Среднее квадратическое отклонение — справочник студента

Вариация — это различие значений величин X у отдельных единиц статистической совокупности. Для изучения силы вариации рассчитывают следующие   показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, линейный коэффициент вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, квадратический коэффициент вариации.

Размах вариации

  • Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями X из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:
  • H=Xmax-Xmin
  • Недостатком показателя H является то, что он показывает только максимальное различие значений X и не может измерять силу вариации во всей совокупности.

Cреднее линейное отклонение

Cреднее линейное отклонение   — это средний модуль отклонений значений X от среднего арифметического значения. Его можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой — получим среднее линейное отклонение простое:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5.Ранее уже была рассчитана средняя арифметическая= 4. Рассчитаем среднее линейное отклонение простое: Л = (|3-4|+|4-4|+|4-4|+|5-4|)/4 = 0,5.

Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней арифметической взвешенной — получим среднее линейное отклонение взвешенное:

Вернемся к примеру про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4 и среднее линейное отклонение простое = 0,5. Рассчитаем среднее линейное отклонение взвешенное: Л = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.

Функция СРОТКЛ

  Эта функция вычисляет среднее абсолютных значений отклонений точек данных от среднего, т.е. является мерой разброса множества данных.

Общий вид функции

СРОТКЛ (число1; число2; …)

Число1, число2, … — это от 1 до 30 аргументов, для которых определяется среднее абсолютных отклонений. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой. При использовании функции надо учитывать следующие условия:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Восприятие движения и времени - справочник студента

Оценим за полчаса!
  1. ·       аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа;
  2. ·       если аргумент содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако, ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.
  3. Уравнение для среднего отклонения следующее:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

На результат СРОТКЛ влияют единицы измерения входных данных.

Линейный коэффициент вариации

  • Линейный коэффициент вариации   — это отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической:
  • С помощью линейного коэффициента вариации можно сравнивать вариацию разных совокупностей, потому что в отличие от среднего линейного отклонения его значение не зависит от единиц измерения X.
  • В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, линейный коэффициент вариации составит 0,5/4 = 0,125 или 12,5%.

Дисперсия

Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений X от среднего арифметического значения. Дисперсию можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой — получим дисперсию простую:

В уже знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил оценки: 3, 4, 4 и 5, ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4. Тогда дисперсия простая Д = ((3-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(5-4)2)/4 = 0,5.

  1. Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет дисперсии выполняется по формуле средней арифметической взвешенной — получим дисперсию взвешенную:
  2. В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию взвешенную: Д = ((3-4)2*1+(4-4)2*2+(5-4)2*1)/4 = 0,5.
  3. Если преобразовать формулу дисперсии (раскрыть скобки в числителе, почленно разделить на знаменатель и привести подобные), то можно получить еще одну формулу для ее расчета как разность средней квадратов и квадрата средней:
  4. Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента
  5. В уже знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию методом разности средней квадратов и квадрата средней: Д = (32*1+42*2+52*1)/4-42   = 16,5-16 = 0,5.
  6. Если значения X — это доли совокупности, то для расчета дисперсии используют частную формулу дисперсии доли :
  7. Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента.

Функция ДИСПР

Функция вычисляет дисперсию для генеральной совокупности. (Для дисперсии по выборке используется функция ДИСП). Дисперсией (s2) называют среднюю арифметическую квадратов отклонений результатов наблюдений от их средней арифметической.

ДИСПР(число1;число2; …)

Число1,число2, … — это от 1 до 30 числовых аргументов, соответствующих генеральной совокупности. Логические значения, например ИСТИНА и ЛОЖЬ, а также текст игнорируются

ДИСПР предполагает, что аргументы представляют всю генеральную совокупность. Если данные представляют только выборку из генеральной совокупности, то дисперсию следует вычислять, используя функцию ДИСП.

  • Уравнение для дисперсии имеет следующий вид:
  • Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента
  • Для функции ДИСП используется формула

Функция ДИСПРА

Функция аналогично ДИСПРА вычисляет дисперсию для генеральной совокупности. В расчете помимо численных значений учитываются также текстовые и логические значения, такие как ИСТИНА или ЛОЖЬ.

ДИСПРА(значение1,значение2,…)

Значение1,значение2,… — это от 1 до 30 числовых аргументов, соответствую щих генеральной совокупности.

ДИСПРА предполагает, что аргументы представляют всю генеральную совокупность. Если данные представляют только выборку из генеральной совокупности, то дисперсию следует вычислять, используя функцию ДИСПА. Аргументы, содержащие значение ИСТИНА интерпретируются как 1, аргументы, содержащие текст или значение ЛОЖЬ интерпретируются как 0 (ноль).

Cреднее квадратическое отклонение

  1. Выше уже было рассказано о формуле средней квадратической, которая применяется для оценки вариации путем расчета среднего квадратического отклонения, обозначаемое малой греческой буквой сигма:
  2. Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента
  3. Еще проще можно найти среднее квадратическое отклонение, если предварительно рассчитана дисперсия, как корень квадратный из нее:
  4. В примере про студента, в котором выше рассчитали дисперсию, найдем среднее квадратическое отклонение как корень квадратный из нее: Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента.

Функция КВАДРОТКЛ

При определении вариации часто используется функция, которая возвращает сумму квадратов отклонений точек данных от их среднего.

Общий вид функции

КВАДРОТКЛ(число1;число2;…)

Число1, число2, … — это от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется сумма квадратов отклонений. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.

Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако, ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

Уравнение для суммы квадратов отклонений имеет следующий вид:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Функция СТАНДОТКЛОНП

Вместо дисперсии в качестве меры рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической часто используется среднее квадратическое или стандартное отклонение, равное арифметическому значению корня квадратного из дисперсии и имеющее ту же размерность, что и значение признака. Стандартное отклонение — это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего.

СТАНДОТКЛОНП(число1; число2; …)

Число1, число2, …   — это от 1 до 30 числовых аргументов, соответствующих генеральной совокупности. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой. Логические значения, такие как ИСТИНА или ЛОЖЬ, а также текст игнорируются.

СТАНДОТКЛОНП предполагает, что аргументы образуют всю генеральную совокупность. Если данные являются только выборкой из генеральной совокупности, то стандартное отклонение следует вычислять с использованием функции СТАНДОТКЛОН. Для больших выборок СТАНДОТКЛОН и СТАНДОТКЛОНП возвращают примерно равные значения.

  • СТАНДОТКЛОНП использует следующую формулу:
  • Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента,
  • а СТАНДОТКЛОН — Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Функция СТАНДОТКЛОНПА

Функция аналогично функции СТАНДОТКЛОНП вычисляет стандартное отклонение по генеральной совокупности. В данном случае аргументами могут являться текст и логические значения.

СТАНДОТКЛОНПА(значение1,значение2,…)

Значение1,значение2,…   это от 1 до 30 значений, соответствующих генеральной совокупности. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.

СТАНДОТКЛОНПА предполагает, что аргументы образуют всю генеральную совокупность.

Если данные являются только выборкой из генеральной совокупности, то стандартное отклонение следует вычислять с использованием функции СТАНДОТКЛОНА.

Аргументы, содержащие значение ИСТИНА интерпретируются как 1, аргументы, содержащие значение ЛОЖЬ интерпретируются как 0 (ноль). Для больших выборок СТАНДОТКЛОНА и СТАНДОТКЛОНПА возвращают примерно равные значения.

Квадратический коэффициент вариации

Квадратический коэффициент вариации — это самый популярный относительный показатель вариации:

Критериальным значением квадратического коэффициента вариации V служит 0,333 или 33,3%, то есть если V меньше или равен 0,333 — вариация считает слабой, а если больше 0,333 — сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной, а средняя величина —   нетипичной   и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности.

В примере про студента, в котором выше рассчитали среднее квадратическое отклонение, найдем квадратический коэффициент вариации V = 0,707/4 = 0,177, что меньше критериального значения 0,333, значит вариация слабая и равна 17,7%.

Средние величины, характеризуя ряд наблюдений, не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, т.е. вариацию. Обычно рассматриваются меры наблюдений вокруг средних величин. Средняя арифметическая является основным видом средних, поэтому ограничимся рассмотрением мер рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической.

Сумма отклонений результатов наблюдений от средней арифметической не может характеризовать вариацию наблюдений около средней арифметической, т.к. эта сумма равна нулю. Обычно берут или абсолютные величины или квадраты разностей. В результате получают различные показатели вариации: среднее отклонение, дисперсию или среднеквадратичное отклонение.

Источник: http://yuschikev.narod.ru/psk/lection3-1.html

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратичное отклонение определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической, т.е. корень из дисперсии и может быть найдена так:

1. Для первичного ряда:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

2. Для вариационного ряда:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Преобразование формулы среднего квадратичного отклонени приводит ее к виду, более удобному для практических расчетов:

  • Среднее квадратичное отклонение определяет на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется.
  • Примеры нахождения cреднего квадратического отклонения: Пример 1, Пример 2
  • Для альтернативных признаков формула среднего квадратичного отклонения выглядит так:
Читайте также:  Развитие мышления - справочник студента

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

где р — доля единиц в совокупности, обладающих определенным признаком;

q — доля единиц, не обладающих этим признаком.

Понятие среднего линейного отклонения

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средних арифметических.

1. Для первичного ряда:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

2. Для вариационного ряда:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

где сумма n — сумма частот вариационного ряда.

Пример нахождения cреднего линейного отклонения: Пример 1

Преимущество среднего абсолютного отклонения как меры рассеивания перед размахом вариации, очевидно, так как эта мера основана на учете всех возможных отклонений. Но этот показатель имеет существенные недостатки.

Произвольные отбрасывания алгебраических знаков отклонений могут привести к тому, что математические свойства этого показателя являются далеко не элементарными.

Это сильно затрудняет использование среднего абсолютного отклонения при решении задач, связанных с вероятностными расчетами.

Поэтому среднее линейное отклонение как мера вариации признака применяется в статистической практике редко, а именно тогда, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется оборот внешней торговли, состав работающих, ритмичность производства и т. д.

Среднее квадратическое

Среднее квадратическое применяется, например, для вычисления средней величины сторон n квадратных участков, средних диаметров стволов, труб и т. д. Она подразделяется на два вида.

Средняя квадратичная простая. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратичной средней величиной.

Она является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

Средняя квадратичная взвешенная вычисляется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

где f — признак веса.

Средняя кубическая

Средняя кубическая применяется, например, при определении средней длины стороны и кубов. Она подразделяется на два вида.
Средняя кубическая простая:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Средняя кубическая взвешенная:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

При расчете средних величин и дисперсии в интервальных рядах распределения истинные значения признака заменяются центральными значениями интервалов, которые отличны от средней арифметической значений, включенных в интервал.

Это приводит к возникновению систематической погрешности при расчете дисперсии. В.Ф.

Шеппард определил, что погрешность в расчете дисперсии, вызванная применением сгруппированных данных, составляет 1/12 квадрата величины интервала как в сторону повышения, так и в сторону понижения величины дисперсии.

Поправка Шеппарда должна применяться, если распределение близко к нормальному, относится к признаку с непрерывным характером вариации, построено по значительному количеству исходных данных (n > 500). Однако исходя из того, что в ряде случаев обе погрешности, действуя в разных направлениях компенсируют друг друга, можно иногда отказаться от введения поправок.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичной будет средняя величина.
В практике статистики часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков.

Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д.

Для таких сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления таких сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с разными средним арифметическим используется относительный показатель вариации — коэффициент вариации.

Структурные средние

Для характеристики центральной тенденции в статистических распределениях не редко рационально вместе со средней арифметической использовать некоторое значение признака X, которое в силу определенных особенностей расположения в ряду распределения может характеризовать его уровень.

Это особенно важно тогда, когда в ряду распределения крайние значения признака имеют нечеткие границы. В связи с этим точное определение средней арифметической, как правило, невозможно, либо очень сложно. В таких случаях средний уровень можно определить, взяв, например, значение признака, которое расположено в середине ряда частот или которое чаще всего встречается в текущем ряду.

Такие значения зависят только от характера частот т. е. от структуры распределения.

Они типичны по месту расположения в ряду частот, поэтому такие значения рассматриваются в качестве характеристик центра распределения и поэтому получили определение структурных средних.

Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.

Источник: http://univer-nn.ru/statistika/srednee-linejnoe-otklonenie/

Цель. Знакомство с методами вычисления основных биометрических показателей количественных признаков на малых и больших выборках.

Основным критерием изменчивости является среднеквадратическое отклонение (σ), которое показывает, насколько в среднем отклоняется по изучаемому признаку каждый член совокупности от средней арифметической этой совокупности. Величина σ всегда именованная (кг, см, % и т.п.) и вычисляется на одну единицу точнее, чем средняя арифметическая.

Определение среднего квадратического отклонения позволяет выявить особенности варьирования признака, если две выборки по значению средних арифметических друг от друга не отличаются.

Предположим, что в первой и во второй звероводческих хозяйствах средняя живая масса норок оказалась одинаковой.

Анализ среднего квадратического отклонения показывает, что степень генетического разнообразия живой массы норок первого хозяйства в два раза выше, чем во втором. Значит второе хозяйство более однородно по изучаемому признаку.

Крайние величины вариационного ряда – лимиты показывают размах варьирования данного признака. Но крайние варианты не показывают, как распределяются остальные варианты внутри вариационного ряда, то есть лимиты не являются показателями степени варьирования.

  • Степень варьирования, распределение вариант в вариационном ряду характеризует основной показатель изменчивости (варьирования) – среднее квадратическое отклонение, которое вычисляется по формуле:
  •  σ= ,              (6)
  • где σ (сигма)– среднее квадратическое отклонение;
  • D – центральное отклонение, то есть отклонение варианты от средней арифметической (D=х-)
  • Данная форму применяется если выборка немногочисленна.

Пример. Высший суточный удой у коров двух хозяйств составил (кг): 1 хозяйство – 10, 14, 17, 20, 23, 25, 28, 31, 34, 38,  = 24 кг; 2 хозяйство – 10, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 27, 38 , = 24 кг. Вычислить среднее квадратическое отклонение (σ).

1 хозяйство 2 хозяйство
х х- (х-) х х- (х-)
  1. 10
  2. 14
  3. 17
  4. 20
  5. 23
  6. 25
  7. 28
  8. 31
  9. 34
  10. 37
  • -14
  • -10
  • -7
  • -4
  • -1
  • +1
  • +4
  • +7
  • +10
  • +14
  1. 196
  2. 100
  3. 49
  4. 16
  5. 1
  6. 1
  7. 16
  8. 49
  9. 100
  10. 196
  • 10
  • 21
  • 22
  • 23
  • 24
  • 24
  • 25
  • 26
  • 27
  • 38
  1. -14
  2. -3
  3. -2
  4. -1
  5. +1
  6. +2
  7. +3
  8. +14
  • 196
  • 9
  • 4
  • 1
  • 1
  • 4
  • 9
  • 196
Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента
  1. Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента,            Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента,
  2. σСреднее квадратическое отклонение - Справочник студентакг,   σСреднее квадратическое отклонение - Справочник студентакг.
  3. В первом хозяйстве варьирование высшего суточного удоя сильнее, чем во втором, и σ этого удоя также больше.
  4. При вычислении среднего квадратического отклонения (σ) для многочисленных выборок составляется вариационный ряд и вычисление производится по формуле:
  5. σ =Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента,                 (7)
  6. где — знак суммирования;
  7. р – частоты;
  8. а – величина, показывающая на сколько классовых промежутков отстоит данный класс от условной средней;
  9. К – величина классового промежутка;
  10. n – численность варианта.

Вычисление среднего квадратического отклонения производится аналогично вычислению средней арифметической. Для этого требуются те же величины, что и для вычисления ; дополнительно необходимо произвести определение  и .

Поэтому к записанным уже при вычислении  столбцам частот (р), отклонений (а), их произведений (Ра) следующим столбцом записываются произведения частот на квадраты отклонения .

Затем производится их суммирование, то есть определяется .

Среднее квадратическое отклонение показывает степень варьирования (изменчивости): чем больше σ, тем больше изменчивость и, наоборот, чем меньше σ, тем меньше изменчивость изучаемого признака в группе организмов.

Среднее квадратическое отклонение показывает также размах колебания. Обычно этот размах приблизительно равен 3σ, то есть подавляющее количество вариант укладывается в границах ± 3σ от .

В вариационному ряду, составленном по значительному количеству достаточно однородных вариант, они располагаются в границах:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Среднее квадратическое отклонение дает возможность судить о характере отдельных вариант. Если какая-либо варианта отклоняется от  несколько дальше ± 3σ, то большая вероятность того, что эта варианта (особь) принадлежит к другому вариационному ряду, то есть к другой качественной категории.

Источник: http://ebooks.semgu.kz/content.php?cont=d;149

2.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

При описании некоторых явлений среднее арифметическое дает о них примерное представление, вполне удовлетворительное для практических целей. Таково, например, среднее число правонарушений в день, рас­смотренное в примере 1 (§1). Однако весьма часто встре­чаются такие ситуации, для описания которых недоста­точно знать только среднее арифметическое.

История первая. Двух студентов юридического фа­культета послали на практику, одного в город Дрюково, другого — в город Стуково. Практиканты узнали, что в это время года среднесуточная температура в этих горо­дах равна нулю. Тот из них, кто поехал в Стуково, бу­дучи человеком осторожным, взял с собой только теплые вещи.

Другой, более легкомысленный, оделся по-летнему. Оказалось, что в течение всей практики в обоих городах температура была стабильной: в Дрюкове — +2 днем и –2 ночью, в Стукове — +15 днем и –15 ночью.

В результате, несмотря на то, что среднесуточная темпе­ратура действительно была нулевой, оба студента забо­лели, так как один постоянно перегревался, а другой — постоянно мерз.

История вторая. Один из торговцев в Дрюкове был очень набожным человеком. Как-то раз, под впечатлени­ем воскресной проповеди о пользе благотворительности, он в первой половине недели сдавал каждому покупателю сдачу на 1000 руб. больше, чем нужно.

Но потом дей­ствие проповеди ослабело, и нашего торговца одолела природная корысть. В следующие три дня он уже обма­нывал каждого покупателя, беря со всех на 1000 руб. больше.

Поскольку число покупателей в первые и после­дние три дня недели было одинаковым, то получается, что в среднем размер неправильной сдачи равен нулю, т. е. в среднем покупатели получали сдачу правильно!

Из этих историй видно, что, помимо средней вели­чины, нужно знать еще и то, Как заданные числа рассе­яны около их среднего значения. Для этой цели вводят­ся Дисперсия и Среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией величин Х1, х2, … , хN называется число

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Пример 1. На обследование каждого из десяти авто­мобилей было затрачено следующее время (в мин):

Таблица 3

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Здесь символом ХI обозначено время, затраченное на обследование автомобиля с номером I. Найти дисперсию величин Xi.

Решение. Составим таблицу из трех столбцов:

Таблица 4

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

В последней строке первого столбца записано общее время обследования всех автомобилей, т. е. сумма всех чисел Xi — 340. Поделив ее на 10, найдем среднее арифметическое чисел Х1, х2, …,X10: = 34 (мин).

Во втором столбце записаны разности , , … , , представляющие собой отклонения величин Х1, х2, …,X10 От их среднего. Сумма отклонений всег­да равна нулю, что показано в последней строке второго столбца. Это важнейшее свойство средней величины.

В третьем столбце табл. 4 записаны квадраты отклонений: ()2, ()2, … , ()2.

Сумма квадратов, как видно из последней строки, равна 1076. По формуле (5) находим дисперсию D:

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Если известны частоты , то для вычисления дисперсии вместо формулы (5) можно использовать формулу

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

  • Где, как и выше, суть различные среди заданных чисел .
  • Средним квадратическим отклонением Величин от их среднего значения называется величина
  • (7)
  • В примере 1 среднее квадратическое отклонение равно

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Из формулы (5) видно, что дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов разностей , , … , . Поэтому величину S можно рассмат­ривать как среднее отклонение величин от их среднего значения .

Из определения дисперсии и среднего квадратического отклонения следует, что последнее не превышает наибольшей из величин (абсолютная величина отклонения). Так, в первом примере 10,4 < 20, т. е. S существенно меньше максимального отклонения.

Зато в историях, которые мы рассказали в начале параграфа, среднее квадратическое отклонение S является макси­мально возможным, так как все отклонения от среднего значения одинаковы по абсолютной величине.

Вычислив по формулам (5) и (6) среднее квадратическое отклоне­ние температуры в Дрюкове и Стукове, мы найдем, что оно равно максимальной температуре (2 и 15 соответ­ственно); во второй истории среднее квадратическое от­клонение будет 1000 руб., что также совпадает с вели­чиной максимального отклонения.

Прежде чем двигаться дальше, необходимо ввести весьма важное понятие Переменной величины. В приме­ре 1 центральную роль играет табл. 3, в которой каж­дому автомобилю ставится в соответствие время его об­следования.

Математики в этом случае говорят, что время обследования есть переменная величина X, при­нимающая значения . В примере 2 из §1 переменной величиной является число правонарушений, в примере 3 — прибыль страховой компании.

Теперь допустим, что нужно обследовать Все автомо­били города Дрюкова. Но число автомобилей так вели­ко, что описать все значения величины Х (X — время обследования) практически невозможно.

Однако мы можем, не проводя самого обследования, предсказать его результаты приближенно, с помощью примера 1. Предварительно, используя табл.

3, составим другую таблицу, в которой укажем время обследования и со­ответствующую частоту :

Таблица 5

Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

  1. Обычно, прогноз содержит следующую информацию о величине X:
  2. 1) диапазон значений величины X,
  3. 2) среднее значение ,
  4. 3) среднее квадратическое отклонение S,
  5. 4) интервал наиболее вероятных значений величины X,
  6. 5) долю значений величины X, попадающих в заданный промежуток.
  7. По данным примера 1:
  8. Время обследования автомобиля изменяется в пределах от (22 – Х) до (54 – Х) мин,
  9. Среднее время обследования одного автомобиля — = 34 мин,
  10. Среднее отклонение величины Х от ее среднего значения составляет S = 10,4 мин.
Читайте также:  Что такое государство? - справочник студента

Интервалом наиболее вероятных значений величины Х обычно называют интервал, серединой которого явля­ется точка — среднее арифметическое, и в который попадает более половины значений величины X. Рас­смотрим, например, интервал (S; + S).

Имеем: S = 23,6 и + S = 44,4. Из табл. 5 видно, что в ин­тервале 23,6 – 44,4 содержится 5 значений величины X: 25, 30, 36, 40, 41. Их частоты соответственно равны 0,2; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1. Суммарная частота будет 0,6. Это чис­ло составляет 60% от единицы, т. е. от суммы всех час­тот.

Следовательно, в интервал 23,6 – 44,4 попадает 60% (т. е. большая часть) значений величины X. Таким обра­зом, этот интервал является интервалом наиболее веро­ятных значений величины X. Доля значений величины X, попавших в какой-либо другой интервал, оценивает­ся так же.

Обычно оценивают долю больших и малых значений. В нашем примере доля автомобилей, на об­служивание которых затрачивается меньше 23,6 мин, составляет 20% от общего количества автомобилей (в табл. 5 имеется одно такое значение — 22, и его час­тота равна 0,2).

Доля автомобилей, на обслуживание которых затрачивается больше 44,4 мин, составляет также 20% от общего количества автомобилей.

При обработке статистического материала используется специальная терминология.

Совокупность всех рас­сматриваемых объектов называют Генеральной совокуп­ностью, а часть объектов, каким-либо способом выб­ранных для обследования, называют Выборкой.

В нашем примере с автомобилями генеральную совокупность об­разуют все автомобили города Дрюкова, а выборку — те 10 автомобилей, которые рассматривались в примере 1.

Очень важно сделать выборку правильно. От этого зависит, насколько точными и достоверными будут по­лученные выводы, результаты прогноза.

В математичес­кой статистике изучаются способы отбора, позволяющие сделать выборку так, чтобы полученная с ее помощью информация давала достаточно полное и адекватное представление об интересующем нас признаке изучае­мой генеральной совокупности.

Тогда найденные с по­мощью выборки среднее арифметическое и D диспер­сия будут близки к гипотетическим величинам — сред­нему арифметическому и дисперсии, которые могли бы быть получены при обработке всей генеральной сово­купности.

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/matematika-uchebnyi-kurs-dlia-iuristov-n-b-tikhomirov-a-m-shelekhov/2-2-dispersiia-i-srednee-kvadraticheskoe-otklonenie

Описательные статистики

  • Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента Пишу на заказ дипломные, курсовые, магистерские работы по психологии, а также рефераты и эссе; делаю контрольные, отчеты по практике и статистические расчеты. Я профессиональный психолог и автор работ по психологии с многолетним стажем. Выступаю как индивидуальный предприниматель (ИП): заключаю договор, выдаю чеки об оплате. Помогаю студентам-психологам более 12 лет (этот сайт существует с 2007). Делаю качественно и быстро. Помогу даже с очень трудными темами. Вы всегда можете узнать у меня, как идут дела с дипломной; оперативно передать пожелания руководителя; спросить то, что не понятно. Я всегда на связи. Опишите ситуацию, и я скажу стоимость написания вашей работы. Среднее квадратическое отклонение - Справочник студента

Главная / Статистические расчеты / Описательные статистики

Первичные описательные статистики – это наиболее простые характеристики, которыми можно описать психологические данные, которые были получены в ходже тестирования испытуемых.

К наиболее часто используемым в курсовых и дипломных по психологии описательным статистикам можно отнести:

  • среднее значение;
  • стандартное отклонение.

Среднее значение

Простейшая математическая процедура, которую необходимо освоить студенту-психологу при написании диплома – расчет среднего значения.

Среднее значение или среднее арифметическое – это число, получаемое как сумма нескольких показателей, деланная на количество этих показателей. Например, в результате тестирования были получены показатели тревожности в группе из 10-ти человек. Чтобы получить среднее значение тревожности по группе нужно сложить показатели всех испытуемых, а затем получившуюся сумму разделить на 10.

Среднее значение характеризует группу целиком. Зная среднее можно оценить показатели каждого испытуемого относительно остальных. Например, измеряемая в приведённом выше примере тревожность могла быть от 1 до 5 баллов. Пусть средняя по группе тревожность оказалась 3,5 балла. Тогда, показатель испытуемого в 4 балла можно считать относительно высоким, а в 2 балла- относительно низким.

Среднее значение относится к показателям центральной тенденции и отражает степень выраженности показателя в группе. Стандартное отклонение отражает степень изменчивости признака в группе, но о нем речь впереди.

Среднее значение какого-либо показателя характеризует группу в целом и позволяет сравнивать ее с другими группами. Например, проведена диагностика уровня эмпатии в группе мужчин и женщин. Как узнать, влияет ли пол на способность к эмпатии.

Один из способов – найти средний уровень этого показателя в группах мужчин и женщин. Например, в группе женщин средний уровень эмпатии равен 23,5 баллов, а в группе мужчин – 17,7 баллов. Как видно, в среднем у женщин эмпатия выше, чем у мужчин.

Важно отметить, среднее значение – это не просто число, а – статистическое – полученное в результате особой процедуры. Поэтому и сравнивать средние значения как обычные числа нельзя. Для сравнения средних значений используются дополнительные процедуры – расчет статистических критериев. Например, U-критерий Манна-Уитни или t-критерий Стъюдента.

Среднее – это не единственный статистический показатель, который отражает выраженность переменной в группе. Аналогичную функцию выполняют мода и медиана. Однако они редко используются в дипломах по психологии.

Средние значения выраженности психологических показателей в курсовой или дипломной по психологии представляются в виде таблиц и диаграмм. В таблицах среднее обозначается буквой «М».

Стандартное отклонение

Если среднее арифметическое отражает выраженность показателя в группе, то стандартное отклонение (среднеквадратичное отклонение) показывает его разброс данных или изменчивость. Чем больше величина стандартного отклонения, тем больше разброс показателей в группе испытуемых.

Например, группу мальчиков протестировали методикой на выявление уровня эгоцентризма, показатели которого изменяются от 1 до 10.

Расчет среднего показал М=6,5, а стандартное отклонение σ=3 (стандартное отклонение обозначается буквой «сигма»).

Эти данные позволяют нам говорить о том, что подавляющее большинство показателей эгоцентризма мальчиков укладываются в диапазон от 3,5 до 9,5 (среднее плюс/минус стандартное отклонение – М ± σ).

Если при тестировании группы девочек среднее значение М=5, а стандартное отклонение σ=1, то большинство испытуемых этой группы имеют эгоцентризм в диапазоне от 4 до 6 (5 ± 1).

Анализирую такие данные в дипломе по психологии можно указать, что средний уровень эгоцентризма у мальчиков больше, чем у девочек. При этом разброс показателей эгоцентризма у мальчиков также больше, чем у девочек, то есть, в группе мальчиков есть испытуемые с очень низкими и очень высокими показателями относительно среднего. У девочек показатели менее «разбросаны» относительно среднего.

Расчет среднего и стандартного отклонения

  • Формула расчета среднего очень проста и этот параметр можно рассчитать вручную.
  • Пример расчёта среднего
  • В таблице приведены показатели, полученные по тесту диагностики уровня одиночества у 64-х испытуемых.
  • № исп. Уровень одиночества
    1 13
    2 14
    3 5
    4 11
    5 17
    6 9
    7 18
    8 6
    9 9
    10 9
    11 15
    12 14
    13 7
    14 9
    15 8
    16 13
    17 12
    18 14
    19 19
    20 15
    21 11
    22 15
    23 6
    24 8
    25 8
    26 8
    27 5
    28 20
    29 5
    30 9
    31 7
    32 7
    33 11
    34 15
    35 7
    36 7
    37 9
    38 8
    39 11
    40 17
    41 10
    42 18
    43 15
    44 14
    45 15
    46 4
    47 8
    48 15
    49 17
    50 14
    51 4
    52 8
    53 18
    54 14
    55 14
    56 9
    57 1
    58 7
    59 11
    60 4
    61 14
    62 11
    63 6
    64 17
  1. Найдем средний уровень переживания одиночества в группе.
  2. М=(13 + 14+ 5+ 11+ 17+ 9+ 18+ 6+ 9+ 15+ 14+ 7+ 9+ 8+ 13+ 12+ 14+ 19+ 15+ 11+ 15+ 6+ 8+ 8+ 8+ 5+ 20+ 5+ 9+ 7+ 7+ 11+ 15+ 7+ 7+ 9+ 8+ 11+ 17+ 10+ 18+ 15+ 14+ 15+ 4+8+15+17+14+4+8+18+14+14+9+1+7+11+4+14+11+6+17)  / 64=10,92
  3. Как видим, если испытуемых достаточно много, то рассчитывать среднее вручную задача трудоемкая.

Еще более трудоемкий процесс — расчёт стандартного отклонения. Не буду утомлять вас формулами, скажу лишь, что расчёт этого показателя сводится к тому, что суммируются квадраты разности показателей со средним значением. Затем эта сумма делится на число показателей и из полученного числа извлекается квадратный корень. Вручную такие вычисления делать хлопотно, и не нужно.

Чаще всего расчеты среднего и стандартного отклонения можно делать в статистических программах STATISTICA, SPSS и электронных таблицах Exсel.

Надеюсь, эта статья поможет вам написать работу по психологии самостоятельно. Если понадобится помощь, обращайтесь (все виды работ по психологии; статистические расчеты). Заказать

Источник: http://dip-psi.ru/opisatelnyye-statistiki

Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel

Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия

Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.

Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.

Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:

То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.

На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:

  • где
  • s2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,
  • X – отдельные значения,
  • X̅– среднее арифметическое по выборке.

Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.

Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения.

В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя.

Теперь вы знаете, как найти дисперсию.

Расчет дисперсии в Excel

Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.

В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).

D(A) = 0

Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(AX) = А2 D(X)

Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.

D(A + X) = D(X)

Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.

D(X-Y) = D(X) + D(Y)

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:

На практике формула стандартного отклонения следующая:

Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.

Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel

Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.

Коэффициент вариации

Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:

По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной.

В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления.

В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.

Расчет коэффициента вариации в Excel

  1. Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:
  2. =СТАНДОТКЛОН.В()/СРЗНАЧ()
  3. Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:

Коэффициент осцилляции

Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

  • Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.
  • Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных. 
  • Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.

Поделиться в социальных сетях:

Источник: https://statanaliz.info/statistica/opisanie-dannyx/dispersiya-standartnoe-otklonenie-koeffitsient-variatsii/

Ссылка на основную публикацию