Случайные величины — справочник студента

2. Случайные величины

Категория: Теория вероятностей

2.1. Понятие случайной величины

2.2. Дискретные случайные величины

2.1. Понятие случайной величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное значение.

1. Опыт бросания монеты 2 раза {ГГ, ГР, РГ, РР}
2. Бросание кубика
3. Схема Бернулли – число успехов в испытаниях
4. Стрельба по мишени, – расстояние от точки попадания до центра
5. Группа из человек, – число мальчиков
6. – время до отказа одного прибора
7. – вес случайного студента

Дискретные случайные величины – это величины, которые могут принимать конкретное или счетное число значений.

Непрерывные случайные величины – это величины, которые могут принимать несчетное множество значений.

2.2. Дискретные случайные величины

• Закон распределения есть соответствие между значениями случайных величин и их вероятностями.
• Может задаваться:
• 1. Таблично
• 2. Графически
• 3. Аналитически
• 1. Таблично

В общем виде:

1. Свойства ряда распределения:
2. – условие нормировки
3. Пример:
4. В 2-х бросаниях монеты: – число «гербов»

2. Графически

• 3. Аналитически
• Пусть – испытаний

– число успехов

Свойства функции распределения:

• 
• 
• 
• – не убывающая функция
• – непрерывна слева

Пусть задан ряд распределения

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

1. 1. Математическое ожидание – среднее значение

Пример:

1. 1. Дисперсия

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины от её математического ожидания.

Пример:

1. Среднеквадратическое отклонение (СКО)

Источник: https://siblec.ru/matematika/teoriya-veroyatnostej/2-sluchajnye-velichiny

Случайные величины

Случайные величины

   Определение1.Случайная величина – переменная величина, которая случайным образом в результате опыта принимает некоторое числовое заранее неизвестное значение из определённого множества значений, при этом определена вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет это значение.

   Задание этой вероятности называется законом распределения случайной величины ( или ).

    Определение2.Случайной величиной X называется однозначная числовая функция , определенная на пространстве  элементарных  событий , которая каждому элементарному событию  ставит в соответствие число : . При этом должны быть определены вероятности элементарных событий.

   Для обозначения случайных величин обычно используются прописные буквы латинского алфавита X, Y, Z, … ;  соответствующие им строчные буквы x, y, z, … обозначают конкретные значения, которые они принимают.

   Различают два вида случайных величин – дискретные и непрерывные, в зависимости от типа множества значений.

   Дискретная случайная величина принимает изолированные друг от друга числовые значения из конечного или бесконечного счетного множества значений, т.е. такого множества, элементы которого могут быть занумерованы и выписаны в последовательности ,, …, , …

•    Непрерывная случайная величина принимает  неизвестные заранее значения из некоторого интервала:.
•    Так число будущих генералов среди ста выпускников школы милиции – дискретная случайная величина с возможными значениями 0, 1, 2, …, 100, а дальность полета пули при выстреле – непрерывная и заранее неизвестная величина от 0 до 1 км.
• Функция распределения случайной величины
•    Случайные величины разнообразны по своей природе, происхождению, однако закон распределения можно записать в единообразной универсальной форме, а именно в виде функции распределения.
•    Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х: .
•    Геометрически, функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадет левее заданной точки х числовой оси.
•    Функцию F(х) называют также интегральной функцией распределения (или интегральным законом распределения).
•    Свойства функции распределения:

1.Функция распределения случайной величины F(х) – неотрицательна, и ее значения заключены между нулем и единицей: .

2.Функция распределения F(х) есть неубывающая функция: .

1. 3.Если непрерывная случайная величина Х определена на всей числовой оси, то
2. ,   и    .
3. 4.Если случайная величина Х принимает значения только на отрезке [a;b], то ее функция распределения F(x) такова:
4. 5.Вероятность попадания случайной величины Х в полуоткрытый интервал  равна приращению ее функции распределения на этом интервале:  
5. .
6. 6.Функция распределения F(x) произвольной случайной величины Х непрерывна слева, то есть левый предел функции F(x) в точке а равен ее значению в точке а:
7. 7.P(X≤a)=F(a+0), где правый предел функции в точке а;
8. или в более развернутом виде:
9. Р(Х≤a)=P(X

   …

   …

   P … …
   • Здесь первая строка содержит всевозможные (конечные или бесконечные) значения случайной величины Х (обычно перечисляемые в порядке возрастания), то есть х1, х2, …, хn…; а в другой строке указаны вероятности принятия случайной величины Х этих значений , то есть p1=P(X=x1), p2=P(X=x2), … , pn=P(X=xn) ….
   • Отметим, что события , , …,
   •  попарно несовместны и образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице: .
   •    Функция распределения дискретной случайной величины:
   •  для   ()

    -есть разрывная ступенчатая кусочно-постоянная функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.

      Пример. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

   Х	-1	0	2	3	4
   Р	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

   1. Найти функцию распределения F(х).
   2. Решение:Вычислим значения функции распределения 
   3. .
   4. В этой формуле суммируются лишь те вероятности pk из ряда распределения, которые соответствуют значениям хk, меньшим (расположенным левее) чем значение х, в котором вычисляется функция F(x).
   5.    F(x)=0 для х≤-1 (так как xk, меньших х в ряде распределения нет);
   6.    F(x)=0,2 для -1 (плотностью распределения или просто плотностью) случайной величины Х называется производная от функции распределения: .
   7. Плотность вероятности иногда также называют дифференциальным законом или дифференциальной функцией распределения.
   8.    Свойства плотности вероятности:

   1. Плотность вероятности – неотрицательная функция:  .

   • 2.
   • 3.  Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение х, принадлежащее
   • интервалу  () равна:
   • .

   4.Условие нормировки:.

   Сумма (разность, произведение) случайных величин X и Y

      Две случайные величины X и Y называются независимыми, если события  и  независимы для всех значений  и .

      Суммой (разностью, произведением) случайных величин X и Y называется случайная величина, обозначаемая как X+Y (X-Y, X·Y) которая принимает все возможные значения вида  (, ), где i=1,2,…,n  и j=1,2,…,m с вероятностями  того, что случайная величина X примет значение , а случайная величина Y примет значение :

   1. .
   2. В случае независимости X и Y :
   3. .
   4. Числовые характеристики случайных величин
   5. Математическое ожидание
   6.    Вероятностный смысл математического ожидания  заключается в том, что оно даёт среднее значение случайной величины.

      Математическое ожидание МX (или М(X)) дискретной случайной величины X определяется формулой: . Непрерывной:  (если интеграл сходится). 

      Свойства математического ожидания:

   1.Если случайная величина x принимает одно и то же значение, то есть XºС, то её математическое ожидание равно С: М(С)=С.

   2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(kX) = kMX, где k –константа.

   3. Математическое ожидание алгебраической суммы двух (или более) случайных величин X и Y, определённых на одном и том же пространстве элементарных событий, равно алгебраической сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=MX+MY.

   4.Математическое ожидание произведения двух (или более) независимых случайных величин X и Y, определённых на одном и том же пространстве элементарных событий, равно произведению их математических ожиданий: М(XY) = МX×МY.

   5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: М(X-МХ)=0. 

   • Дисперсия
   • Дисперсия DX случайной величины X определяется формулой: DX = M(X – MX)2,
   • или, словами, дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
   •    Для вычисления дисперсии используют формулу: .
   •    Для дискретной случайной величины формулу записывают так: DX = =.
   • Для непрерывной: 
   •  (если интеграл сходится).

      Дисперсия характеризует меру рассеяния (разбросанности) значений случайной величины относительно её математического ожидания.

   Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию.

   Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

      Свойства дисперсии:

   1.Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С)= 0.

   2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

   D(kX) = k2 D(X).

   3.Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:.

      Сведения о законах распределения вероятностей случайных величин представим для наглядности следующей таблицей:

   Дискретная	X–случайная величина	Непрерывная
   X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn  Ряд распределения	Закон распределения	— плотность вероятности (дифференциальная функция распределения)
   для	Функция распределения (интегральная)	,
   	вероятность попадания случайной величины в   интервал
   Числовые характеристики: Математическое ожидание: Дисперсия: Среднее квадратическое отклонение:

   Источник: http://war-math.narod.ru/6.htm

   Теория вероятностей и математическая статистика Элементы комбинаторики

   

   Теорема сложения вероятностей

   Замечание. Практически часто удобно вычислять вероятность суммы событий через вероятности произведения противоположных событий по формуле Пример.

   Формула полной вероятности Формула Бейеса

   Пример.

   Формула Бернулли.

   Понятие случайной величины. Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.

   Примеры непрерывных случайных величин: 1. Случайное отклонение X по дальности точки падения снаряда от цели (так как снаряд может упасть в любую точку интервала, ограниченного пределами рассеяния снарядов, то все числа из этого интервала будут возможными значениями X) 2. Время безотказной работы радиолампы.

   Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины X P

   Задача. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х1 и х2, причем х1< x 2.

   Найти закон распределения величины Х, если известно, что вероятность того, что Х примет значение х1, равна P 1 = 0. 6 , а М(Х) = 1. 4; D(Х) = 0. 24. Р е ш е н и е. Разобьём ход решения задачи на два этапа 1 этап.

   Найдём вероятность p 2 того, что Х примет значение х2. Сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице

   2 шаг. Решив систему уравнений найдем два решения: х1= 1, х2 = 2 По условию и х1= 1. 8, х2 = 0. 8. х1< х2 , поэтому задаче удовлетворяет только первое О т в е т: искомый закон распределения имеет вид: решение.

   Плотность распределения, математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х: F (x) = p (X < x).

   Свойства функции распределения. Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле: f (x) = F′(x). Свойства функции плотности распределения.

   Математическое ожидание непрерывной случайной величины Дисперсия непрерывной случайной величины

   Задача. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения Р е ш е н и е. Найдем плотность распределения вероятностей по формуле f (x) = F′(x). => Найдём математическое ожидания величины по формуле Ди сперсию непрерывной случайной величины находим по формуле:

   Нормальный закон распределения

   Задача. Известны математическое ожидание m= 10 и среднее квадратичное отклонение = 2 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (12, 14). Р е ш е н и е.

   Подставим = 12, = 14, а = 10 и = 2 в формулу Р(12 < X < 14) = Ф(2) – Ф(1) Значения Ф(2) и Ф(1) функции Лапласа находим по таблице, которая приводится в приложении учебников и справочников по теории вероятностей: Ф(2) = 0. 4772; Ф(1) = 0. 3413. => Р(12 < X < 14) = 0.

   4772 — 0. 3413 = 0. 1359 Р(12 < X < 14) = 0. 1359.

   Источник: https://present5.com/teoriya-veroyatnostej-i-matematicheskaya-statistika-elementy-kombinatoriki/

   Экология СПРАВОЧНИК

   Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний может принимать одно из возможных заранее неизвестных значений. В теории надежности оперируют с такими случайными величинами, как ресурс, наработка до отказа, число отказов за некоторый период эксплуатации, время восстановления и др. Случайные величины могут быть непрерывного или дискретного типа.[ …]

   Случайная величина называется непрерывной, если она может в результате испытаний принять любое значение в одном или нескольких заданных интервалах.[ …]

   Случайная величина называется дискретной, если она может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений, то есть если эти значения могут быть пронумерованы в каком-нибудь порядке. К дискретным случайным величинам относятся данные статистических (эмпирических) наблюдений об отказах объектов — наработка до отказа, число отказов и др.[ …]

   Для полной характеристики случайной величины необходимо задать не только все возможные ее значения, но и закон ее распределения.[ …]

   Законом распределения называется зависимость, устанавливающая связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. При расчетах надежности установление закона распределения является необходимой процедурой для получения исходных данных для расчета показателей надежности.[ …]

   Функция F x) является неубывающей функцией х (монотонно возрастающей для непрерывных процессов и ступенчато возрастающей для дискретных процессов). В пределах изменения случайной величины X она изменяется от 0 до 1.[ …]

   Она характеризует частость повторений данного значения случайной величины t. В задачах надежности она широко используется как плотность вероятности.[ …]

   В ряде случаев достаточно характеризовать распределение случайной величины некоторыми числовыми величинами: математическим ожиданием (средним значением); модой и медианой, характеризующими положение центров группирования случайных величин по оси абсцисс; дисперсией, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации, характеризующими рассеивание случайной величины.[ …]

   При достаточно большом числе испытаний (наблюдений) полагают, что Mt = Т.[ …]

   Квантилем называется значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.[ …]

   Рисунки к данной главе:

   Экспоненциальный закон распределения наработки

   Распределение Вейбулла

   Источник: https://ru-ecology.info/post/100763100030018/

   Закон распределения дискретной случайной величины

   Закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) представляет собой соответствие между значениями х1, х2,…,хn этой величины  и их вероятностями p1, p2,…,pn

    Может быть задан аналитически, графически или таблично.

   Самый простой способ представления закона распределения дискретной случайной величины — в виде таблицы ряда распределения, то есть

   X	x1	x2	……	xn
   P	p1	p2	……	pn

   х1, х2,…,хn — значения дискретной случайной  величины;
   p1, p2,…,pn — вероятности значений X дискретной случайной  величина.

   Также должно выполняться условия, что сумма вероятностей равна 1, то есть
   ∑p=p1+p2+ … +pn=1
   Графически закон распределения ДСВ задается в виде многоугольника распределения см. здесь.

   , а аналитически, например, с применением формулы Бернулли.Рассмотрим примеры

   Пример 1
   Монета подбрасывается 10 раз, герб выпал 6 раз, а орел — 4 раза. Составить закон распределения дискретной случайной величины.
   Решение
   Вероятности равны:
   p1(6)=6/10=0,6;
   p2(4)=4/10=0,4

   Пример 2
   Из корзины извлечено 4 белых шара, 6 черных, 8 синих и 2 красных шара. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.
   Решение
   Объем выборки равен
   n=4+6+8+2=20
   X принимает следующие значения:
   x1=4; x2=6; x3=8; x1=2
   Найдем их вероятности:

   p1(4)=4/20=0,2;
   p2(6)=6/20=0,3;
   p3(8)=8/20=0,4;
   p4(2)=2/20=0,1
   Получаем таблицу закона распределения дискретной случайной величины

   X	4	6	8	2
   P	0.2	0.3	0.4	0.1

   • Пример 3
     По контрольной работе по математике школьники получили оценки:
     удовлетворительно — 5 человек;
     хорошо — 13 человек;
     отлично — 7 человек.
     Составьте таблицу закона распределения ДСВ
     Решение
   • n=5+13+7=26
   • Вычислим вероятности:
   • Таблица имеет вид:

   X	5	13	8	2
   P	0.2	0.52	0.28	0.1

   Пример 4
   Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распределения числа стандартных изделий среди отобранных.

   Решение

   Для составления закона распределения воспользуемся формулой комбинаторики сочетание без повторений, то есть всего 8 изделия, а отобрать необходимо 3 изделия получаем:
   
   при P(X=0) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий не окажется ни одного стандартного;
   при P(X=1) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется одно стандартное и два нестандартных изделия;
   при P(X=2) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется два стандартных и одно нестандартное изделие;
   при P(X=3) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий все три изделия стандартные.
   
   Составим таблицу распределения

   Источник: https://www.matematicus.ru/teoriya-veroyatnosti/zakon-raspredeleniya-diskretnoj-sluchajnoj-velichiny