими свойствами:

    • область определения — множество R, кроме x=0;
    • множество значений — положительные числа y>0;
    • функция  y=1/x2n четная, так как 1/(-x)2n=1/x2n;
    • функция является возрастающей на промежутке x0.

    График функции y=1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x2.

    Степенная функция - Справочник студента

           4.Показатель p=-(2n-1), где n — натуральное число.В этом случае степенная функция y=x-(2n-1) обладает следующими свойствами:

    • область определения — множество R, кроме x=0;
    • множество значений — множество R, кроме y=0;
    • функция y=x-(2n-1) нечетная, так как (-x)-(2n-1) =-x-(2n-1);
    • функция является убывающей на промежутках x0.

    График функции y=x-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x3.

    Степенная функция - Справочник студента

    Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2012/12/32.html

    Степенная функция, ее свойства и график

    Вы знакомы с функциями y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=xp, где p — заданное действительное число.

    Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень xp. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
    показателя степени p.

    1. Показатель p=2n -четное натуральное число.

    В этом случае степенная функция y=x2n, где n — натуральное число, обладает следующими

    свойствами:

    • область определения — все действительные числа, т. е. множество R;
    • множество значений — неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
    • функция y=x2n  четная, так как x2n=(-x)2n
    • функция является убывающей на промежутке x0.

    График функции y=x2n имеет такой же вид, как например график функции y=x4.
    Степенная функция - Справочник студента

            2. Показатель p=2n-1— нечетное натуральное число

    В этом случае степенная функция  y=x2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

    • область определения — множество R;
    • множество значений — множество R;
    • функция y=x2n-1 нечетная, так как (-x)2n-1=x2n-1;
    • функция является возрастающей на всей действительной оси.

    График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x3.
    Степенная функция - Справочник студента

           3.Показатель p=-2n, где n — натуральное число.

    В этом случае степенная функция y=x-2n=1/x2n обладает следующими свойствами:

    • область определения — множество R, кроме x=0;
    • множество значений — положительные числа y>0;
    • функция  y=1/x2n четная, так как 1/(-x)2n=1/x2n;
    • функция является возрастающей на промежутке x0.

    График функции y=1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x2.Степенная функция - Справочник студента
           4.Показатель p=-(2n-1), где n — натуральное число.
    В этом случае степенная функция y=x-(2n-1) обладает следующими свойствами:

    • область определения — множество R, кроме x=0;
    • множество значений — множество R, кроме y=0;
    • функция y=x-(2n-1) нечетная, так как (-x)-(2n-1) =-x-(2n-1);
    • функция является убывающей на промежутках x0.

    График функции y=x-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x3.Степенная функция - Справочник студента

    Источник: http://matematika-10.blogspot.com/2011/10/blog-post_20.html

    Методическая разработка "Изучение темы "Степенная, показательная, логарифмическая функции" в группах 1 курса" методическая разработка по теме

    • Федеральное агентство по образованию
    • ФГОУ СПО «Суздальский сельскохозяйственный колледж»
    • Методическая разработка
    • «Изучение темы «Степенная, показательная, логарифмическая функции» в группах 1 курса»
    •                               Пчелина М Е
    • Суздаль, 2009 год
    • Одобрено на заседании предметно-цикловой комиссии математических и естественнонаучных дисциплин
    • Протокол №           от

    Председатель: Сосунова Н. В.

    Пчелина М. Е.

    1. Рецензенты :
    2. Соответствует Государственному стандарту базового уровня
    3. Утверждаю
    4. Зам. директора по

    учебной работе  Юрманова О. С.

    1. Историческая справка
    2. Примерный тематический план для студентов 1 курса специальностей «механизация сельского хозяйства», «экономика и бухгалтерский учёт», «туризм», «гостиничный сервис».
    3. темы, её дидактические единицы
    4. Перечень практических работ
    5. Внеаудиторная самостоятельная работа студентов
    6. Итоговая аттестация: примерные варианты экзаменационных билетов
    1. Заключение
    2. Список литературы
    3. Приложения
    4. Рецензии
    • Пояснительная записка
    •    Данная методическая разработка составлена в соответствии с государственным стандартом для групп базового уровня (1 курс).
    •    В разработке приводится примерная расчасовка изучения темы «Степенная, показательная и логарифмическая функции», содержание и дидактические единицы, перечень практических работ, примерные варианты экзаменационных билетов.
    •    Все методические материалы составлены в соответствии с рекомендациями Учебного кабинета министерства образования.
    •    Имеются приложения:
    • Практические работы
    • Поурочные планы
    • Примерные варианты экзаменационных билетов
    • Рецензии (внутренняя, внешняя)

       Разработка рекомендована преподавателям математики, ведущим данную дисциплину, студентам 1 курса для подготовки к занятиям.

    1.Введение

      Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны.

       На всём протяжении XVI в. быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчётов.

    Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчётах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело.

    Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

       В результате появилось новое понятие в математике – логарифм. Понятие логарифма помогает установить обратную связь со степенью, построить единую теорию математики.

    1. 2. Основная часть
    2. 2.1 Историческая справка
    3.    В наше время прогресс науки неотделим от достижений
    4. талантливых математиков-прикладников.
    5.    Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец.
    6. Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание
    7. предмета прикладного исследования.

                                                         Б. В. Гнеденко

       Истоки понятия степени находятся в глубокой древности; дошедшие до нас глиняные плитки древних вавилонян содержат записи таблиц квадратов, кубов и их обратных значений.

       Первоначально под степенью понимали произведение нескольких одинаковых сомножителей. Способы записи степеней и связанных с ними обратных величин – корней из числа менялись с течением времени, пока не приняли современную форму.

       Дальнейшее развитие науки вызвало необходимость расширения степени. В XIV в. Французский епископ города Лизье в Нормандии Н. Орем (1323-1382гг.

    ) впервые стал заменять в отдельных случаях корни из чисел дробными показателями степени и ввёл символические обозначения степени с дробными показателями. Например, 8 как 41,5.

    Показатели, введённые Оремом, по существу выступают в виде логарифмов чисел. Орем словесно сформулировал правила для выполнения  различных операций со степенями.

       Значительно позднее бухгалтер из Брюгге, а впоследствии военный инженер С. Стевин (1548-1620) вновь открыл дробные показатели и указал в более общем виде, что корень энной степени из числа а можно выразить как а1/n, где а>0.

       Степенью с нулевым показателем первым стал пользоваться самаркандский учёный ал-Каши в начале XV в. Независимо от него Н. Шюке в работе «Наука о числах в трёх книгах» в 1484 г. применял нулевой и отрицательный показатели.

       Завершили введение современного изображения степени англичане Джон Валлис и Исаак Ньютон.

       Обобщение понятия степени аn, где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию (y=ax) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y=xn) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена и для x

  1. (-∞; -57)
  2. (-57;7)
  3. (-57;+∞)
  4. (-57;0)
  • В1. Найти произведение корней уравнения ()2 = 1
  • В2. Решить уравнение
  • Часть 2
  • В3. Найти сумму решений системы    
  • В4. Определить наименьшее целое значение решения уравнения
  •  2-2х-8) —      
  • С1. Найти сумму корней уравнения
  • Часть 3.
  • С2. Решить уравнение 2+4х+4) = 1
  • Ответы
  • А1 – 3
  • А2 – 1
  • А3 – 4
  • В1 – 729
  • В2 – 5
  • В3 – 1
  • В4 – 20
  • С1 – решений нет
  • С2 —  -1,5; 2
  • Варианты экзаменационных билетов:
  1. Определение логарифма. Примеры. Свойства логарифма.

  2. Решить уравнение
  1. Log7(4*x-3) = 2
  2. 42x+5=43x
  3. Log7(4*x-19) = 0
  4. У = ln-ln2
  5. 2х+2 + 3*2x+1+7*2x = 68
  6. 4log55+log25

Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2013/10/07/metodicheskaya-razrabotka-izuchenie-temy-stepennaya

Степенная функция

Степенной функцией называется функция вида $$y=x^{alpha}.$$

Виды графиков степенной функции в зависимости от $$alpha:$$

1. $$alpha=n$$ ($$ngeqslant2$$ — натуральное число).

Такая степенная функция определена при любых значениях переменной $$x.$$ График функции $$y=x^n$$ проходит через точку $$(1;1)$$ и касается оси абсцисс в начале координат.

График при четных $$n$$

График степенной функции при четных $$n.$$ $$y=x^2, y=x^4.$$

График при нечетных $$n$$

График степенной функции при нечетных $$n.$$ $$y=x^3, y=x^5.$$

2. $$alpha=-n$$ $$(nin mathbb{N}).$$

Такая степенная функция определена при $$xin(-infty;0)cup(0;infty).$$ График функции $$y=frac{1}{x^n}$$ проходит через точку $$(1;1).$$

Графики функций при $$n=1, n=2, n=3$$

Графики степенных функций $$y=frac{1}{x}, y=frac{1}{x^2}, y=frac{1}{x^3}.$$

3. $$alpha=r$$ ($$r=frac{m}{n},$$ $$m$$ и $$n$$ — взаимнопростые натуральные числа).

Такая степенная функция имеет нуль в начале координат, а ее график проходит через точку $$(1;1).$$ При четном $$n$$ степенная функция $$y=x^{frac{m}{n}}$$ определена на множестве $$[0;infty),$$ а при нечетном $$n$$ — на множестве $$mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Графики функций при различных $$m$$ и $$n$$

Степенная функция $$y=x^{frac{1}{2}}.$$

Степенная функция $$y=x^{frac{3}{2}}.$$

Степенная функция $$y=x^{frac{1}{3}}.$$

Степенная функция $$y=x^{frac{2}{3}}.$$

Степенная функция $$y=x^{frac{5}{3}}.$$

4. $$alpha=q$$ ($$q=frac{m}{n}

При четном $$n$$ функция определена на множестве $$(0;infty),$$ а при нечетном $$n$$ — на множестве $$(-infty;0)cup(0;infty).$$ График функции проходит через точку $$(1;1).$$ Графики при различных $$m$$ и $$n$$

Степенные функции $$y=x^{-frac{1}{2}}, y=x^{-frac{1}{3}}, y=x^{-frac{2}{3}}, y=x^{-frac{3}{2}}.$$

Источник: https://Bondarenko.dn.ua/mathematics/basic-formulas/stepennaya-funktsiya/

Ссылка на основную публикацию