Средняя линия трапеции — справочник студента

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое трапеция?

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Трапеция, вписанная в окружность. ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ Трапеция. Основные понятия и определения Четвертое свойство трапеции Седьмое свойство трапеции ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средняя линия трапеции - Справочник студента Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Вот, смотри:

Средняя линия трапеции - Справочник студента

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Средняя линия трапеции - Справочник студента Если боковые стороны равны, то она называется равнобедренной, или равнобокой.

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ??? И ответ: а вот и нет — тогда это получится НЕ трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма…)

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен знать о них?

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Кодирование и декодирование информации - справочник студента

Оценим за полчаса!
Средняя линия трапеции - Справочник студента Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке   и  )

Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что   и   – внутренние односторонние углы при параллельных   и   и секущей  . Поэтому  . И точно так же   и   – внутренние односторонние углы при тех же параллельных   и  , но секущая теперь –  .

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Средняя линия трапеции - Справочник студента Средняя линия трапеции - Справочник студента

Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.

Средняя линия трапеции - Справочник студента Опять   и   – параллельные, а диагональ   – секущая. Поэтому  .

А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:

Средняя линия трапеции - Справочник студента

Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники   и   – подобны по двум углам. Их коэффициент подобия равен отношению оснований:  .

Средняя линия трапеции

Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

Средняя линия трапеции - Справочник студента Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

Средняя линия трапеции - Справочник студента  , то есть
Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований

А ещё:

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям

Трапеция, вписанная в окружность

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий. Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!

ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Трапеция. Основные понятия и определения

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или равнобокой.

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.

Первое свойство трапеции

Сумма угловпри каждой боковой стороне трапеции равна  .

Почему?   и   – параллельны, а   и   – секущие, поэтому:

Второе свойство трапеции

Треугольники   и   подобны по двум углам. (  и   – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников   и   равен отношению оснований:

Третье свойство трапеции

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

Итак, проведём  . Тогда четырехугольник   – параллелограмм. Возьмём середину   стороны   и середину   стороны  . Оба:   и   – снова параллелограммы (  и  ;   и  ). Ну вот, значит  , да ещё  .

Поедем дальше.

Проведём   — среднюю линию в  . Знаем, что   и  

Что же из всего этого следует?

  1.   (так как через точку   можно провести лишь одну прямую параллельную  , поэтому   и   – одна прямая  )

Вот и доказали!

Четвертое свойство трапеции

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:   (трапеция же!)   (вписанный четырехугольник)  . Ну, и так же  .

Пятое свойство трапеции

В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой: 1)   – точка пересечения продолжений боковых сторон; 2)   и   – середины оснований; 3)   – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Шестое свойство трапеции

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. 

Седьмое свойство трапеции

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями  

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

  • Проведём   и  .
  • Обозначим  ;  .
  • Тогда:

Значит,   (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине). То есть  . Но ведь   (так как   — параллелограмм)   .

ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

  • Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°:
  •   и  
  • Средняя линия трапеции ( ) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон:  .
  • Средняя линия параллельна основаниям:  .
  • Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований:  .
  • Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
  • Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей (  и  ) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований:  .
  • Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:  .
  • Равнобедренная (равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны:  .

 Свойства равнобедренной трапеции:

  • диагонали равны:  ;
  • углы при основании равны:  ;
  • сумма противолежащих углов равна  :  .
  • Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:  .

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/trapetsiya-2

Найдите среднюю линию трапеции

Средняя линия трапеции - Справочник студента

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания связанные с трапецией. На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с площадью трапеции, а также с углами. Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции - Справочник студента

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Средняя линия трапеции - Справочник студента

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой.

Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других.

Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

  • Средняя линия трапеции - Справочник студента
  • Можем теперь выразить отрезок KL через основания:
  • Средняя линия трапеции - Справочник студента
  • Доказано!
Читайте также:  Исполнительная власть и механизмы ее реализации - справочник студента

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии.  Рассмотрим задачи:

Средняя линия трапеции - Справочник студента

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

  1. Средняя линия трапеции - Справочник студента
  2. Вычисляем по формуле:
  3. Средняя линия трапеции - Справочник студента
  4. Ответ: 23
  5. Средняя линия трапеции - Справочник студента

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

  • Средняя линия трапеции - Справочник студента
  • Выразим большее основание:
  • Таким образом:
  • Ответ: 38

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

  1. Таким образом DC=6. Вычисляем:
  2. Ответ: 10

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

  • Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.
  • Ответ: 4

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

  1. Исходя из условия можем записать:
  2. Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:
  3. Второе уравнение уже можно записать в виде:
  4. Ответ: 20

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

  • Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать
  • Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.
  • Ответ: 9

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

  1. Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

Ответ: 14

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

  • Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:
  • При чём:
  • Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:
  • Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

Ответ: 12

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть  другая величина.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

  1. Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3
  2. Ответ: 3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

28854.Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны √2.

  • В данном случае видно, что средняя линия трапеции равна трём диагоналям клетки. Диагональ одной клетки по теореме Пифагора будет равна:
  • Значит средняя линия равна 2∙3=6.
  • Конечно, есть и другой путь решения.
  • Если допустить мысль, что основания трапеции могут лежать по отношению к сетке под углом не 45 градусов, а например 30, или другим, то вполне применим следующий метод (таких задач на ЕГЭ не предвидится):
  • Вычисляем основания используя теорему Пифагора, а далее используем формулу средней линии.
  • Основание AD при данных условиях это диагональ в прямоугольном треугольнике с катетами равными 4 сторонам клетки, вычисляем:
  • Основание BC это диагональ в прямоугольном треугольнике катетами равными  2 сторонам клетки, вычисляем:
  • Средняя линия будет равна  (8+4)/2=6.
  • *То есть при данном подходе, как бы ни была построена трапеция всегда можно вычислить основания.
  • Ответ: 6

27853. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны √2.

  1. Высота трапеции равна диагонали клетки. Вычисляем по теореме Пифагора:
  2. Ответ: 2

27821. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Посмотреть решение

27838.Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

27843. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

  • Посмотреть решение
  • На этом всё, успеха вам!
  • С уважением, Александр Крутицких.
  • P,S: Расскажите о сайте в социальных сетях.

Источник: https://matematikalegko.ru/chetyirehugolniki/srednyaya-liniya-trapecii-zadachi.html

Средняя линия трапеции

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две — не параллельны, называется трапецией.

На чертеже 252 у четырёхугольника АВDС АВ || СD, AC ||BD. АВDС — трапеция.

Средняя линия трапеции - Справочник студента

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями; АВ и СD — основания трапеции. Остальные две стороны называются боковыми сторонами трапеции; АС и ВD — боковые стороны трапеции.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной.

Трапеция АВОМ равнобедренная, так как АМ=ВО (рис. 253).

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна к основанию, называется прямоугольной (рис. 254).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

Дано: ОС — средняя линия трапеции АВDК, т. е. ОК = ОА и ВС = СD (рис. 255).

  • Надо доказать:
  • 1) ОС || КD и ОС || АВ;
  • 2) OC = (frac{KD + AB}{2})

Средняя линия трапеции - Справочник студента

Доказательство. Через точки А и С проведём прямую, пересекающую продолжение основания КD в некоторой точке Е.

В треугольниках АBС и DСЕ:
ВС = СD — по условию;
∠1 = ∠2, как вертикальные,

∠4 = ∠3, как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и KЕ и секущей ВD. Следовательно, (Delta)АBС = (Delta)DСЕ.

Отсюда АС = СЕ, т.е. ОС является средней линией треугольника КАЕ. Следовательно:

  1. 1) ОС || КЕ и, значит, ОС || КD и ОС || AВ;
  2. 2) OC = (frac{KE}{2} = frac{KD + DE}{2}), но DЕ = АВ (из равенства треугольников АBС и DСЕ), поэтому отрезок DЕ можно заменить равным ему отрезком АВ. Тогда получим:
  3. OC = (frac{KD + AB}{2})
  4. Теорема доказана.
  1. Диагонали трапеции разбивают её начетыре треугольника с общей вершиной. Площади треугольников, прилежащие к боковым сторонам, равны.
    Средняя линия трапеции - Справочник студента
  2. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения прямых, на которой лежат боковые стороны, лежат на одной прямой (точки М, N, О и К).
    Средняя линия трапеции - Справочник студента
  3. В равнобокой трапеции углы при основании равны.
    Средняя линия трапеции - Справочник студента
  4. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии этой трапеции
    Средняя линия трапеции - Справочник студента
  5. В равнобокой трапеции диагонали равны.
    Средняя линия трапеции - Справочник студента
  6. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой — их полусумме.
    Средняя линия трапеции - Справочник студента
  7. Во всякой трапеции серединам боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой.
  8. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований.
    Средняя линия трапеции - Справочник студента
  9. Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований.
  10. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
  11. Трапецию можно описать около окружности тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Источник: http://razdupli.ru/teor/4_srednyaya-liniya-trapecii.php

Трапеция, Средняя линия трапеции, треугольник

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

  • Теорема:
  • Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.
  • Теорема:
  • Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

Средняя линия трапеции - Справочник студента

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

  1. MN средняя линия, AB и CD
    — основания, AD и BC — боковые стороны
  2. MN = (AB + DC)/2
  3. Теорема:
  4. Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.
  5. Основная задача: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

Средняя линия трапеции - Справочник студента

  • AM = MC and BN = NC =>
  • MN || AB
  • MN = AB/2

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:

Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5

Мы соединяем A5 с B и проводим такие прямые через A4, A3, A2 и A1, которые параллельны A5B. Они пересекают AB соответственно в точках B4, B3, B2 и B1. Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB3A3A5 мы видим, что BB4 = B4B3. Таким же образом, из трапеции B4B2A2A4 получаем B4B3 = B3B2

Средняя линия трапеции - Справочник студента

В то время как из трапеции B3B1A1A3, B3B2 = B2B1.
Тогда из B2AA2 следует, что B2B1 = B1A. В заключении получаем :
AB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Источник: https://www.math10.com/ru/geometria/srednaia-linia-trapecii.html

Решение задач по теме «Средняя линия трапеции»

  • Задачи по теме: средняя линия трапеции
  • 9 класс Вариант 1
  • 1) В равнобедренной трапеции средняя линия равна 10, а периметр 36 см. Найдите боковые стороны этой трапеции

2) В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 16, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4. 3) В равнобедренной трапеции острые углы , боковая сторона 10 см, а большее основание 15 см. Найдите меньшее основание и среднюю линию трапеции.

Задачи по теме: средняя линия трапеции 9 класс Вариант 2 1) Средняя линия трапеции равна 30 см, а одно из оснований в два раза меньше другого. Найдите основания трапеции. 2) В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, СН — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 16, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 6. 3) В равнобедренной трапеции острые углы 45, расстояние между основаниями 4 см, а меньшее основание 5см. Найдите большее основание и среднюю линию трапеции.
Задачи по теме: средняя линия трапеции 9 класс Вариант 3 1) Разность оснований трапеции равна 8 см, а средняя линия равна 20 см. Найдите основания этой трапеции. 2) В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, СН — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 10, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4. 3) В трапеции ABCD AD,Средняя линия трапеции - Справочник студента Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что ее диагональ перпендикулярна боковой стороне. Задачи по теме: средняя линия трапеции 9 класс Вариант 4 1) Боковые стороны равнобедренной трапеции равны по 15 см, а средняя линия этой трапеции 25 см. Найдите периметр этой трапеции. 2) В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 12, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4. 3) В трапеции MHKP MP,Средняя линия трапеции - Справочник студента Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
  1. Задачи по теме: средняя линия трапеции
  2. 9 класс Вариант 1
  3. 1) В равнобедренной трапеции средняя линия равна 10, а периметр 36 см. Найдите боковые стороны этой трапеции

2) В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 16, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4. 3) В равнобедренной трапеции острые углы , боковая сторона 10 см, а большее основание 15 см. Найдите меньшее основание и среднюю линию трапеции.

Задачи по теме: средняя линия трапеции 9 класс Вариант 2 1) Средняя линия трапеции равна 30 см, а одно из оснований в два раза меньше другого. Найдите основания трапеции. 2) В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, СН — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 16, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 6. 3) В равнобедренной трапеции острые углы 45, расстояние между основаниями 4 см, а меньшее основание 5см. Найдите большее основание и среднюю линию трапеции.
  • Задачи по теме: средняя линия трапеции
  • 9 класс
  • Вариант 3

1) Разность оснований трапеции равна 8 см, а средняя линия равна 20 см. Найдите основания этой трапеции. 2) В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, СН — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 10, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4. 3) В трапеции ABCD AD,Средняя линия трапеции - Справочник студента Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.

  1. Задачи по теме: средняя линия трапеции
  2. 9 класс
  3. Вариант 4

1) Боковые стороны равнобедренной трапеции равны по 15 см, а средняя линия этой трапеции 25 см. Найдите периметр этой трапеции. 2) В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 12, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4. 3) В трапеции MHKP MP, Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/reshenie_zadach_po_teme_srednyaya_liniya_trapetcii_064114.html

Средняя линия трапеции

  Средняя линия трапеции   — это отрезок, который соединяет середины её боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Доказательство

  • Дано: ABCD — трапеция, MN — средняя линия ABCD
  • Доказать: MN AD, Средняя линия трапеции - Справочник студента
  • Доказательство:

Средняя линия трапеции - Справочник студента

По правилу многоугольника = + + и = + + . Сложив эти равенства, получим:

2 = ( + ) + ( + ) + ( + ).

Но M и N — середины сторон АВ и CD, поэтому + =  и  + =  (так как сумму составляют противоположные векторы, а сумма противоположных векторов равна нулевому вектору) . Следовательно, 2 = + , откуда = ( + ).

Так как векторы и сонаправлены, то векторы и также сонаправлены, а длина вектора ( + ) равна AD + ВС. Отсюда следует, что MN AD, . Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  1. Понятие вектора
  2. Равенство векторов
  3. Откладывание вектора от данной точки
  4. Сумма двух векторов
  5. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
  6. Сумма нескольких векторов
  7. Вычитание векторов
  8. Произведение вектора на число
  9. Применение векторов к решению задач
  10. Векторы

Правило встречается в следующих упражнениях:

  • 7 класс
  • Задание 793, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 795, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 797, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 20, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 810, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 974, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  1. © budu5.com, 2020
  2. Пользовательское соглашение
  3. Copyright
  4. Нашли ошибку?
  5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3534

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Определение.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Средняя линия трапеции - Справочник студента Средняя линия трапеции - Справочник студента
Рис.1 Рис.2

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m — b

b = 2m — a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a — h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a — c·cos α — d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Определение.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. 1. Формула определения длины средней линии через длины оснований: 2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту: 1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =  sin γ · d1 d2  =  sin δ · d1 d2
a + b a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =  sin γ · d1 d2  =  sin δ · d1 d2
2m 2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований: 5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии: 1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 — 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 — 2ac·cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 =  d 2 + ab —  a(d 2 — c2)
a — b
d2 =  c2 + ab —  a(c2 — d 2)
a — b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a — h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a — h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab — d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab — d12

1. Формула площади через основания и высоту: 2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =  d1d2 · sin γ  =  d1d2 · sin δ
2 2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =  a + b c2 — ( (a — b)2 + c2 — d 2 ) 2
2 2(a — b)

5. Формула Герона для трапеции

S =  a + b √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
|a — b|

где

p =  a + b + c + d   — полупериметр трапеции.
2

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =  a·c·d1
4√p(p — a)(p — c)(p — d1)

где a — большее основание В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту: 1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =  b    KN = ML =  a    TO = OQ =  a · b
2 2 a + b

© 2011-2020 Довжик МихаилКопирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium/

Трапеция и ее свойства

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

  • Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
  • Средняя линия трапеции - Справочник студента
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер  и ), и более интересные.

. Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .

Средняя линия трапеции - Справочник студента

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины .

Ответ: .

. Основания трапеции равны  и , боковая сторона, равная , образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы и  — односторонние, значит, их сумма равна , и тогда угол равен . Из треугольника найдем высоту . Катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы. Получаем, что и площадь трапеции равна .

. Основания трапеции равны  и . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция , и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, и , в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника  находим: .

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

. Основания трапеции равны  и . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем  — среднюю линию трапеции, . Легко доказать, что отрезок , соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки  и , являющиеся средними линиями треугольников и , а затем отрезок . Он равен .

. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного , отсекает треугольник, периметр которого равен . Найдите периметр трапеции.

  1. Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть .
  2. Периметр трапеции равен .

Заметим, что периметр трапеции на 8 больше, чем периметр треугольника. Значит, он равен 15 + 8 = 23.

Ответ: .

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trapeciya-i-ee-svojstva/

Средняя линия трапеции

  • Цели урока:
  • ввести определение средней линии трапеции;
  • изучить свойства средней линии трапеции;
  • формировать умение применять знания о средней линии трапеции при решении задач.
  • развивать у обучающихся логическое мышление при решении геометрических задач, интерес к предмету, познавательную и творческую активность, математическую речь, память, внимание;
  • учить самостоятельно добывать знания.
  • воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волю;
  • формировать эмоциональную культуру и культуру общения.
  • Методы обучения: словесный, наглядный, деятельностный.
  • Формы обучения: коллективная, индивидуальная, парная.
  • Оборудование: интерактивная доска, шаблоны трапеций, тексты самостоятельной работы в двух вариантах, плакаты с чертежами, у каждого ученика набор разноцветных трапеций.
  • Ход урока:
  • — Аристотель сказал: «Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного».

 — Здравствуйте, дети! У нас сегодня урок геометрии.

 — И еще одна цитата английского математика Луиса Морделла:

«Отличительная черта хорошего математика состоит в том, что он всегда сумеет найти проблему и всегда обычно занят решением одной из них».

 — Мы же с вами хотим быть хорошими математиками? Поэтому мы тоже должны найти проблему и постараться ее решить на уроке.

  1. — На предыдущих уроках вы познакомились с понятием средней линии треугольника, свойствами средней линии треугольника. (слайд №2)
  2.  — Сформулируйте определение средней линии треугольника.
  3.  — Сформулируйте свойства средней линии треугольника.
  4.  — Сколько существует средних линий в треугольнике?

 — А теперь давайте вспомним, какая фигура называется трапецией? (слайд №3). Назовите основания и боковые стороны трапеции.

  •  — Ребята, как вы думаете, есть ли в трапеции средняя линия, похожая на среднюю линию треугольника?
  •  — Вы можете дать определение средней линии трапеции?
  •  — Почему?
  •  — А свойства средней линии трапеции можете назвать?

 — Да, ответов на эти вопросы вы пока не знаете, т. е. вы столкнулись с затруднением, возникла проблема, которую нам необходимо решить.

  1. — Так о чем же мы с вами будем говорить на уроке?
  2.  — Значит тема нашего урока.
  3. слайд №4
  4.  — Давайте попробуем сформулировать цели урока.
  5.  — Что мы хотим узнать о средней линии трапеции?
  6. Цели урока: сформулировать определение средней линии трапеции, сформулировать и доказать свойства средней линии трапеции, учиться применять их при решении задач (слайд № 5).
  7.  — Откройте тетради и запишите число и тему урока: «Средняя линия трапеции»
  8.  — Учитывая цели урока, давайте составим план выхода из затруднения: (слайд №6)
  9. 1) Выяснить, что может называться средней линией трапеции;
  10. 2) Сформулировать предполагаемые свойства средней линии трапеции;
  11. 3) Доказать свойства средней линии трапеции.
  12. Весь материал — смотрите документ.

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/srednyaya-liniya-trapetsii.html

Ссылка на основную публикацию