Сложение скоростей и ускорений — справочник студента

Планом скоростей (ускорений) механизма называют чертеж, на котором скорости (ускорения) различных точек изображены в виде векторов, показывающих направления и величины (в масштабе) этих скоростей (ускорений) в данный момент времени.

Абсолютное движение любой точки звена может быть составлено из переносного и относительного. За переносное принимается известное движение какой-либо точки. Относительное – движение данной точки относительно той, движение которой принято за переносное:

На плане абсолютные скорости (ускорения) изображаются векторами, выходящими из полюса плана.

На конце вектора абсолютной скорости (ускорения) ставится строчная (маленькая) буква, соответствующая той точке механизма, скорость (ускорение) которой данный вектор изображает. Отрезок, соединяющий концы векторов абсолютных скоростей, представляет собой вектор относительной скорости соответствующих точек.

Рисунок 1 – Кинематическая схема плоского рычажного механизма

Рассмотрим построение планов для механизма, представленного на рисунке 1. Вначале рассматривается начальный механизм, а далее решение ведется по группам Ассура в порядке их присоединения.

Начальный механизм:

Здесь

По вычисленному значению VA выбираем масштаб плана скоростей KV и из произвольного полюса откладываем отрезок va изображающий эту скорость:

Можно также назначать отрезок va а масштаб KV вычислять:

Группа Ассура второго класса 1-го вида (звенья 2, 3):

Истинные значения (в м/с) относительных скоростей VBA и VBC определяются после построения плана умножением соответствующих отрезков (в мм) на масштаб плана:

а зная их, можно определить и угловые скорости звеньев 2 и 3:

Скорость точки D на плане скоростей можно определить по подобию.

(Если известны скорости двух точек одного и того же звена, то скорость любой третьей точки этого же звена можно определить, построив на плане скоростей фигуру, подобную фигуре, образованной этими же буквами на звене механизма). Точки С, В , D на звене 3 лежат на одной прямой. На плане строим отрезок сd, соблюдая условие подобия:

Группа Ассура второго класса 3-го вида (звенья 4,5) :

где D5 — точка, находящаяся на звене 5 под точкой D. После определения скорости движения точки D5 относительно точки E можно вычислить угловую скорость звеньев 4 и 5 (ω4=ω5, т. к. эти звенья соединяются поступательной парой):

Примечание: в данном случае размер DE является величиной переменной (т.е. в задании он отсутствует), поэтому в каждом положении механизма он определяется через отрезок на чертеже и масштаб длин.

План ускорений строится в таком же порядке.

Начальный механизм

Ускорение точки A состоит только из нормальной составляющей, т.к. задана постоянная угловая скорость первого звена (ω1=соnst):

По вычисленному значению ускорения точки A выбирается масштаб плана ускорений и определяется отрезок на плане, соответствующий этому ускорению (или вычисляется масштаб плана ускорений по выбранному отрезку, изображающему ускорение точки A):

Здесь точка w – полюс плана ускорений.

Группа Ассура (звенья 2,3) второго класса 1-го вида:

После построения определяются aτBA и aτBC, по которым можно вычислить угловые ускорения звеньев 2 и 3:

Рисунок 5 – Планы скоростей и ускорений для заданного положения механизма

Группа Ассура (звенья 4,5) второго класса 3-го вида:

Для определения направления akD5D надо вектор VD5D повернуть на 90° в направлении ω5. Угловые ускорения:

• При силовом расчете необходимо иметь ускорения центров масс (asi), которые на плане ускорений определяются методом подобия.
• Планы скоростей и ускорений для первого положения заданного механизма приведены на рисунке 5.
• Уравнение планов скоростей и ускорений для каждой группы Ассура приведены в таблице 1.
• Таблица 1 – Кинематический анализ групп Ассура II класса методом планов

Вид группы	Уравнения для построения планов скоростей и для определения угловых скоростей	Уравнения для построения планов ускорений и для определения угловых ускорений
2
3
4
5

Пример расчета механизма с поступательно движущимся выходным звеном >
Курсовой проект по ТММ >

Источник: https://isopromat.ru/tmm/reshenie-zadach/plan-skorostej

Кинематический расчет механизма

Кинематический расчет механизма.

Построение траектории движения точки

Чтобы получить траекторию движения точки D, необходимо построить 12 планов положений механизма. План положений — графическое изображение положения всех звеньев механизма в определенный момент времени.

Планы положений следует сроить в верхнем левом углу листа, расположив их длинной стороной горизонтально. Масштаб следует выбирать таким, чтобы планы положений заняли 1/4 часть листа. Выбираем произвольную точку О1, и проводим через нее вертикальную и горизон­тальную оси.

На горизонтальной оси находим центр вращения О2 звена 3, отложив отрезок О1 О2 (рис. 1.11а)

Радиусом О, А проводим из центра О, окружность, по которой движется точка А при вращении кривошипа. Полученную окружность делим на 12 равных частей, обозначив точки 0, 1,2, 3, … Нулевая точка должна находиться на вертикальной оси вверху.

Радиусом О2В из точки О2 проводим дугу, по которой перемещается точка В при качательных движениях звена 3. Дуга должна охватывать угол около 120° симметрично вертикали.

Для построения n-ого положения механизма, например 10-ого, радиусом АВ. из 10-ого положения точки А делаем засечку на дуге, по которой перемещается точка В. Полученные точки А и В соединяем прямой и продолжаем ее на величину BD ; Получена точка D. Точку В соединяем с точкой О2 . План 10-ого положения механизма построен.

Аналогично методом засечек строятся остальные одиннадцать положений. Соединяя все положения точки D плавной кривой, получим траекторию ее движения.

Рис.1.11

Определение степени подвижности механизма

Степень подвижности механизма определяется по формуле Чебышева П. Л.:

где n — число подвижных звеньев; Р2 — число кинематических пар второго класса; Р1 — число кинематических пар первого класса.

В рассматриваемом четырехзвённом механизме (рис 1.11а) число подвижных звеньев n =3.

На схеме механизма подвижные звенья пронумерованы от 1 до 3. стойка обозначена через 4.

Подсчитаем число кинематических пар второго класса. Имеем 4 вращательные кинематические пары в шарнирах О1А, ВО2. Следовательно Р2 = 4.

Кинематических пар первого класса в данном механизме нет, так что Pi = 0. Следовательно, имеем:

W = З×З — 2×4 — 0 = 1.

Механизмы, в состав ко­торых входят кинематические пары только второго класса, (т. е. низшие пары), называются стержневыми. Это значит, что при наличии одного ве­дущего звена (кривошипа О1А) движение всех остальных звеньев будет вполне определенным.

Построение плана скоростей для заданного положения ме­ханизма

Заданы размеры звеньев О1А, АВ и ВО2 , их положения и угловая скорость ω1=const кривошипа О1А.

Определение скоростей следует начинать с ведущего звена — кривошипа О1А, закон движения которого задан:

На основании теоремы сложения скоростей для точки В составляем следующие векторные уравнения:

• где — скорость полюса в переносном поступательном движении;
• — скорость относительного вращательного движения вокруг полюса А;
• — скорость относительного вращательного движе­ния вокруг полюса О2 .
• Векторы, известные по величине и направлению, условимся подчер­кивать двумя чертами, а известные только по направлению — одной чер­той.

Сущность метода плана скоростей состоит в графическом решении векторных уравнений (1) и (2) (рис 1.11б).

План скоростей строится в определенном масштабе. Масштаб реко­мендуется выбирать следующим образом: например скорость некоторой

точки А ведущего звена =7,2 м/с. Для изображения вектора скорости точки А целесообразно выбирать отрезок, например, PVа =72 мм.

Отрезок Рva можно взять любой величины, но лучше выбрать его та­ким, чтобы масштаб скоростей был удобным для дальнейших вычислений. Отрезок Pv a следует выбирать в пределах (70…120)мм.

Построение плана скоростей проводим в следующем порядке. (рис 1.11 б):

1. 1) откладываем от произвольного полюса (Pv) отрезок, PVa ׀׀
2. VA
3. 2) через конец (а) отрезка ( Pva) проводим направление скорости перпендикулярно шатуну АВ механизма;

3) из полюса (РV) проводим направление скорости т. е. ли­нию, перпендикулярную звену ВО2, до пересечения с направлением . Точка пересечения (b) этих двух направлений определяет величины скоростей и :

• 
• Направления векторов полученного треугольника нужно согласовать с уравнением (1).
• Для определения скорости точки D, лежащей на звене АВ механизма, находим ее изображение в плане скоростей методом пропорционального деления из соотношения (на основе свойства подобия плана скоростей):
• , откуда
• Продолжив (ab) и отложив (ad), получим положение точки (d). Ско­рость точки D получим, соединив полюс ( Pv ) с точкой (d):
• Построение плана ускорений для заданного положения ме­ханизма.
• При определении ускорений точек механизма сохраняется та же по­следовательность решения, что и при определении скоростей. Ускорение точки А ведущего звена О1А, равно геометрической сумме векторов нор­мального и тангенциального ускорений этой точки
• Так как кривошип вращается равномерно, то и, следовательно полное ускорение точки А будет состоять только из нормального:
• направленного вдоль кривошипа О1А от точки А к точке О1.
• Плоскопараллельное движение шатуна АВ, как и при определении скоростей, раскладывается на переносное поступательное движение вме­сте с полюсом А и относительное вращательное движение вокруг полюса А. По теореме сложения ускорений получаем:
• (3)
• Рассматривая шарнирную точку В, принадлежащей звену 3 — коро­мыслу ВО2 на основании теоремы сложения ускорений составляем век­торное уравнение
• (4)
• После разложения векторов ускорения и на нормальные и тангенциальные составляющие уравнения (3) и (4) примут вид:
• (5)
• (6)
• Векторы, подчеркнутые дважды, известны и по величине, и по на­правлению. Для построения плана определяем модули:
• ;
• Нормальные ускорения всегда известны по величине и направлению, а тангенциальные — только по направлению.
• Нормальные ускорения точек направлены к центру вращения звена.
• Так, вектор параллелен звену АВ и направлен от точки В к точке
• А, вектор , параллелен звену ВО2 и направлен от точки В к точке О2.
• Вектор направлен перпендикулярно звену АВ, а вектор

— перпендикулярно звену ВО2. Величины тангенциальных уско­рений определяются в результате построения плана ускорений.

Решаем уравнение (5) и (6) графически, построением плана ускорений (рис. 1.11.в).

1. Выбираем масштаб плана ускорений, для чего принимаем дину отрез­ка , изображающего вектор ускорения точки А, равной 70-120 мм. Тогда масштаб плана ускорений:
2. м/с×мм
3. Построение плана ускорений следует вести в следующем порядке. Из

произвольно выбранного полюса Ра (рис. 1.11 в) проводим параллельно

• О1А, отрезок Paa направленный от точки А к точке О1. Из точки а
• проводим вектор в направлении от точки В к точке А, длина век­тора равна:
• Через точку следует провести перпендикулярно звену АВ на-

правление вектора . Далее из полюса ( Pа ) проводим вектор в направлении от точки В к точке O2. Длина его равна:

1. Через точку проводим перпендикулярно звену ВО2 направление вектора .
2. В пересечении направлений векторов и получим точку b — конец вектора абсолютного ускорения точки В.
3. Направление ускорений и должно быть согласовано с уравнениями (5) и (6). Из плана ускорений определяем:

Чтобы найти полные ускорения и нужно на плане провести замыкающие векторы, т. е. отрезки и и направить их навстречу слагаемым: ;

• Ускорение точки D определяется на основании свойства подобия плана ускорений, для чего на продолжении отрезка (ab) откладывается от­резок (bd), найденный из пропорции:
• ;
• Ускорение точки D получим, соединив полюс ( Ра) с точкой (d):
• Определение угловых скоростей и угловых ускорений звеньев.
• Величина угловой скорости звена 1 — ω1, является заданной и посто­янной. Величина угловой скорости звена 2 равна относительной скорости

, деленной на длину звена АВ, т. е.

1. Вектор , направлен по часовой стрелке. Ведущее звено l вращается
2. с постоянной угловой скоростью, так, что его угловое ускорение.
3. Величина углового ускорения звена 2 равна тангенциальному ускоре­нию , деленному на длину звена АВ :

вектор направлен против часовой стрелки. Так как векторы угло­вой скорости , и углового ускорения звена 2 имеют разное направ­ление, то звено 2 — шатун — в этом положении движется замедленно.

• Подобным образом находим угловую скорость и угловое ускорение звена 3.
• Движение звена 3 в данном положении ускоренное, так как векторы
• и имеют одинаковое направление.

Источник: https://mehanik-ua.ru/tekhnicheskie-raschety/1347-kinematicheskij-raschet-mekhanizma.html

Кинематика — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи — Обучение Физике, Онлайн подготовка к ЦТ и ЕГЭ

Основные теоретические сведения

Система СИ

К оглавлению…

Основные единицы измерения величин в системе СИ таковы:

1. единица измерения длины — метр (1 м),
2. времени — секунда (1 с),
3. массы — килограмм (1 кг),
4. количества вещества — моль (1 моль),
5. температуры — кельвин (1 К),
6. силы электрического тока — ампер (1 А),
7. Справочно: силы света — кандела (1 кд, фактически не используется при решении школьных задач).

При выполнении расчетов в системе СИ углы измеряются в радианах.

Если в задаче по физике не указано, в каких единицах нужно дать ответ, его нужно дать в единицах системы СИ или в производных от них величинах, соответствующих той физической величине, о которой спрашивается в задаче. Например, если в задаче требуется найти скорость, и не сказано в чем ее нужно выразить, то ответ нужно дать в м/с.

Для удобства в задачах по физике часто приходится использовать дольные (уменьшающие) и кратные (увеличивающие) приставки. их можно применять к любой физической величине. Например, мм – миллиметр, кт – килотонна, нс – наносекунда, Мг – мегаграмм, ммоль – миллимоль, мкА – микроампер. Запомните, что в физике не существует двойных приставок.

Например, мкг – это микрограмм, а не милликилограмм. Учтите, что при сложении и вычитании величин Вы можете оперировать только величинами одинаковой размерности. Например, килограммы можно складывать только с килограммами, из миллиметров можно вычитать только миллиметры, и так далее. При переводе величин пользуйтесь следующей таблицей.

Таблица дольных и кратных приставок в физике:

Путь и перемещение

К оглавлению…

Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения.

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Всякое тело имеет определенные размеры. Однако, во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела.

Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать материальной точкой.

Так при движении автомобиля на большие расстояния можно пренебречь его длиной, так как длина автомобиля мала по сравнению с расстояниями, которое он проходит.

Интуитивно понятно, что характеристики движения (скорость, траектория и т.д.) зависят от того, откуда мы на него смотрим. Поэтому для описания движения вводится понятие системы отсчета.

 Система отсчета (СО) – совокупность тела отсчета (оно считается абсолютно твердым), привязанной к нему системой координат, линейки (прибора, измеряющего расстояния), часов и синхронизатора времени.

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает в данной СО некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.

Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Перемещение есть векторная величина. Перемещение может в процессе движения увеличиваться, уменьшаться и становиться равным нулю.

Пройденный путь равен длине траектории, пройденной телом за некоторое время. Путь – скалярная величина. Путь не может уменьшаться. Путь только возрастает либо остается постоянным (если тело не движется). При движении тела по криволинейной траектории модуль (длина) вектора перемещения всегда меньше пройденного пути.

где: v – скорость тела, t – время в течении которого оно двигалось. При решении задач по кинематике перемещение обычно находится из геометрических соображений. Часто геометрические соображения для нахождения перемещения требуют знания теоремы Пифагора.

Средняя скорость

К оглавлению…

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения тела в пространстве. Скорость бывает средней и мгновенной. Мгновенная скорость описывает движение в данный конкретный момент времени в данной конкретной точке пространства, а средняя скорость характеризует все движение в целом, в общем, не описывая подробности движения на каждом конкретном участке.

Средняя скорость пути – это отношение всего пути ко всему времени движения:

где: Lполн – весь путь, который прошло тело, tполн – все время движения.

Средняя скорость перемещения – это отношение всего перемещения ко всему времени движения:

Эта величина направлена так же, как и полное перемещение тела (то есть из начальной точки движения в конечную точку). При этом не забывайте, что полное перемещение не всегда равно алгебраической сумме перемещений на определённых этапах движения. Вектор полного перемещения равен векторной сумме перемещений на отдельных этапах движения.

• При решении задач по кинематике не совершайте очень распространенную ошибку. Средняя скорость, как правило, не равна среднему арифметическому скоростей тела на каждом этапе движения. Среднее арифметическое получается только в некоторых частных случаях.
• И уж тем более средняя скорость не равна одной из скоростей, с которыми двигалось тело в процессе движения, даже если эта скорость имела примерно промежуточное значение относительно других скоростей, с которыми двигалось тело.

Равноускоренное прямолинейное движение

К оглавлению…

Ускорение – векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела. Ускорением тела называют отношение изменения скорости к промежутку времени, в течение которого происходило изменение скорости:

где: v0 – начальная скорость тела, v – конечная скорость тела (то есть спустя промежуток времени t).

Далее, если иное не указано в условии задачи, мы считаем, что если тело движется с ускорением, то это ускорение остается постоянным. Такое движение тела называется равноускоренным (или равнопеременным). При равноускоренном движении скорость тела изменяется на одинаковую величину за любые равные промежутки времени.

Равноускоренное движение бывает собственно ускоренным, когда тело увеличивает скорость движения, и замедленным, когда скорость уменьшается. Для простоты решения задач удобно для замедленного движения брать ускорение со знаком «–».

Из предыдущей формулы, следует другая более распространённая формула, описывающая изменение скорости со временем при равноускоренном движении:

Перемещение (но не путь) при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:

В последней формуле использована одна особенность равноускоренного движения. При равноускоренном движении среднюю скорость можно рассчитывать, как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей (этим свойством очень удобно пользоваться при решении некоторых задач):

С расчетом пути все сложнее. Если тело не меняло направления движения, то при равноускоренном прямолинейном движении путь численно равен перемещению. А если меняло – надо отдельно считать путь до остановки (момента разворота) и путь после остановки (момента разворота). А просто подстановка времени в формулы для перемещения в этом случае приведет к типичной ошибке.

• Координата при равноускоренном движении изменяется по закону:
• Проекция скорости при равноускоренном движении изменяется по такому закону:
• Аналогичные формулы получаются для остальных координатных осей. Формула для тормозного пути тела:

Свободное падение по вертикали

К оглавлению…

На все тела, находящиеся в поле тяготения Земли, действует сила тяжести. В отсутствие опоры или подвеса эта сила заставляет тела падать к поверхности Земли.

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то движение тел только под действием силы тяжести называется свободным падением.

Сила тяжести сообщает любым телам, независимо от их формы, массы и размеров, одинаковое ускорение, называемое ускорением свободного падения. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения составляет:

Это значит, что свободное падение всех тел вблизи поверхности Земли является равноускоренным (но не обязательно прямолинейным) движением.

 Вначале рассмотрим простейший случай свободного падения, когда тело движется строго по вертикали.

Такое движение является равноускоренным прямолинейным движением, поэтому все изученные ранее закономерности и фокусы такого движения подходят и для свободного падения. Только ускорение всегда равно ускорению свободного падения.

Традиционно при свободном падении используют направленную вертикально ось OY. Ничего страшного здесь нет. Просто надо во всех формулах вместо индекса «х» писать «у». Смысл этого индекса и правило определения знаков сохраняется. Куда направлять ось OY – Ваш выбор, зависящий от удобства решения задачи. Вариантов 2: вверх или вниз.

1. Приведем несколько формул, которые являются решением некоторых конкретных задач по кинематике на свободное падение по вертикали. Например, скорость, с которой упадет тело падающее с высоты h без начальной скорости:
2. Время падения тела с высоты h без начальной скорости:
3. Максимальная высота на которую поднимется тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v0, время подъема этого тела на максимальную высоту, и полное время полета (до возвращения в исходную точку):

Горизонтальный бросок

К оглавлению…

При горизонтальном броске с начальной скоростью v0 движение тела удобно рассматривать как два движения: равномерное вдоль оси ОХ (вдоль оси ОХ нет никаких сил препятствующих или помогающих движению) и равноускоренного движения вдоль оси OY.

Скорость в любой момент времени направлена по касательной к траектории. Ее можно разложить на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая всегда остается неизменной и равна vx = v0. А вертикальная возрастает по законам ускоренного движения vy = gt. При этом полная скорость тела может быть найдена по формулам:

• При этом важно понять, что время падения тела на землю никоим образом не зависит от того, с какой горизонтальной скоростью его бросили, а определяется только высотой, с которой было брошено тело. Время падения тела на землю находится по формуле:
• Пока тело падает, оно одновременно движется вдоль горизонтальной оси. Следовательно, дальность полета тела или расстояние, которое тело сможет пролететь вдоль оси ОХ, будет равно:
• Угол между горизонтом и скоростью тела легко найти из соотношения:
• Также иногда в задачах могут спросить о моменте времени, при котором полная скорость тела будет наклонена под определенным углом к вертикали. Тогда этот угол будет находиться из соотношения:

Важно понять, какой именно угол фигурирует в задаче (с вертикалью или с горизонталью). Это и поможет вам выбрать правильную формулу. Если же решать эту задачу координатным методом, то общая формула для закона изменения координаты при равноускоренном движении:

1. Преобразуется в следующий закон движения по оси OY для тела брошенного горизонтально:

При ее помощи мы можем найти высоту на которой будет находится тело в любой момент времени. При этом в момент падения тела на землю координата тела по оси OY будет равна нулю. Очевидно, что вдоль оси OХ тело движется равномерно, поэтому в рамках координатного метода горизонтальная координата изменятся по закону:

Бросок под углом к горизонту (с земли на землю)

К оглавлению…

• Максимальная высота подъема при броске под углом к горизонту (относительно начального уровня):
• Время подъема до максимальной высоты при броске под углом к горизонту:

Дальность полета и полное время полета тела брошенного под углом к горизонту (при условии, что полет заканчивается на той же высоте с которой начался, т.е. тело бросали, например, с земли на землю):

1. Минимальная скорость тела брошенного под углом к горизонту – в наивысшей точке подъёма, и равна:

Максимальная скорость тела брошенного под углом к горизонту – в моменты броска и падения на землю, и равна начальной. Это утверждение верно только для броска с земли на землю. Если тело продолжает лететь ниже того уровня, с которого его бросали, то оно будет там приобретать все большую и большую скорость.

Сложение скоростей

К оглавлению…

Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчета равноправны.

Однако кинематические характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными.

Таким образом, абсолютная скорость тела равна векторной сумме его скорости относительно подвижной системы координат и скорости самой подвижной системы отсчета. Или, другими словами, скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме скорости тела в подвижной системе отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Равномерное движение по окружности

К оглавлению…

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Такой вид движения также рассматривается в кинематике. При криволинейном движении вектор скорости тела всегда направлен по касательной к траектории. То же самое происходит и при движении по окружности (см. рисунок). Равномерное движение тела по окружности характеризуется рядом величин.

Период – время, за которое тело, двигаясь по окружности, совершает один полный оборот. Единица измерения – 1 с. Период рассчитывается по формуле:

Частота – количество оборотов, которое совершило тело, двигаясь по окружности, в единицу времени. Единица измерения – 1 об/с или 1 Гц. Частота рассчитывается по формуле:

• В обеих формулах: N – количество оборотов за время t. Как видно из вышеприведенных формул, период и частота величины взаимообратные:
• При равномерном вращении скорость тела будет определяется следующим образом:

где: l – длина окружности или путь, пройденный телом за время равное периоду T. При движении тела по окружности удобно рассматривать угловое перемещение φ (или угол поворота), измеряемое в радианах.

Угловой скоростью ω тела в данной точке называют отношение малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt.

 Очевидно, что за время равное периоду T тело пройдет угол равный 2π, следовательно при равномерном движении по окружности выполняются формулы:

Угловая скорость измеряется в рад/с. Не забывайте переводить углы из градусов в радианы. Длина дуги l связана с углом поворота соотношением:

1. Связь между модулем линейной скорости v и угловой скоростью ω:

При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью изменяется только направление вектора скорости, поэтому движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является движением с ускорением (но не равноускоренным), так как меняется направление скорости. В этом случае ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным ускорением, так как вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру (см. рисунок).

• Модуль центростремительного ускорения связан с линейной v и угловой ω скоростями соотношениями:
• Обратите внимание, что если тела (точки) находятся на вращающемся диске, шаре, стержне и так далее, одним словом на одном и том же вращающемся объекте, то у всех тел одинаковые период вращения, угловая скорость и частота.

Источник: https://educon.by/index.php/materials/phys/kinematika

Сложное движение точки. Теорема Кориолиса

Определение сложного (составного) движения точки. Определение абсолютного, относительного и переносного движения, скорости и ускорения. Доказательство теоремы о сложении скоростей и теоремы Кориолиса о сложении ускорений. Кориолисово (поворотное) ускорение.

Здесь мы покажем, что при сложном движении, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: . Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений: , где     – кориолисово ускорение.

Пример применения изложенной ниже теории приводится на странице “Сложное движение точки. Пример решения задачи”.

Сложное (составное) движение точки

Часто встречаются случаи, когда точка совершает известное движение относительно некоторого твердого тела. А это тело, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат.

Причем движение точки относительно тела и закон движения тела относительно неподвижной системы координат известны или заданы.

Требуется найти кинематические величины (скорость и ускорение) точки относительно неподвижной системы координат.

Такое движение точки называется сложным или составным.

Сложное или составное движение точки – это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Далее, для ясности изложения, будем считать, что подвижная система координат жестко связана с некоторым твердым телом. Мы будем рассматривать движение точки относительно тела (относительное движение) и движение тела относительно неподвижной системы координат (переносное движение).

Относительное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно тела (подвижной системы координат) считая, что тело покоится. Переносное движение точки при сложном движении – это движение точки, жестко связанной телом, вызванное движением тела. Абсолютное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно неподвижной системы координат, вызванное движением тела и движением точки относительно тела.

Сложное движение. Точка M движется относительно движущегося тела.

Пусть Oxyz – неподвижная система координат, On xo yo zo – подвижная система координат, жестко связанная с телом.

Пусть   – единичные векторы (орты), направленные вдоль осей  xo , yo , zo   подвижной системы координат.

Тогда радиус-вектор     точки M  в неподвижной системе определяется по формуле: (1)   , где     – радиус-вектор точки On   – начала подвижной системы координат, связанной с телом.

Относительная скорость и ускорение

При относительном движении изменяются координаты   xo , yo , zo   точки относительно тела. А векторы     являются постоянными, не зависящими от времени. Дифференцируя (1) по времени, считая     постоянными, получаем формулы для относительной скорости и ускорения: (2)   ; (3)   .

Относительная скорость точки при сложном движении – это скорость точки при неподвижном положении тела (подвижной системы координат), вызванная движением точки относительно тела. Относительное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки при неподвижном положении тела, вызванное движением точки относительно тела.

Переносная скорость и ускорение

При переносном движении изменяются векторы   , определяющие положение тела. Относительные координаты точки xo , yo , zo   являются постоянными. Дифференцируя (1) по времени, считая xo , yo , zo постоянными, получаем формулы для переносной скорости и ускорения: (4)   ; (5)   .

Переносная скорость точки при сложном движении – это скорость точки, жестко связанной с телом, вызванная движением тела. Переносное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки, жестко связанной с телом, вызванное движением тела.

Производные по времени от     – это скорость и ускорение начала подвижной системы координат On :   ;   .

Найдем формулы для производных по времени от векторов   . Для этого возьмем две произвольные точки твердого тела A и B. Их скорости связаны соотношением: (см. страницу “Скорость и ускорение точек твердого тела”). Рассмотрим вектор   , проведенный из точки A в точку B. Тогда . Дифференцируем по времени и применяем предыдущую формулу:

.

Итак, мы нашли формулу для производной по времени от вектора, соединяющего две точки тела:

.

Поскольку векторы     жестко связаны с телом, то их производные по времени определяются по этой формуле: (6)   ,   ,   .

Выполняя подобные преобразования над формулой (5), получим формулу для ускорения точек твердого тела: , где     – угловое ускорение тела.

Абсолютная скорость и ускорение

При абсолютном движении изменяются как векторы   , определяющие положение тела, так и относительные координаты точки   xo , yo , zo .

Абсолютная скорость точки при сложном движении – это скорость точки в неподвижной системе координат. Абсолютное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки в неподвижной системе координат.

Теорема о сложении скоростей

При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: .

Доказательство

Дифференцируем (1) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (2) и (4). (1)   ; (7)   .

Теорема Кориолиса о сложении ускорений

• При составном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений: , где
•   – кориолисово ускорение.

Доказательство

Дифференцируем (7) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (3) и (5). (7)   . .

В последнем члене применим (6) и (2). . Тогда

.

Источник: https://1cov-edu.ru/termeh/kinematika/tela/slozhnoe_dvizhenie_tochki/

Закон сложения скоростей

Механическим движением называют изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

В этом определении ключевой является фраза «относительно других тел». Каждый из нас относительно какой-либо поверхности неподвижен, но относительно Солнца мы совершаем вместе со всей Землей орбитальное движение со скоростью 30 км/с, то есть движение зависит от системы отсчета.

Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом, относительно которого изучается движение.

Например, описывая движения пассажиров в салоне автомобиля, систему отсчета можно связать с придорожным кафе, а можно с салоном автомобиля или с движущимся встречным автомобилем, если мы оцениваем время обгона

Преобразование координат и времени

Закон сложения скоростей является следствием преобразований координат и времени.

Пусть частица в момент времени t’ находится в точке (x’, y’, z’), а через малое время Δt’ в точке (x’ + Δx’, y’ + Δy’, z’ + Δz’) системы отсчета K’. Это два события в истории дви­жущейся частицы. Имеем:

• Δx’ = vx’Δt’,
• где vx’ — x-я компонента скорости частицы в системе K’.
• Аналогичные соотношения имеют место для остальных компонент.
• Разности координат и промежутки времени (Δx, Δy, Δz, Δt) преобразуются так же, как координаты:
• Δx = Δx’ + VΔt’,
• Δy = Δу’,
• Δz = Δz’,
• Δt = Δt’.
• Отсюда следует, что скорость той же частицы в системе K будет иметь компоненты:
• vx = Δx / Δt = (Δx’ + VΔt’) / Δt = vx’ + V,
• vy = vy’,
• vz = vz’.
• Это закон сложения скоростей. Его можно выразить в векторной форме:
• v̅ = v̅’ + V
• (координатные оси в системах K и K’ параллельны).

1. Если тело движется относительно системы отсчета К1 со скоростью V1, а сама система отсчета К1 движется относительно другой системы отсчета К2 со скоростью V, то скорость тела (V2) относительно второй системы отсчета К2 равна геометрической сумме векторов V1 и V.
2. Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.
3. ( vec{V_2} = vec{V_1} + vec{V} )

где всегда К2 — неподвижная система отсчетаV2 — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (К2)

К1 — подвижная система отсчета

V1 — скорость тела относительно подвижной системы отсчета (К1)

V — скорость подвижной системы отсчета (К1) относительно неподвижной системы отсчета (К2)

Закон сложения ускорений для поступательного движения

При поступательном движении тела относительно подвижной системы отсчёта и подвижной системы отсчёта относительно неподвижной, вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта $overrightarrow{a}=frac{doverrightarrow{v}}{dt}= {overrightarrow{a}}_{АБС}$ (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета ${overrightarrow{a}}_r=frac{d{overrightarrow{v}}_r}{dt}={overrightarrow{a}}_{ОТН}$ (относительного ускорения) и вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной ${overrightarrow{a}}_е=frac{d{overrightarrow{v}}_е}{dt}={overrightarrow{a}}_{ПЕР}$ (переносного ускорения):

[{overrightarrow{a}}_{АБС}={overrightarrow{a}}_{ОТН}+{overrightarrow{a}}_{ПЕР}]

В общем случае, когда движение материальной точки (тела) является криволинейным, его в каждый момент времени можно представить как комбинацию поступательного движения материальной точки (тела) относительно подвижной системы отсчёта со скоростью ( {overrightarrow{v}}_r ), и вращательного движения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной с угловой скоростью ( {overrightarrow{omega }}_e ). В этом случае, при сложении ускорений, наряду с относительным и переносным ускорением необходимо учитывать и ускорение Кориолиса ( a_c=2{overrightarrow{omega }}_e imes {overrightarrow{v}}_r ), которое характеризует изменение относительной скорости, вызванное переносным движением, и изменение переносной скорости, вызванное относительным движением.

Теорема Кориолиса

• Вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта ( overrightarrow{a}=frac{doverrightarrow{v}}{dt}= {overrightarrow{a}}_{АБС} ) (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета ( {overrightarrow{a}}_r=frac{d{overrightarrow{v}}_r}{dt}={overrightarrow{a}}_{ОТН} ) (относительного ускорения), вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной ( {overrightarrow{a}}_е=frac{d{overrightarrow{v}}_е}{dt}={overrightarrow{a}}_{ПЕР} ) (переносного ускорения), и кориолисова ускорения ( a_c=2{overrightarrow{{mathbf omega }}}_e imes {overrightarrow{v}}_r={overrightarrow{a}}_{КОР} ):
• [{overrightarrow{a}}_{АБС}={overrightarrow{a}}_{ОТН}+{overrightarrow{a}}_{ПЕР}+{overrightarrow{a}}_{КОР}]
• Абсолютное перемещение равно сумме относительного и переносного перемещений.
• Перемещение тела в неподвижной системе отсчета равно сумме перемещений: тела в подвижной системе отсчета и самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Вторая капля оторвалась от крыши через несколько секунд после того, как оторвалась первая капля. Как движется вторая капля относительно первой? Сопротивлением воздуха пренебречь.

За неподвижную систему отсчёта возьмём землю, за подвижную систему отсчёта — первую каплю, а за наблюдаемое тело — вторую каплю. Отметим, что подвижная система отсчета движется поступательно.

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, то на каждую из капель будет действовать лишь одна сила тяжести, сообщающая каждой капле ускорение (относительно земли), равное ускорению свободного падения g.

вторая капля движется относительно первой равномерно.

Жесткий диск вращается с постоянной угловой скоростью $overrightarrow{{mathbf omega }}$ вокруг оси, укрепленной на столе. По диску движется точка А с постоянной относительно стола скоростью $overrightarrow{v}$.

Определить скорость ${overrightarrow{v}}_r$ и ускорение ${overrightarrow{a}}_r$ частицы А относительно диска в момент, когда радиус-вектор, характеризующий ее положение по отношению к оси вращения, равен $overrightarrow{{mathbf
ho }}$.

1. Относительная скорость точки А $ {overrightarrow{v}}_r=overrightarrow{v}-{overrightarrow{{mathbf omega }}}_e imes overrightarrow{{mathbf
   ho }}$.
2. Поскольку скорость точки $overrightarrow{v}$ относительно стола постоянна, то её абсолютное движение равномерно, и $overrightarrow{a}=0$
3. Отсюда

[{overrightarrow{a}}_r=-left({overrightarrow{a}}_e+{overrightarrow{a}}_c
ight)=-left(2{overrightarrow{{mathbf omega }}}_e imes {overrightarrow{v}}_r+{{mathbf omega }}^2overrightarrow{{mathbf
ho }}
ight)=2overrightarrow{v} imes {overrightarrow{{mathbf omega }}}_e-{{mathbf omega }}^2overrightarrow{{mathbf
ho }}]

Запишите теорему сложения ускорений для поступательного движения материальной точки.

• Ускорение Кориолиса определяется как:
• Модуль $left|{overline{a}}_k
  ight|$ равен:
• где $alpha $ — угол между векторами ${overline{omega }}_e$ и ${overline{v}}_r$.

[ {overline{a}}_k=2left[{overline{omega }}_e{overline{v}}_r
ight] ] [left|{overline{a}}_k
ight|=2left|{overline{omega }}_e
ight|left|{overline{v}}_r
ight|{sin alpha }]

Из выражения (2.2) следует, что ${overline{a}}_k$=0, когда переносное движение является поступательным. В этом случае движение подвижной системы отсчета не имеет вращательной компоненты, переносная угловая скорость в любой момент времени равна нулю:

[{overline{omega }}_eequiv 0 ,]

тогда в любой момент времени равно нулю ускорение Кориолиса. Теорема сложения ускорений принимает вид:

[overline{a}={overline{a}}_e+{overline{a}}_r .]

$overline{a}={overline{a}}_e+{overline{a}}_r$

• Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения.
• Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 — 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении.
• Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 — 50 = 5 километров в час.
• Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, а корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 — 30 = 0 километров в час, то есть они становятся неподвижными.

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

• В инерциальной системе отсчета тело движется равномерно и прямолинейно при отсутствии действующих на него сил.
• Ускорение, приобретенное телом в инерциальной системе отсчета, прямо пропорционально равнодействующей силе и обратно пропорционально массе тела.
• Все ИСО по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу.

• Второй закон термодинамикиНевозможно создать круговой процесс, результатом которого станет исключительно превращение теплоты, которое получено от нагревателя, в работу.
• Лошадиная сила — единица мощности. Она примерно равна значению в 75 кгс/м/с., что соответствует усилию, которое необходимо затратить для подъёма груза в 75 кг. на высоту одно метра за одну секунду.
• Сколько должен весить человек?Чтобы узнать вес человека, достаточно знать его рост в сантиметрах, из этой цифры вычесть 100, а к полученному числу либо прибавить 10, если речь идет о мужчине, либо отнять 10, если вычисляется вес женщины.
• Ведро́ — сосуд для хранения жидких и сыпучих материалов и транспортировки их на небольшие расстояния.
• Закон всемирного тяготенияМежду любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки

Источник: https://calcsbox.com/post/zakon-slozenia-skorostej.html