Средняя скорость молекул — справочник студента

При решении этих задач обязательно помним, что средняя скорость может быть найдена только делением всего пути на все время движения, даже если какое-то время объект не двигался (делал остановку). Если путь не задан, то необходимо ввести буквенное обозначение длины пути.

Задача 1. Поезд прошел путь 200 км. В течение времени ч он двигался со скоростью км/ч, затем сделал остановку на время мин. Оставшуюся часть пути он шел со скоростью км/ч. Какова средняя скорость движения поезда?

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Путь в этой задаче известен. Значит, осталось определить время движения поезда. Кроме того, известно и время его движения на первом участке, значит, нам осталось определить время движения поезда на последнем кусочке, где он двигался со скоростью км/ч. Нетрудно понять, что длина этого отрезка пути равна 100 км, так как поезд уже преодолел 100 км за первый час. Поэтому

  •     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  •     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  • Таким образом,
  •     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  • Ответ: 50 км/ч

Задача 2. Определить среднюю скорость поезда, если первую половину пути он шел со скоростью км/ч, а вторую половину пути  – со скоростью км/ч.

В этой задаче путь неизвестен. Обозначим его . Тогда время движения поезда на первой половине пути

  1. Время движения на второй половине –
  2. Средняя скорость – результат деления всего пути, пройденного поездом, на все время:
  3.     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  4.     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  5.     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  6.     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  7. Ответ: км/ч

Задача 3. Два автомобиля одновременно выехали из Москвы в Петербург.  Один автомобиль первую половину пути ехал со скоростью км/ч, а вторую половину – со скоростью км/ч. Другой автомобиль первую половину времени ехал со скоростью км/ч, а вторую – со скоростью км/ч. Какой автомобиль приедет в Петербург раньше?

Если окажется, что средняя скорость одного из автомобилей больше, чем у другого, то он и должен прибыть раньше. Определим среднюю скорость каждого автомобиля. Первый:

  •     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  •     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  •     Средняя скорость молекул - Справочник студента
  • Второй за первую половину времени прошел:
  • За вторую половину времени:
  • Тогда его средняя скорость:
  • Таким образом, второй автомобиль прибудет раньше.

Задача 4. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что первую треть пути он летел со скоростью км/ч, вторую треть – со скоростью км/ч, а последнюю часть пути – со скоростью, вдвое большей средней скорости  на первых двух участках пути.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Принципы организационной деятельности - справочник студента

Оценим за полчаса!
  1. Найдем среднюю скорость самолета на двух первых участках пути.
  2. Тогда .
  3. Определяем среднюю скорость на всем участке пути:
  4. Ответ: 700 км/ч

Задача 5. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что на прохождение отдельных участков дистанции, длины которых относятся как , потребовались промежутки времени, находящиеся в отношении , и на последнем участке скорость поезда км/ч. Считать, что на каждом из участков поезд двигался равномерно.

  • Определим весь путь по его частям:
  • Если , то , , , а весь путь
  • Определим время движения поезда на последнем участке, зная его скорость:
  • Тогда, так как
  • Отсюда найдем :
  • Общее время движения:
  • Наконец, находим среднюю скорость:
  • Ответ: средняя скорость поезда – 40 км/ч.

Источник: https://easy-physic.ru/srednyaya-skorost/

Идеальный газ в молекулярно-кинетической теории. Среднее значение квадрата скорости молекул

Газов в природе существует великое множество, и все они имеют определенные отличительные свойства. Но для исследований необходимо ввести некую идеализированную модель, которая так и называется: идеальный газ.

Впервые ввести модель идеального газа предложил Михаил Ломоносов. Большой вклад в создание такой модели, как идеальный газ, внес Джеймс Джоуль, но все же, основной труд принадлежит Рудольфу Клаузиусу.

Именно Клаузиус ввел модель идеального газа в 1857 году.

  • Итак, идеальный газ — это модель реального газа, взаимодействие между молекулами которого, пренебрежимо мало.
  • Упоминая об идеальном газе, мы предполагаем следующее:
  • ·                   Молекулы газа очень малы и представляют собой упругие шарики.
  • ·                   Молекулы этого газа двигаются беспорядочно.
  • ·                   Взаимодействия между молекулами газа происходят только при соударениях, а соударения считаются абсолютно упругими.

Конечно, такого газа в природе не существует. Однако данная модель очень хорошо подходит для исследования тех свойств газов, которые мы будем рассматривать в дальнейшем.

Надо сказать, что разряжённый водород, практически полностью соответствует модели идеального газа.

Впрочем, при привычных нам температурах, таких, как комнатная температура, например, модель идеального газа достаточно хорошо описывает реальные газы, такие, как воздух.

Рассмотрим давление газа на стенки закрытого сосуда. Как вы знаете, давление газа возникает в результате соударений молекул газа со стенками сосуда. Прибор, измеряющий давление, называется манометр.

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Манометр

Конечно, манометр не может улавливать силу удара отдельных молекул. Манометр регистрирует среднюю по времени силу, которая действует на единицу площади поверхности. Если мы построим график зависимости давления от времени, то убедимся, что давление постоянно меняется.

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Однако наблюдаются не хаотичные скачки давления, а сравнительно небольшие колебания вокруг какого-то среднего значения. Поэтому, давление оказывается вполне определенной величиной.

В одном из предыдущих уроков мы убедились, что газы легко сжимаются, но при этом повышается давление. Теперь мы можем в этом ещё раз убедиться: очевидно, что если газ поместить в меньший объём, то количество соударений в единицу времени увеличится.

Это увеличит среднюю силу, а, значит, давление тоже увеличится.

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Но, чтобы вычислить среднее давление, необходимо знать среднюю скорость молекул. Точнее, как мы убедимся чуть позже, нам нужно знать значение не самой средней скорости, а квадрата средней скорости.

Конечно же, проследить за всеми молекулами газа просто невозможно. Их очень много, все они движутся по хаотичной траектории, преодолевая несколько сотен метров в секунду. Но нас не интересует скорость отдельной молекулы.

Нас интересует, к какому результату приводит движение всех молекул газа.

Приведем простой пример. Когда повар готовит ужин для большого количества людей, он не знает, кто сколько съест.

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Но повар знает какое-то среднее количество еды, которое может съесть за ужином среднестатистический человек, и, исходя из этого, рассчитывает количество еды, которое необходимо приготовить.

Точно также, нам не надо знать скорости отдельных молекул. Нам необходимо знать какое-то среднее значение скорости, и, исходя из него, производить те или иные расчеты.

Обозначим скорости молекул за ????1,????2,…,????????. Тогда среднее значение квадрата скорости будет вычисляться по формуле:

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Напомним, что скорость — это векторная величина, а квадрат любого вектора равен сумме квадратов его проекций. Значит, среднее значение квадрата скорости будет равно сумме квадратов средних значений проекций скорости на координатные оси:

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Разумеется, средние значения квадратов проекций на оси можно определить тем же способом:

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Конечно, молекулы двигаются абсолютно беспорядочно, поэтому мы можем считать проекции на все три оси равноправными.

То есть, мы справедливо можем предположить, что проекция на ось х равна проекциям на оси у и z.

Таким образом, мы можем заключить, что среднее значение квадрата проекции скорости на любую ось равно одной третьей среднего значения квадрата самой скорости:

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Напомним, что каждое тело, в частности газ, обладает макроскопическими и микроскопическими параметрами. К макроскопическим параметрам относятся давление, температура и объём.

Как правило, именно с помощью макроскопических параметров мы характеризуем то или иное тело. Но макроскопические параметры зависят от микроскопических, таких, как масса, размеры и скорости молекул.

В ближайшее время мы будем заниматься изучением того, как макроскопические параметры газа зависят от микроскопических.

Источник: https://videouroki.net/video/42-idieal-nyi-ghaz-v-moliekuliarno-kinietichieskoi-tieorii-sriednieie-znachieniie-kvadrata-skorosti-moliekul.html

3.3. Характерные скорости молекул

В этом разделе приводятся некоторые следствия, вытекающие из формул (3.29Средняя скорость молекул - Справочник студента) и (3.30). В качестве примера на рис. 3.3 изображены две кривые, соответствующие распределениям f(v) молекул кислорода O2 по абсолютным величинам скоростей при температурах Т1 = 300 К и Т2 = 1 300 К.

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Рис. 3.3. Распределение молекул кислорода по скоростям при разных температурах T1 = 300 К и T2 = 1 300 К

Наиболее вероятная скорость. При бесконечно малых и неограниченно больших значениях скоростей функция распределения стремится к нулю

то есть такие предельные значения скоростей маловероятны в системе. Следовательно, при каком-то значении скорости функция f(v) достигает своего максимума.

Наиболее вероятная скорость vВЕР — это скорость, отвечающая максимальному значению функции распределения.

Ее можно найти, решая уравнение

Средняя скорость молекул - Справочник студента

откуда следует, что

Средняя скорость молекул - Справочник студента (3.31)

Иными словами, наиболее вероятной называется скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул. В этой точке f(v) принимает максимальное значение:

Средняя скорость молекул - Справочник студента (3.32)

Соотношения (3.31), (3.32) могут быть полезны для анализа изменения функции распределения при изменении температуры газа или при изменении рода газа, то есть массы молекул. Отметим, что как следует из (3.26) – (3.29), распределение Максвелла зависит не отдельно от массы молекул и отдельно от температуры газа, а от их отношения .

Поэтому распределение не только «буквенно» но и численно одно и тоже, например, для  молекулярного водорода   Средняя скорость молекул - Справочник студента при температуре  и для гелия   Средняя скорость молекул - Справочник студента при температуре .

Читайте также:  Теорема нернста и её следствия - справочник студента

С ростом температуры наиболее вероятная скорость vВЕР (3.31) увеличивается, то есть максимум функции f(v) сдвигается вправо (см. рис. 3.3), Т2 > Т1. При этом f(vВЕР) уменьшается, то есть кривая становится более пологой.

Так же деформируется кривая, если температура постоянна, но масса молекул уменьшается. Напомним, что при любых деформациях функции распределения f(v) площадь под кривыми постоянна и равна единице в соответствии с формулой (3.30).

Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение v0, определяется выражением

(3.33)

На графике (см. рис. 3.3) этому интегралу соответствует лежащая справа от v0 часть площади (отмечена штриховкой), ограниченная кривой f(v) и осью скоростей. Как видно из рис. 3.3, относительное количество молекул, имеющих скорости, превышающие v0, растет с повышением температуры.

  • В заключение этого раздела заметим, что во всех формулах для функции распределения и характерных скоростей входит отношение массы молекулы к постоянной Больцмана
  • Умножая числитель и знаменатель на число Авогадро NA и учитывая, что
  • — молярная масса газа, a
  • — универсальная газовая постоянная, мы всюду можем использовать это отношение в наиболее удобной для конкретной задачи форме

Распределение молекул по величинам безразмерной скорости. Если при графическом изображении функции распределения Максвелла (3.

29) по оси абсцисс откладывать скорости молекул v, то форма кривой и положение максимума будут зависеть от массы молекул и от температуры газа.

Но если по горизонтальной оси откладывать отношение скорости к наиболее вероятной скорости, то есть безразмерную скорость

то для всех температур и любых масс молекул (любых газов) получится одна и та же кривая (рис. 3.4).

Рис. 3.4.Распределение Максвелла по величинам безразмерной скорости

  1. Сделав замену переменной
  2. в (3.29) и учитывая, что
  3. получим распределение Максвелла в форме
(3.34)

Эта формула и соответствующий ей график (см. рис. 3.4) удобны для решения многих задач.

Пример. Найдем, какая часть общего числа молекул кислорода имеет при температуре 27 °С скорости, отличающиеся от наиболее вероятной не более, чем на 1 %; а также скорости в интервале 562–572 м/с.

Произведем необходимые вычисления. Чтобы ответить на первый вопрос задачи, учтем, что u = 1 при v = vВЕР. Величина интервала du = 0,02. Следовательно,

  • Вычислим наиболее вероятную скорость:
  • Найдем отношение v = 562 м/с к vВЕР = 395 м/с

Определим по кривой (см. рис. 3.4) значение функции f(u) при u = 1,42. Получаем f(u) = 0,62. Ширина интервала Dv = 10 м/с (Du = 10/395 = 0,0253). Следовательно, доля молекул в этом интервале

Интересно отметить, что молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,4 км. Но не нужно забывать о соударениях молекул.

Из-за них молекула по прямой движется очень недолго, и ее путь представляет собой ломаную линию.

Поэтому молекула, двигаясь с огромной скоростью по отдельным звеньям ломаной траектории, передвигается от слоя к слою газа со сравнительно небольшой скоростью.

Средняя арифметическая скорость. Знание функции распределения молекул по скоростям f(v) дает возможность найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например квадрата скорости v2 или кинетической энергии молекулы mv2/2.

Средняя арифметическая скорость — это отношение суммы абсолютных величин скоростей всех молекул в системе к числу этих молекул.

Разобьем интервал всех возможных значений скорости от 0 до бесконечности на малые интервалы Dvi. Каждому интервалу соответствует количество молекул

(3.35)

Так как интервалы Dvi, малы, то можно приближенно считать скорости молекул данного интервала одинаковыми и равными vi. Сумма значений скоростей молекул интервала

(3.36)

Сумма значений скоростей всех молекул

(3.37)

Разделив эту сумму на число молекул, получим выражение для средней арифметической скорости

(3.38)

Переходя от суммы к интегралу, получаем

(3.39)

Вычисляя интеграл, получаем среднюю арифметическую скорость молекул

(3.40)

Среднеквадратичная скорость. Чтобы найти среднее значение произвольной функции L(v) скорости, нужно эту функцию умножить на функцию распределения и проинтегрировать по всем возможным значениям скорости:

(3.41)

В частности, при L(v) = v отсюда находится .

Среднее значение квадрата скорости равно отношению суммы квадратов скоростей всех молекул системы к общему числу молекул. Таким образом,

(3.41)
Среднеквадратичная скорость это корень квадратный из среднего значения квадрата скорости молекул

Следует отметить, что характерные скорости отличаются друг от друга лишь численными множителями, причем

(3.43)

а зависимость от Т и m0 (или m) у них одинаковая.

Через среднеквадратичную скорость выражается средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

(3.44)

Этот результат находится в согласии с формулой (1.14) кинетической теории идеальных газов и с законом о равнораспределении энергии, который гласит, что на каждую степень свободы молекулы приходится энергия kBТ/2.

Три степени свободы поступательного движения молекулы как раз соответствуют полученному здесь результату (3.44). В сущности, именно для того, чтобы получить такое соответствие, мы выбрали должным образом коэффициент α в (3.

26).

Эксперимент по проверке распределения Максвелла. Необходимо еще раз подчеркнуть, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесии.

Закон справедлив для любого числа молекул N, если только это число достаточно велико. Закон Максвелла — статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказанной статистики — флуктуации.

Экспериментальное определение распределения скоростей молекул было осуществлено впервые О. Штерном в 1920 г. Исследовалось распределение по скоростям одноатомных молекул паров металлов (Ag или Pt), из которых была изготовлена нить, расположенная на оси двух цилиндров. Нить нагревалась электрическим током, и металл испарялся (см. рис 3.5).

Рис. 3.5 Схема опыта Штерна: 1 — вид установки сбоку; 2 — вид установки сверху

Молекулы, прошедшие через щель во внутреннем цилиндре, летели по прямой и оседали на стенке холодного внешнего цилиндра.

Если привести всю установку во вращение (щель все время против точки В0), то молекулы, обладающие большой скоростью v, попадут в некоторую точку вблизи В0, а более медленные затратят на путь больше времени и попадут в точки, отстоящие дальше от В0.

Следует обратить внимание, что вылетающие молекулы движутся по прямой, они не участвуют во вращательном движении. Поскольку молекулы в зависимости от скорости попадают в разные точки внешнего цилиндра, то исследуя толщину слоя металла, осевшего на его стенку, можно составить представление о распределении молекул по скоростям.

Найдем распределение молекул по расстояниям S от точки В0 до места их попадания на стенку цилиндра. Если R и r — радиусы большого и малого цилиндров, соответственно (см. рис.), то время полета от щели до стенки цилиндра

  1. За это время цилиндр повернется на угол
  2. где ω — угловая скорость вращения установки. Соответственно, точка попадания будет смещена относительно В0 на расстояние
  3. Подставляя сюда время полета, получаем связь скорости молекулы с расстоянием S:
  4. Подставляя, в свою очередь, полученное выражение в распределение Максвелла и учитывая, что
  5. находим распределение молекул по расстояниям S:
  6. (мы опускаем выражение для нормировочной постоянной С).
  7. Опыты Штерна подтвердили справедливость закона, установленного Максвеллом.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/molecular_physics/data/course/3/3.3.1.html

Идеальный газ в МКТ. Среднее значение квадрата скорости молекул — Класс!ная физика

«Физика — 10 класс»

Вспомните, что такое физическая модель. Можно ли определить скорость одной молекулы?

Идеальный газ.

У газа при обычных давлениях расстояние между молекулами во много раз превышает их размеры. В этом случае силы взаимодействия молекул пренебрежимо малы и кинетическая энергия молекул много больше потенциальной энергии взаимодействия.

Молекулы газа можно рассматривать как материальные точки или очень маленькие твёрдые шарики. Вместо реального газа, между молекулами которого действуют силы взаимодействия, мы будем рассматривать его модель — идеальный газ.

Идеальный газ — это теоретическая модель газа, в которой не учитываются размеры молекул (они считаются материальными точками) и их взаимодействие между собой (за исключением случаев непосредственного столкновения).

Естественно, при столкновении молекул идеального газа на них действует сила отталкивания. Так как молекулы газа мы можем согласно модели считать материальными точками, то размерами молекул мы пренебрегаем, считая, что объём, который они занимают, гораздо меньше объёма сосуда.

В физической модели принимают во внимание лишь те свойства реальной системы, учёт которых совершенно необходим для объяснения исследуемых закономерностей поведения этой системы.

Ни одна модель не может передать все свойства системы. Сейчас нам предстоит решить задачу: вычислить с помощью молекулярно-кинетической теории давление идеального газа на стенки сосуда. Для этой задачи модель идеального газа оказывается вполне удовлетворительной. Она приводит к результатам, которые подтверждаются опытом.

Давление газа в молекулярно-кинетической теории.

Пусть газ находится в закрытом сосуде. Манометр показывает давление газа р0. Как возникает это давление?

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Каждая молекула газа, ударяясь о стенку, в течение малого промежутка времени действует на неё с некоторой силой. В результате беспорядочных ударов о стенку давление быстро меняется со временем примерно так, как показано на рисунке 9.1.

Однако действия, вызванные ударами отдельных молекул, настолько слабы, что манометром они не регистрируются. Манометр фиксирует среднюю по времени силу, действующую на каждую единицу площади поверхности его чувствительного элемента — мембраны.

Несмотря на небольшие изменения давления, среднее значение давления р0 практически оказывается вполне определённой величиной, так как ударов о стенку очень много, а массы молекул очень малы.

Среднее давление имеет определённое значение как в газе, так и в жидкости. Но всегда происходят незначительные случайные отклонения от этого среднего значения.

Чем меньше площадь поверхности тела, тем заметнее относительные изменения силы давления, действующей на данную площадь.

Так, например, если участок поверхности тела имеет размер порядка нескольких диаметров молекулы, то действующая на неё сила давления меняется скачкообразно от нуля до некоторого значения при попадании молекулы на этот участок.

Среднее значение квадрата скорости молекул.

Для вычисления среднего давления надо знать значение средней скорости молекул (точнее, среднее значение квадрата скорости). Это не простой вопрос. Вы привыкли к тому, что скорость имеет каждая частица. Средняя же скорость молекул зависит от того, каковы скорости движения всех молекул.

Чем отличается определение средней скорости тела в механике от определения средней скорости молекул газа?

С самого начала нужно отказаться от попыток проследить за движением всех молекул, из которых состоит газ. Их слишком много, и движутся они очень сложно. Нам и не нужно знать, как движется каждая молекула. Мы должны выяснить, к какому результату приводит движение всех молекул газа.

Характер движения всей совокупности молекул газа известен из опыта. Молекулы участвуют в беспорядочном (тепловом) движении. Это означает, что скорость любой молекулы может оказаться как очень большой, так и очень малой. Направление движения молекул беспрестанно меняется при их столкновениях друг с другом.

Скорости отдельных молекул могут быть любыми, однако среднее значение модуля этих скоростей вполне определённое.

В дальнейшем нам понадобится среднее значение не самой скорости, а квадрата скорости — средняя квадратичная скорость. От этой величины зависит средняя кинетическая энергия молекул.

А средняя кинетическая энергия молекул, как мы вскоре убедимся, имеет очень большое значение во всей молекулярно-кинетической теории. Обозначим модули скоростей отдельных молекул газа через υ1, υ2, υ3, … , υN.

Среднее значение квадрата скорости определяется следующей формулой:

Средняя скорость молекул - Справочник студента

  • где N — число молекул в газе.
  • Но квадрат модуля любого вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат OX, OY, OZ.
  • Из курса механики известно, что при движении на плоскости υ2 = υ2x + υ2y. В случае, когда тело движется в пространстве, квадрат скорости равен:

υ2 = υ2x + υ2y + υ2z.         (9.2)

Средние значения величин υ2x, υ2y и υ2z можно определить с помощью формул, подобных формуле (9.1). Между средним значением и средними значениями квадратов проекций существует такое же соотношение, как соотношение (9.2):

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Действительно, для каждой молекулы справедливо равенство (9.2). Сложив такие равенства для отдельных молекул и разделив обе части полученного уравнения на число молекул N, мы придём к формуле (9.3).

>Внимание! Так как направления трёх осей OX, OY и OZ вследствие беспорядочного движения молекул равноправны, средние значения квадратов проекций скорости равны друг другу:

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Учитывая соотношение (9.4), подставим в формулу (9.3) вместо и . Тогда для среднего квадрата проекции скорости на ось ОХ получим

Средняя скорость молекул - Справочник студента

Скорости молекул беспорядочно меняются, но средний квадрат скорости вполне определённая величина.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Основные положения МКТ. Тепловые явления — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Почему тепловые явления изучаются в молекулярной физике — Основные положения молекулярно-кинетической теории. Размеры молекул — Примеры решения задач по теме «Основные положения МКТ» — Броуновское движение — Силы взаимодействия молекул. Строение газообразных, жидких и твёрдых тел — Идеальный газ в МКТ.

Среднее значение квадрата скорости молекул — Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов — Примеры решения задач по теме «Основное уравнение молекулярно-кинетической теории» — Температура и тепловое равновесие — Определение температуры. Энергия теплового движения молекул — Абсолютная температура.

Читайте также:  Теория валентных связей - справочник студента

Температура — мера средней кинетической энергии молекул — Измерение скоростей молекул газа — Примеры решения задач по теме «Энергия теплового движения молекул» — Уравнение состояния идеального газа — Примеры решения задач по теме «Уравнение состояния идеального газа» — Газовые законы — Примеры решения задач по теме «Газовые законы» — Примеры решения задач по теме «Определение параметров газа по графикам изопроцессов»

Источник: http://class-fizika.ru/10_a210.html

Кинематические характеристики газа

В молекулярной физике газ рассматривается как совокупность большого числа частиц, которые движутся хаотически во всём объёме. Исходя из огромного количества частиц, рассмотреть движение каждой из них достаточно сложно (в силу большого количества уравнений), но есть возможность описать усреднённые кинематические характеристики движения молекул газа.

Так, проанализируем используемые усреднённые скорости:

  • где
    • — средняя скорость молекул газа,
    • м*кг*с*К*Моль — газовая постоянная,
    • — температура газа,
    • — константа.
    • — молярная масса газа.

(2)

  • где
    • — среднеквадратичная скорость движения молекул.

Данные скорости выводятся, исходя из статистических соотношений, и сам вывод сложен, поэтому просто обсудим, что мы ввели. Итак, средняя скорость (1) — усреднённое значение скоростей всех молекул газа (т.е.

мы виртуально просуммировали скорости всех молекул и разделили на их количество).

Для нахождения среднеквадратической скорости (2) мы виртуально возвели в квадрат скорость каждой молекулы в газе, затем просуммировали и разделили на полное количество молекул (т.е. усреднили квадраты скоростей).

Частицы газа, находящиеся в постоянном тепловом движении, постоянно сталкиваются друг с другом. Однако для отдельно выбранной молекулы можно ввести расстояние и время движения молекулы от столкновения к столкновению — длину свободного пробега. Опять же статистически можно просчитать данный параметр:

(3)

  • где
    • — средняя длина свободного пробега,
    • — средняя скорость молекул газа,
    • — среднее число столкновений в единицу времени.

Или ещё один вариант:

(4)

  • где
    • — средняя длина свободного пробега,
    • — число молекул в единице объёма (концентрация),
    • — константа,
    • — эффективный диаметр молекулы.
  • Соотношения (3) и (4) используются напрямую в задаче (большинство задач ЦТ по этой теме в одну формулу).
  • Рассмотрим среднюю кинетическую энергию движения молекулы газа:
  • (5)
  • где
    • — средняя кинетическая энергия движения молекулы газа,
    • — масса молекулы,
    • — среднеквадратичная скорость молекул газа.
  1. Воспользуемся соотношением (2):
  2. (6)
  3. Далее учтём определение молярной массы () и раскроем константу ():
  4. (7)
  • где
    • — средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну молекулу,
    • Дж/К — постоянная Больцмана,
    • — температура газа.
  • Аналогичным образом можем просчитать суммарную кинетическую энергию одного моля газа:
  • (8)
  • И для всего газа в целом:
  • (9)
  • где
    • — химическое количество газа,
    • — внутренняя энергия идеального одноатомного газа.
  1. Параметр внутренней энергии газа () достаточно важный, фактически, он является суммарной кинетической энергией всех молекул газа и связывает кинематические характеристики движения отдельных молекул (скорость) с температурой всего газа.
  2. Одним из часто рассматриваемых параметров газа является концентрация вещества, во общем случае её можно получить как:
  3. (10)
  • где
    • — концентрация вещества,
    • — число молекул газа,
    • — объём газа.
  • Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона при условии химического количества ():
  • (11)
  • Исходя из (10) получим  и подставим в (1) с учётом :
  • (12)
  • Исходя из (7):
  • (13)
  • Подставим (13) в (12):
  • (14)
  • Соотношение (12) и (14) — различные формы записи зависимости кинематических характеристик движения молекул (скорость энергия, количество молекул) с термодинамическими характеристиками идеального газа (объём, давление, температура).

Вывод: задачи на данную тематику достаточно линейны, т.е.

узнать их можно по соответствующим понятиям: «средняя скорость», «среднеквадратичная скорость», «средняя длинна свободного пробега», «внутренняя энергия» и т.д.

Все такие задачи чаще всего решаются в одну конкретную формулу (1) — (6). Остальные формулы (7) — (14) практически одинаковы по логике и используются в зависимости дано в задаче.

Источник: https://www.abitur.by/fizika/teoreticheskie-osnovy-fiziki/termodinamika-i-molekulyarnaya-fizika/kinematicheskie-xarakteristiki-gaza/

ПОИСК

    Средняя скорость молекул основных газов воздуха — азота и кислорода — составляет при обычных условиях около 460 м/сек, среднее число столкновений каждой молекулы за секунду — около 7 миллиардов, а средняя длина свободного пробега — около 70 ммк.

Так как средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению газа (рис. П-4), под вакуумом, например, в миллионную долю миллиметра ртутного столба она составляет уже около 50 м.

Практически это означает, что молекулы при таком вакууме несравненно чаще будут сталкиваться со стенками заключающего газ сосуда, чем друг с другом. [c.66]

    Последнее выражение очень напоминает уравнение (3-4), описывающее закон Бойля-Мариотта, согласно которому произведение давления газа на его объем постоянно при постоянной температуре.

Сделанный нами расчет, который основывается на простых предположениях молекулярнокинетической теории, приводит к выводу, что произведение РУ постоянно при заданной средней скорости молекул газа.

Если эта теория верна, средняя скорость движения молекул газа не может зависеть от его давления или объема, а зависит только от температуры газа. Средняя кинетическая энергия молекул, которую мы обозначим символом е (е-греческая буква [c.138]

    В кинетической теории идеальных газов среднюю длину свободного пробега молекул определяют как отношение средней скорости молекул к частоте столкновений. Однако удобнее величину найти, используя выражение для динамической вязкости [c.55]

    Грубое определение условий, при которых диффузия оказывает существенное влияние, можно сделать, сравнивая время диффузии со временем протекания параллельных или последовательных процессов. Из кинетической теории (см. разд. VI.

7) известно, что время, необходимое для того, чтобы молекула продиффундировала на расстояние х, дается выражением to x /D, где D — коэффициент диффузии, обратно пропорциональный давлению (т. е. Z) = DJP).

Если процесс представляет собой захват радикалов на стенках, то по кинетической теории число ударов о стенку в секунду (см. разд. VII.8) дается соотношением ,N S, где с — средняя скорость молекул, S — поверхность, N — число молекул па единицу объема.

Среднее время захвата молекулы при ударе о стенку равно общему числу молекул NV, деленному па скорость захвата, или = 4F/>5 e, где е— вероятность захвата при ударе о стенку. [c.386]

    Средняя скорость молекулы < и > равна [c.73]

    Физические свойства воздуха. В газообразном состоянии литр воздуха при 0° С и давлении 760 мм рт. ст. на уровне моря в среднем весит 1,2930 г.

Плотность воздуха по отношению к водороду 14,394, по отношению к воде при 4° С Вес литра воздуха несколько меняется в зависимости от географического положения и высоты местности.

Критическая температура—около 140—141° С критическое давление — от 35,9 до 39,2 атм. Средняя скорость молекул 44690 см/сек. [c.517]

    Здесь / — средний радиус молекулы, Ык и Л в—число молекул А и В в 1 см ы.з—средняя скорость молекул. Можно, например, считать, что г= (/-а-ЬГв)/2, а л кинетической теории газов известно, что [c.132]

    V а — средняя скорость молекул, м сек  [c.114]

    Средняя скорость молекул дается в виде [c.103]

    Путем подстановки значений плотности газа и средней скорости молекул уравнение (Х.16) может быть переписано для доказательства зависимости ионной подвижности от типа газа, давления и абсолютной за температуры, а также от того, переносят ли заряд ионы газа или электроны  [c.443]

    Средняя скорость молекул выражается через скорость звука а [c.132]

    В основе этой теории лежит требование совпадения размерности обеих частей равенств, выражающих связь между физическими величинами. Целесообразнее всего удовлетворить это требование, если выражать физические законы в виде соотношений между безразмерными комплексами.

Теория размерностей, таким образом, позволяет излагать законы природы в форме, не зависящей от выбранных единиц. Это обстоятельство, в частности, используется для контроля физических расчетов, поскольку в применяемых уравнениях должны совпадать размерности их правых и левых частей.

Теория размерностей дает возможность предсказания некоторых физических соотношений, если заранее известно, какие величины могут влиять на изучаемое явление. Рассмотрим простой пример, относящийся к зависимости давления идеального газа Р от объема V.

Молекулы такого газа можно считать математическими точками и давление должно зависеть от следующих величин массы одной молекулы т, средней скорости молекул от их числа п в единице объема п1У. Следовательно, Р = (т, и, п/У). Обозначим размерность длины через Ь, массы через М и времени через Т.

Интересующие нас величины имеют размерности Р — Ь МТ , т — М, и — LT и п1У — Предполагая, что функция / степенная, введем пока неизвестные показатели степени [c.366]

    Средняя скорость молекулы выражается уравнением [c.297]

    Ответ не должен содержать неизвестных констант, таких, как А. б) Выразите среднюю скорость молекул V через т, Т и универсальные постоянные. [c.165]

    ХУ1-3-3. Молекулы, каждая с массой т, ограничены одним измерением, в котором они двигаются (в противоположных направлениях) по закону случая с распределением по скоростям, определяемым температурой Т.

Молекулы проницаемы и могут проникать сквозь друг друга, а) Какова средняя скорость молекул V б) Выразите среднюю скорость г через т, Т и универсальные постоянные, в) Вычислите среднюю относительную скорость г 211 и отношение г 211/1г 1. [c.168]

    При 293 К и 101,325 кПа средняя скорость молекул Hg составляет 1757 м/с, NH3 — 603, С>2 — 441, НС1 — 412, диоксида углерода СО2 — 376 м/с.

Эти значения соответствуют скоростям просачивания газов в вакуум через микротрещины, а также скоростям распространения в них звука.

Взаимосвязь между параметрами состояния идеального газа (давлением, температурой, объемом, массой) описывается законами для идеальных газов (см. гл. 1 1.2). Поведение реальных газов [c.102]

    Так, если средняя скорость молекулы газа при 0°С и давлении 1 атм равна 10 см/сек, а длина свободного пути (между столкновением молекул) равна 10 см, то число столкновений для одной молекулы будет соответствовать 10 ° столкновений в 1 сек. [c.104]

    Если средняя скорость молекул газа значительно изменяется вблизи частицы, то на частицу может действовать заметная нескомпенсированная сила за счет ударов молекул. Температурный градиент вблизи стенки трубы в теплообменнике часто достаточно велик для того, чтобы сила термофореза была значи-. тельной. [c.258]

    Зависимость, приведенная для коэффициента турбулентного обмена, аналогична зависимости для коэффициента молекулярной диффузии D= 3lav, где /о—длина пути свободного пробега молекулы, а и — средняя скорость молекулы.

Если I не превосходит глубину фронта пламени в ламинарном потоке бн, то поверхность пламени должна остаться гладкой , однако, как оказалось, и в этом случае наличие турбулентности интенсифицирует обменные процессы. Величина 5н равна примерно 1 мм.

Теория рассматривает поверхностное горение турбулентных объемов газа, когда 1объемное горение, когда [c.166]

    MqZ, или, ввиду того, что 2 — й/Х (к—средняя скорость молекул и Л — средняя длила пробега), = klйq. Так как далее О = Хгг/3, то, подставляя и ) в формулу для V, представим ее в виде [c.209]

    U —средняя скорость молекул, равная SRTInM (см. гл. III) а — коэффициент диффузионного рассеяния (Милликена), или константа аккомодации (Эпштейна). [c.207]

    Изменения поправки Каннингхема при изменении температуры и давления могут быть рассчитаны как функция вязкости среды и средней скорости молекул. Последняя пропорциональна корню [c.207]

    Так как в газе самими молекулами занята лишь очень небольшая доля всего объема, один газ распространяется в другом практически, как в пустоте. Согласно кинетической теории, общее выражение для средней скорости частицы газа имеет вид v=l45VТЩ м/сек, где Г — абсолютная температура, а Лi — молекулярный вес.

Отсюда следует, что при одинаковых условиях средние скорости молекул различных газов обратно пропорциональны квадратным корням из их молекулярных весов.

Зная из опыта относительные скорости диффузии двух газов (прямо пропорциональные средним скоростям их молекул) и молекулярный вес одного из них, можно по соотношению VI V2 = 1 М2 найти молекулярный вес другого. [c.120]

    При 293 К и 101,325 кПа средняя скорость молекул Нз составляет 1757 м/с, NHa — 603, О2 — 441, H l — 412, диоксида углерода СО2 — 376 м/с. Эти значения соответствуют скоростям просачивания газов в вакуум через микротрещины, а также скоростям р с-пространения в них звука.

Взаимосвязь между параметрами состояния идеального газа (давлением, температурой, объемом, массой) описывается законами для идеальных газов (см. гл. I, 3). Поведение реальных газов сходно с поведением идеального газа лищь при очень низком давлении или высокой температуре.

Это объясняется тем, что этими законами не учитывается способность молекул к взаимодействию между собой и их объем. [c.81]

    Общее выражение для средней скорости частицы газа имеет вид 11 = 45- Jt M ule (где Т — абсолютная температура, М — молекулярная масса).

Отсюда следует, что при одинаковых условиях средние скорости молекул различных газов обратно пропорциональны квадратным корням из их молекулярных м а с с.

Зная из опыта относительные скорости диффузии двух газов (прямо пропорциопальные средним скоростям их молекул) и молекулярную массу одного из них, можно по соотношению [c.98]

    В более поздней работе Чепмена (Л. 2-19] рассматривается одноатомный газ, средняя скорость молекул которого и тампература меняются от точки к точке в газе, т. е. газ находится в неоднородном состоянии. Чепмен в этой работе применяет функцию распределения скоростей Максвелла, полагая скорость меняющейся в зависимости от координат точек. [c.126]

Источник: https://www.chem21.info/info/767309/

Ссылка на основную публикацию