Ряды тейлора и маклорена — справочник студента

  • Ряд Тейлора.
  • Рядом Тейлора называется степенной ряд вида Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента(предполагается, что функция  является бесконечно дифференцируемой).
  • Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при , то есть ряд .

Теорема. Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.

Доказательство. Пусть Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студентаи степенной ряд сходится в круге . Подставим в разложение , получим.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Так как сумма степенного ряда – функция аналитическая, мы можем дифференцировать функцию, а так как степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости, мы можем его дифференцировать почленно.

Полученный ряд будет сходиться в том же круге, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Поэтому сумма этого ряда Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студентабудет фунцией аналитической в том же круге. Ее вновь можно дифференцировать, дифференцируя почленно степенной ряд и т.д. Отсюда следует, что если аналитическая функция является суммой степенного ряда(это будет показано позже),то она является бесконечно дифференцируемой функцией. Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием. =,

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента, Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента, ,

Продолжая этот процесс, получим  . Это – коэффициенты ряда Тейлора.

Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента

  1. Так как эти формулы справедливы на всей действительной оси, то по теореме Абеля они справедливы и на всей комплексной плоскости (в круге с началом координат бесконечного радиуса).
  2. , .
  3. ,.
  4. ( интегрируя предыдущую формулу)
  5. ,
Поделитесь ссылкой пожалуйста:

Источник: https://studizba.com/lectures/47-matematika/679-ryady-fure-i-teoriya-funkciy-kompleksnoy-peremennoy/13009-11-ryad-teylora.html

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Зонная теория твердых тел, энергетические уровни и формирование энергетических зон - справочник студента

Оценим за полчаса!

Лекция 5. Ряды Тейлора и Маклорена

5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции

Пусть функция Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента определена в некоторой окрестности точки х0: Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента и имеет производные любого порядка, тогда для этой функции формально можно составить ряд по степеням Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента :

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента , где Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента .

Определение 1. Обобщённый степенной ряд вида Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента называется рядом Тейлора для функции Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента по степеням Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента . Если положить Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента , то получим ряд Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента , который носит название ряда Маклорена для функции по степеням х.

Задача. Пусть задана функция , бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х0: , и пусть для этой функции составлен ряд Тейлора по степеням : и его сумма равна . Если интервал является интервалом сходимости данного ряда с радиусом сходимости R, то можно записать равенство:

при всех .

Выясним, при каких условиях такой степенной ряд имеет своей суммой функцию , т.е. когда , поскольку существуют функции, для которых сумма ряда Тейлора не совпадает с данной функцией.

Рассмотрим пример. Дана функция , которая является бесконечно дифференцируемой . Вычислим производные этой функции в точке : Таким образом, все вычисленные коэффициенты ряда Тейлора–Маклорена для данной функции равны 0, поэтому этот ряд сходится на всей оси, его сумма тождественно равна 0: , однако при ( только в начале координат).

Пусть ряд Тейлора имеет интервал сходимости , где R – радиус сходимости. Тогда, если − частичная сумма этого ряда, то для любого существует . Рассмотрим теорему, которая даёт условия того, что .

Теорема 1 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда Тейлора к функции f(x)). Для того чтобы ряд Тейлора , , имел своей суммой функцию , т.е. , необходимо и достаточно, чтобы

для всех существовал предел , где − остаток ряда Тейлора.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция есть сумма ряда Тейлора на указанном промежутке: , или , где − частичная сумма ряда Тейлора, − остаток ряда Тейлора. Из условия сходимости ряда существует предел , и так как , то существует предел

,

т.е. . Необходимость доказана.

2) Достаточность. Пусть существует . Так как функция бесконечно дифференцируема при всех , то для неё имеет место формула Тейлора для всех , где − остаточный член формулы Тейлора, который совпадает с остатком ряда Тейлора. Тогда частичная сумма соответствующего ряда Тейлора имеет вид:

.

Рассмотрим предел , который обозначим через , учитывая, что : , т.е. . Достаточность доказана.

Замечание. Если , то сумма ряда Тейлора может не совпадать

с данной функцией, т.е. , хотя сам ряд может сходиться к другой функции.

Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к исходной функции неудобно для проверки на практике конкретных рядов; существуют более простые, хотя и более жёсткие, достаточные условия разложения функции в ряды Тейлора−Маклорена. Сначала сформулируем лемму.

Лемма. Для любого R существует следующий предел:

Доказательство. Рассмотрим степенной ряд , общий член которого . Найдём радиус и область сходимости этого ряда, используя признак Даламбера. Вычисляем предел, учитывая, что :

,

т.е. радиус сходимости ряда . Следовательно, рассмотренный ряд сходится для всех R, тогда по необходимому признаку сходимости общий член ряда , , т.е. для любого

R.

Теорема 2 (достаточные условия разложимости функции f(x) в ряд Маклорена). Пусть функция определена и бесконечно дифференцируема на интервале .

Если существует такое число , что для каждого натурального N и всех выполняется неравенство: (это означает, что производные любого порядка ограничены одним и тем же числом), тогда остаток ряда Маклорена при , а значит, .

Доказательство. Покажем, что остаток ряда Маклорена стремится к нулю при . Запишем для функции формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа: , где − многочлен Маклорена, а . Отметим, что частичная сумма ряда Маклорена совпадает с многочленом Маклорена , а остаток ряда есть . Выполним его оценку, используя условия теоремы 2 и учитывая, что для всех :

. По лемме при , тогда , . Следовательно, по теореме 1 о необходимом и достаточном признаке сходимости ряда Тейлора к исходной функции получаем . Теорема доказана.

5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды

  • Используем изложенную выше теорию для разложения основных элементарных функций в степенные ряды. Для разложения функции
  • в степенной ряд по степеням можно рекомендовать следующий
  • порядок действий:
  • 1) Находим производные функции в точке :
  • 2) Составляем ряд Тейлора .
  • 3) Находим интервал сходимости данного ряда: , где R– радиус сходимости.
  • 4) Исследуем поведение остатка ряда для всех

Если окажется, что , то на основании теорем 1 и 2 делаем вывод, что при всех . В результате получаем формулу разложения функции в степенной ряд.

· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

(1)

Вывод. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии , знаменатель которой и . Можно показать, что интервал сходимости этого ряда , и сумма этого ряда (сумма ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле ). Оценим остаток ряда:

  1. .
  2. При , , тогда на основании теоремы 1
  3. рассмотренный ряд имеет своей суммой функцию .
  4. Разложение (1) имеет место.
  5. · Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
  6. , R (2)

Вывод. Для данной функции запишем ряд Маклорена: . Так как функция − бесконечно дифференцируема, то все производные существуют и равны

  • N.
  • Находим эти производные в точке ; получаем для всех N, тогда ряд Маклорена приобретает вид:
  • .

Этот ряд сходится для всех R. Покажем, что сумма этого ряда равна . Фиксируем некоторое число R и рассмотрим некоторый отрезок [−a; a], на котором для любого N. В этом случае по теореме 2 данный ряд Маклорена будет сходиться на указанном отрезке к исходной функции . Отметим, что это верно для любого фиксированного числа R. Разложение (2) имеет место при всех R.

· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

, R (3)

Вывод. Для функции запишем ряд Маклорена .

  1. Находим все производные: , , , , …, . Вычисляем эти производные в точке х = 0:
  2. .
  3. Подставив эти значения в ряд Маклорена, получаем ряд:
  4. .

Данный ряд сходится при любом ; покажем, что он сходится к функции . Согласно теореме 2 (поскольку , т.е. все производные ограничены одним и тем же числом) данный ряд Маклорена будет сходиться к исходной функции при всех R. Таким образом разложение (3) имеет место.

  • · Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
  • , R (4)
  • Вывод. Рассмотрим разложение (3)

, R. Продифференцируем данный степенной ряд; получившийся новый ряд будет также сходиться при всех R к функции, которая равна производной от (свойство 3, лекция 4, разд. 4.3), т.е.

. Таким образом, разложение (4) имеет место.

· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

(5)

Разложение (5) приводится без вывода. Отметим, что оно верно при фиксированном R и называется биномиальным рядом. При натуральном N этот ряд представляет собой конечную сумму, известную как бином Ньютона:

N. Для нецелых m имеет место формула Тейлора:

При из этой формулы получаем бесконечный степенной ряд (5). Найдём радиус его сходимости, применяя признак Даламбера. Учитывая, что , , вычисляем предел:

,

тогда при ряд сходится и его радиус сходимости , а интервал сходимости (−1;1) ; можно показать, что , . Итак, разложение (5) верно для всех . В частном случае, когда , из разложения (5) получаем ряд :

  1. ,
  2. который при абсолютно сходится. Если в каждом члене ряда заменить х на (− х), то получим разложение (1):
  3. .
  4. · Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
  5. (6)
  6. Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при получаем ряд геометрической прогрессии со знаменателем
  7. ,

который сходится при , т.е. этот ряд имеет интервал сходимости (−1;1) с радиусом сходимости .

Полученный ряд почленно интегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4, разд. 4.3); при этом интервал сходимости сохранится:

  • .
  • Сумма полученного ряда равна
  • (или , так как ).

Таким образом, , т.е. имеет место разложение (6) при . Исследуя сходимость данного ряда в точке , получаем числовой ряд , который условно сходится. Таким образом, область сходимости ряда в разложении (6) имеет вид , а радиус сходимости .

  1. · Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
  2. (7)
  3. Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при получаем разложение
  4. ,
  5. из которого заменой на вытекает следующий ряд:
  6. ,

сходящийся при , а именно, при . Полученный ряд почленно интегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4, разд. 4.3); при этом интервал сходимости сохранится, обозначим :

  • .
  • Сумма полученного ряда
  • .

Таким образом, , т.е. разложение (7)

имеет место при . Исследуя разложение (7) в точках и , получаем два условно сходящихся числовых ряда и соответственно. Таким образом, область сходимости ряда (7) является отрезком , а радиус сходимости R равен 1.

  1. · Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
  2. (8)
  3. Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при и при замене на получаем разложение в степенной ряд:
  4. .

Получившийся ряд сходится при . Этот ряд почленно проинтегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4, разд. 4.3); при этом интервал сходимости сохранится:

  • .
  • Сумма полученного ряда . Таким образом,
  • ,

т.е. имеет место разложение (8) на интервале сходимости .

  1. В заключение добавим, что все перечисленные в разделе 5.2 разложения называют основными разложениями элементарных функций в
  2. степенной ряд, которые используются как эталонные для разложения
  3. других функций.

Источник: https://megaobuchalka.ru/2/36544.html

7.8. Степенные ряды. Ряды Маклорена и Тейлора

Начнем с того, что найдем область сходимости степенного ряда (2.5). Для этого проанализируем положительный числовой ряд, составленный из его модулей:

Читайте также:  Количество теплоты. теплоёмкость тела - справочник студента

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента

Применим к нему признак Даламбера. Для этого найдем Q(см. (1.26)):

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента

  • Введем обозначение
  • Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента , откуда Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента (3.3)
  • Тогда выражение для QПримет вид:
  • (3.4)
  • Согласно признака Даламбера:

1) Если Q1, то есть |X|>R или, что одно и то же, если X > R или X < –R, то ряд (3.1) расходится. Заметим, что при этом и ряд (2.5) тоже не будет сходиться, ибо условие Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента для любого положительного ряда означает, что начиная с некоторого номера N, то есть при N >N, отношение становится больше 1 и остается таковым для любых N >N. А это значит, что для N >N будет . То есть начиная с номера N члены положительного ряда растут, а значит, заведомо не стремятся к нулю. Получается нарушенным необходимое условие сходимости ряда Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента, а заодно – и степенного ряда , ибо слагаемые первого из них – просто модули последнего. То есть действительно при X > R и X < –R ряд (2.5) будет расходиться.

3) Наконец, если Q = 1, то есть если X = ±R, то о сходимости – расходимости и ряда (3.1), и ряда (2.5) ничего сказать нельзя. Этот случай нужно исследовать особо.

Итак, Выводы:

Степенной ряд (2.5) сходится при –R < X < R; расходится при X > R и X < – R; при X = ±R он может как сходиться, так и расходиться (рис. 7.2).

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студентаВеличина R, определяемая по формуле (3.3), называется Радиусом сходимости степенного ряда (2.5). А интервал (R; R) называется Интервалом сходимости этого степенного ряда. Областью сходимости DСтепенного ряда (2.5), таким образом, является его интервал сходимости (R; R) и, возможно, его концы.

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Данный ряд – это ряд вида (2.5) при . Определим, используя формулу (3.3), его радиус сходимости R:

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента

Итак, данный степенной ряд сходится при X є (- 2; 2) и, возможно, еще в точках x = ± 2. Для всех остальных X он расходится.

Исследуем ряд при X= ± 2.

1) Если X = 2, то наш ряд примет вид:

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента

Это – гармонический ряд (1.17) без первых двух своих членов. А значит, он расходится.

  1. 2) Если X= — 2, то получим:
  2. Это – знакочередующийся ряд, сходящийся по признаку Лейбница.
  3. Таким образом, областью сходимости D степенного ряда является полуинтервал [- 2; 2).

Степенные ряды (2.5) обладают замечательным свойством: внутри их интервалов сходимости (- R; R) их можно почленно дифференцировать и интегрировать. Это значит, что если

  • , (- R< x

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/konspekt-lektcii-po-vysshei-matematike-komogortcev-v-f/7-8-stepennye-riady-riady-maklorena-i-teilora

Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0

Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=0:

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента

При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

  • Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:
  • 1)Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента , где f(x) — функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. Rn — остаточный член в ряде Маклорена (=Макларена) (Тейлора при а=0)определяется выражением Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента
  • 2)Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента
  • k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента

  1. Ряды Маклорена являются частным случаем рядов Тейлора.
  2. Условия применния рядов Маклорена (=Макларена).
  3. 1) Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Маклорена (=Макларена) на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена (=Макларена) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).
  4. 2) Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке а=0, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Маклорена (=Макларена).
  5. Численное интегрирование с использованием рядов Маклорена (=Макларена).

Значения многих интегралов нельзя найти с помощью каких-либо аналитических методов. Мы уже рассказывали о вычислении таких интегралов с помощью формулы трапеций, формулы Симпсона. Другой метод нахождения числового значения определенного интеграла — выражение функции в виде ряда Маклорена (=Макларена) с последующим поочередным интегрированием каждого члена.

Источник: https://tehtab.ru/Guide/GuideMathematics/SeriesOfTaylorMaklorenFourier/SeriesOfMacloren/

Решение пределов, используя ряд Тейлора

Ряды Тейлора и Маклорена - Справочник студента

Изложен метод решения пределов, используя разложение функций в ряд Тейлора. Приводятся применяемые в этом методе свойства о малого и разложения элементарных функций в ряд Маклорена. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞ – ∞, один в степени бесконечность и 0/0.

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов. 1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x, стремящейся к нулю.

Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной. 2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0. При этом выполняем разложение до такой степени xn, которая необходима для устранения неопределенности.

Остальные члены включаем в o(xn).

Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.

Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n, до которого мы будем проводить разложение.

Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .

В) В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при . Например, . Здесь при . Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .

Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.

Применяемые свойства о малого

Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).

Далее m и n – натуральные числа, . ; ; , если ; ; ; ; , где ; , где c ≠ 0 – постоянная; .

Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию: , где .

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.

; ; , где ; ; ; , где – числа Бернулли: ,   ; ; ; ; ; ; ; ; , ; ; .

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора. ⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора. .

Решение

Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0. Для этого выполняем преобразования. .

Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число.

Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .

. Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:

.

Оставляем только линейный член.

.

. Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .

Ответ

Пример 2

Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.

Решение

Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем. .

Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда .

Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора: . .

Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем: .

Ответ

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора. .

Решение

Это неопределенность вида 0/0. Используем следующие разложения функций в окрестности точки : ; ; .

Раскладываем с точностью до квадратичных членов: ; . Делим числитель и знаменатель на и находим предел: .

Ответ

Пример 4

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора. .

Решение

Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0. Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑: (П4.1)   . В разложении экспоненты, заменим x на –x: (П4.

2)   . Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t: (П4.

3)   .

Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование: . Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).

Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x: . То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x: , и линейные . Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в . ; ; .

Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем: . Подставляем в предел: . Мы снова получили неопределенность вида 0/0.

Значит разложения до степени не достаточно.

Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность: .

Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в . ; ; ; . Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на : .

Подставляем в исходную функцию. . Находим предел.

  • .
  • Ответ
  • .

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора. .

Решение

Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.

Начнем со знаменателя. Используем свойства о малого ⇑ и разложения синуса и тангенса ⇑. ; ; .

Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование. . Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .

Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑. ; ; ; ; ; ; Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Раскладываем первый логарифм. ; ; ; .

Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при . , где .

Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до . Применим разложение синуса ⇑: . Заменим x на : . Тогда ; ; Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Раскладываем с точностью до и учитываем, что . ; .

Находим разложение числителя. ; ; .

Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел. ; .

Ответ

Использованная литература: Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/reshenie-predelov/ryad-tejlora/

Ряд Маклорена

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений

Понятие суммы степенного ряда

Любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд  сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу: 

На уроке мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился: . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при . Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда  в его области сходимости  является некоторая функция :

  • Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области , вне этого промежутка степенной ряд  будет расходиться.
  • Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:
  • Область сходимости ряда: 
  • (По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).
  • Теперь вспоминаем школьный график синуса :

Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….

Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена , то получится… та же самая синусоида! То есть, наш степенной ряд  сходится к функции . Используя признак Даламбера , легко проверить, что ряд  сходится при любом «икс»:  (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).

А что значит вообще «сходится»?  По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если я возьму первые три члена ряда  и начерчу график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду.

А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда:  и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать (на достаточно длинном промежутке). Чем больше членов ряда – тем лучше приближение.

И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд  сходится к функции  при любом значении «икс».

Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса: Область сходимости ряда: 

Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена   совпадает с графиком арктангенса  только на отрезке  (т.е. в области сходимости ряда):

  1. Вне отрезка  разложение арктангенса в ряд  расходится, а график бесконечного многочлена пускается во все тяжкие и уходит на бесконечность.
  2. Исходя из вышесказанного, можно сформулировать две взаимно обратные задачи:
  3. – найти сумму ряда (функцию) по известному разложению; – разложить функцию в ряд (если это возможно) и найти область сходимости ряда.

Что проще? Конечно же, разложение – с него и начнём.

Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды. Сначала пара формул, затем практические задания.

Если функция  в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:

Примечания: надстрочный индекс  в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка. Вместо буквы «а» в литературе часто можно встретить букву .

Данная формула носит фамилию англичанина Тейлора (ударение на первый слог).

Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену (ударение на второй слог). Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора  по степеням .

  • Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции: Как оно получилось? По формуле Маклорена:

Рассмотрим функцию , тогда:

Теперь начинаем находить производные в точке ноль: первую производную, вторую производную, третью производную и т.д.  Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:

  1. И так далее….
  2. Совершенно очевидно, что 
  3. Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!
  4. Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).
  5. Примеры разложения функций в ряд Маклорена

В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.

Пример 1

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

  • ! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням  
  • Решение незамысловато, главное, быть внимательным.
  • Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:
  • .
  • В данном случае :
  • Раскрываем наверху скобки:
  • Теперь умножаем обе части на «икс»:
  • В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синусакосинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении  (за исключением, конечно, тех случаев, когда, например,  – см. комментарии к табличным разложениям). Домножение  на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда: 

Пример 2

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Это пример для самостоятельного решения.

Я не стал рассматривать простейшие разложения вроде ,  или , поскольку это фактически задача в одно действие. В нужные табличные разложения вместо «альфы» необходимо подставить , ,  и немного причесать полученные ряды. Единственное предостережение – не теряйте по невнимательности степени и знаки.

А сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.

Пример 3

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

  1. В таблице находим похожее разложение:
  2. Трюк прост – перепишем нашу функцию немного по-другому:
  3. Таким образом,  и: Окончательно:

Теперь нужно определить область сходимости. Согласно таблице, ряд сходится при .  В данном случае :

Знак «минус» испаряется, кроме того, квадрат и так неотрицателен, поэтому надобность вмодуле отпадает:

Как исследовать ряд на концах найденного интервала? В данном случае… никак! Значения ,  не входят в область определения функции  и равенство  теряет смысл. А даже если их и подставить в правую часть, то получатся расходящиеся числовые ряды.

Поэтому безо всяких исследований сразу записываем область сходимости ряда:

Но так бывает далеко не всегда:

Простейшее разложение из учебника  сходится ещё в одной точке: . Здесь значение  тоже вне игры, а вот при  сумма получившегося знакочередующегося ряда  в точности равна .

  • Интересно отметить, что разложение в ряд такого логарифма:
  •  – сходится уже на обоих концах интервала:  (при подстановках ,  получается тот же самый сходящийся ряд )
  • Таким образом, с логарифмами нужно работать осмотрительно!

УДАЧИ!!!

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/ryad_maklorena_120006.html

Ряды Тейлора и Маклорена

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Перейти к загрузке файла

Пусть, например, функция f(x) представима в виде ряда . (1) Следовательно, необходимо определить коэффициенты а0,а1,а2,…; причем интервал сходимости не сводится к точке, то есть R>0. Учтем то, что степенной ряд (1) в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз и все полученные таким образом ряды тоже будут сходиться, а их суммы равны соответствующим производным. Продифференцируем последовательно ряд (3.1): f/(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … f//(x) = 2a2 + 23a3x + 34a4x2 + … f///(x) = 23a3 + 234a4x + 345a5x2 + …

fIV(x) = 234a4 + 2345a5x + …

Положим теперь в этих равенствах и в (1) х = 0; тогда получим, что

f(0) = a0; f/(0) = a1; f//(0) = 2a2; f///(0) = 23a3; fIV(0) = 234a4; …

То есть а0 = f(0); ; ; ; ; …

  • Подставляя эти значения в (1), получим ряд Маклорена:
  • . (2)
  • Разложение в ряд Маклорена некоторых функций:
  • 1. f(x) = ex
  • Так как f(к)(x) = ex для любого к. Полагая х = 0 , получим f(к)(0) = e0 = 1
  • Тогда ряд Маклорена имеет вид
  • Исследуем ряд на сходимость.
  • ,
  • следовательно, применяя признак Даламбера,
  • .
  • ,
  • следовательно, ряд сходится для каждого х, принадлежащего .
  • 2. f(x) = Sinx

f/(x) = Cosx; f//(x) = -Sinx; f///(x) = -Cosx…

  1. При х = 0 имеем
  2. f(0) = 0; f/(0) = 1;
  3. f//(0) = 0; f///(0) = -1.
  4. Отсюда

3. f(x) = Cosx (аналогично). Получим

Пример. Разложить в ряд функцию

Решение.

Т.к. ,

  • то заменяя х на , получим
  • , ,
  • и наконец
  • Область сходимости ряда

В некоторых случаях функция f(x) или ее производная неопределенны при х = 0: так, например, ведут себя функции f(x) = ln(x), , для которых или . Следовательно, такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена. Тогда нужно воспользоваться более общими степенными рядами.

Рассмотрим разложение в степенной ряд функции f(x) по степеням (х-а), где а0 и его можно подобрать соответствующим образом так, чтобы

f(x) = А0 + А1(х — а) + А2(х — а)2 +… (3)

Пусть х — а = z. Тогда разложение (3) примет вид

F(z) = f(z + a) = А0 + А1z + А2z2 +.. (4), где .

Но это уже ряд Маклорена.

Так как

F(n)(z) = f(n)(z + a), (n = 1,2,…).

Таким образом, имеем

A0 = F(0) = f(a), , …,

,…

  1. Подставив эти выражения в (4), получим ряд Тейлора
  2. . (5)
  3. Если а = 0, получим ряд Маклорена.
  4. Если в (5) взять конечное число членов, то вместо ряда Тейлора получим многочлен Тейлора
  5. . (6)
  6. То есть если (5) сходится в некоторой окрестности точки а (Ua), то его сумма равна f(x), a Pn(x) дает приближенное представление f(x) в Ua.

Пример. Разложить многочлен f(x) = x4 + 2×2 — 6 по возрастающим степеням (х — 2).

  • f/(x) = 4×3 + 4x;
  • f//(x) = 12×2 + 4;
  • f///(x) = 24x;
  • f(IV)(x) = 24;
  • f(V)(x) = 0;
  • f(n)(x) = 0 (n > 4).
  • При х = 2 получим коэффициенты разложения:
  • f(2) = 16 + 8 — 6 = 18; f/(2) = 40; f//(2) = 12; f///(2) = 48; f(IV)(2) = 24.
  • Таким образом, имеем следующее разложение
  • ,
  • или окончательно
  • f(x) = 18 + 40(x-2) + 6(x-2)2 + 8(x-2)3 + (x-2)4.

Функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Частные производные функций многих переменных и дифференциал.

Определение. Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (хх, х2,…, хп) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменныхz = f(хх, х2,…, хп).

Переменные хх, х2,…, хп называются независимыми переменными или аргументами, z — зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Функцию двух переменных обозначают z = f(x, у). Тогда ее область определения X есть подмножество координатной плоскости Оху.

Окрестностью точки называется круг, содержащий точку (см. рис. 1).

  1. Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.
  2. При изучении функций нескольких переменных используется математический аппарат: любой функции z = f(x, у) можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х = х0 функцию z = и при фиксированном значении у = у0 функцию z = f(x, у0).
  3. Графиком функции двух переменных z = называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z = .

Для построения графика функции z = f(x, у) полезно рассматривать функции одной переменной z = f(x, у0) и z = , представляющие сечения графика z = f(x, у) плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, т.е. плоскостями у = у0 и х = х0.

Пример 1. Построить график функции

Решение. Сечения поверхности = плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oyz и Oxz, представляют параболы (например, при х = 0 , при у = 1 и т.д.). В сечении поверхности кординатной плоскостью Оху, т.е. плоскостью z = 0, получается окружность График функции представляет поверхность, называемую параболоидом (см. рис. 2)

Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.

На рис.3 изображены линии уровня, соответствующие значениям С = 1 и С = 2. Как видно, линия уровня состоит из двух непересекающихся кривых. Линия — самопересекающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры.

Пример 2. Построить линии уровня функции

Решение. Линия уровня z = C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х2 + у2 — 2у = С или х2 + (у — I)2 = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом (рис. 4).

Точка (0; 1) — это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции z = -1 и достигающемуся в точке (0; 1).

Линии уровня — концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом z = C, причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра.

Линии уровня позволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.

Источник: https://studwood.ru/1760283/matematika_himiya_fizika/ryady_teylora_maklorena

Теория рядов. 3. степенные ряды 3.5. ряды тейлора и маклорена. формула тейлора: остаточный член в форме лагранжа. где. — презентация

1 ТЕОРИЯ РЯДОВ

2 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

3 3.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора: остаточный член в форме Лагранжа. где

4 Если функция f(x)- бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х 0 (имеет производные любых порядков) и остаточный член R n (x) 0 при n, то ряд называется рядом Тейлора (разложение f(x) по степеням x x 0 )

5 Если x 0 =0, то получим разложение f(x) по степеням х ряд Маклорена : Т.е. ряд Тейлора (Маклорена) представляет данную функцию f(x) тогда и только тогда, когда

6 Если же, то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции) или даже оказаться расходящимся. Т.о.

вопрос о разложении функции в ряд Тейлора (Маклорена) сводится к исследованию поведения остаточного члена R n (x) при n.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора (Маклорена):

7 Теорема (*). Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки x 0 одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) функции f(x) сходится к функции f(x), т.е. имеет место разложение

8 3.6. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно: 1) найти производные 2) вычислить значения производных в точке х=0; 3) написать ряд Маклорена для заданной функции и найти его интервал сходимости;

9 4) найти интервал ( R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена R n (x) 0 при n. Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

  • 10 Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых функций.
  • 11
  • 12
  • 13 Пример 1 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  • 14 Решение 1) Найдем производные: 2) Найдем значения производных в точке х=0:

15 3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости: т.е. ряд сходится в интервале ( ;+ )

16 4) Для всех имеем: т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом Следовательно, по теореме (*) Таким образом

  1. 17 Пример 2 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  2. 18 Решение 1) Найдем производные:
  3. 19 2) Найдем значения производных в точке х=0:

20 3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости: Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е при всех (используем признак Даламбера, т.к. ряд неполный)

21 4) Для всех имеем: т.е. любая производная функции по модулю не превосходит единицы. Следовательно, по теореме (*) Таким образом имеет место разложение

22 Метод разложения функций в степенной ряд может быть применен к произвольной функции. Однако в отдельных случаях вычисления и обоснование сходимости могут оказаться очень громоздкими. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования (сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование) над имеющимися разложениями.

  • 23 Пример 3 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  • 24 Можно получить разложение cosx, воспользовавшись свойствами степенных рядов: Продифференцируем почленно ряд: Решение
  • 25 Получим ряд, который будет сходиться при том же условии: или
  • 26 Пример 4 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  • 27 Формула может быть доказана разными способами. Воспользуемся следующим разложением: Разложим в степенной ряд функцию: Решение
  • 28 Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке или (Можно показать, что это равенство справедливо и для х=1)
  • 29 Пример 5 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  • 30 Воспользуемся следующим разложением: (см. пример 4) Решение Заменим х на х 2 :

31 Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке или (Можно показать, что это равенство справедливо и для х= 1, т.е. при )

32 Пример 6 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

33 Воспользуемся следующим разложением: Разложим в степенной ряд функцию, заменив х на х 2 : Решение

34 Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке или (Можно показать, что это равенство справедливо и для х= 1, т.е. при )

  1. 35 Пример 7 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  2. 36 Воспользуемся следующим разложением: Вместо х подставим х 2 : Решение
  3. 37 Пример 8 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  4. 38 Воспользуемся следующим разложением: Решение Имеем Вместо х подставим 2х:
  5. 39 Таким образом:
  6. 40 Пример 9 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  7. 41 Воспользуемся следующим разложением: Решение Имеем Вместо х подставим х:

42 Получаем: Т.о. Очевидно, что ряд сходится в интервале

  • 43 Пример 10 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  • 44 Воспользуемся следующим разложением: Решение Имеем Вместо х подставим х ln3:
  • 45 Пример 11 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию
  • 46 Воспользуемся следующим разложением: Разложим в степенной ряд функцию: Решение
  • 47 Таким образом:
  • 48 который приводится к виду В ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида: заменой хх 0 =t

Источник: http://www.myshared.ru/slide/532153

Ссылка на основную публикацию