Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом — справочник студента

Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Кодирование информации - справочник студента

Оценим за полчаса!

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

Тогда

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Функции и их графики - справочник студента

Оценим за полчаса!

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.

  • Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
  • Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

  1. Матрица коэффициентов при неизвестных:
  2. Матрица неизвестных:
  3. Матрица свободных членов:
  4. Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

Итак, получили решение:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

Сделаем проверку:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

  • Матрица коэффициентов при неизвестных:
  • Матрица неизвестных:
  • Матрица свободных членов:
  • Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:
  • .
  • Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
  • Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
  • .
  • Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
  • Итак, получили решение:
  • .
  • Сделаем проверку:
  • Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы) Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/systems_matrix_method.html

Матричный метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента (1)

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

где

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента (3)

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т.е. определитель матрицы A не равен нулю.

  • Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A−1. Тогда
  • Учитывая определение обратной матрицы, имеем A−1A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:
  • или, учитывая, что Ex=x:
  • Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.
  • Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:
Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента.

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

.

Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:

.

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

.

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

.

Ответ:

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

.

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :

.

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

,
,
,
,
,
,
,
,
.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:

где Aij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.

Используя формулу обратной матрицы, получим:

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

Ответ:

Источник: https://matworld.ru/calculator/matrix-method-online.php

Глава 4. Матрицы и дифференциальные уравнения

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом - Справочник студента

где – постоянный коэффициент; – непрерывная функция времени, определенная на некотором интервале . Решением уравнения является функция , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. При уравнение называется однородным и его общее решение выражается как , где – произвольная постоянная. Общее решение исходного неоднородного уравнения ( ) выражается формулой


.

Это решение представляет собой сумму общего решения однородного и частного решения неоднородного дифференциальных уравнений. Оно удовлетворяет начальному условию при , т. е.

  • .
  • Переходя к системам дифференциальных уравнений, рассмотрим их представление в нормальной форме:
  • ,
  • к которой, как известно, можно привести любую систему линейных дифференциальных уравнений. В матричной записи эта система представляется одним уравнением
  • ,
  • где – вектор (столбец) неизвестных функций ; – вектор (столбец) задающих функций и – квадратная матрица постоянных коэффициентов :
  • ; ; .

Задачу об отыскании решения системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным значениям скаляра и вектора , называют задачей Коши. По аналогии с дифференциальным уравнением первого порядка можно записать искомое решение для вектора неизвестных функций в виде: .

Необходимо установить допустимость такого представления решения, а также выяснить смысл и способы определения входящей в него матрицы .

В матричной форме нормальная однородная система дифференциальных уравнений ( ) имеет вид: . Будем искать ее решение в виде где вектор (столбец) произвольных постоянных. Подставляя в исходное уравнение, получаем или после сокращения на скаляр и перенесения в левую часть равенства: .

Заметим, что сокращать на вектор нельзя, так как операция деления на вектор в общем случае не имеет смысла. Вынося за скобки вектор , необходимо умножить предварительно на единичную матрицу . Уравнение имеет нетривиальные решения при условии, что определитель матрицы обращается в нуль, т. е.

или

.

Так как порядок матрицы равен , то является многочленом -й степени относительно , т. е. . Корни уравнения (нули многочлена ), число которых равно , дадут значения при которых исходная система имеет нетривиальные решения.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда все корни уравнения простые (попарно различные). Тогда при имеем однородное уравнение , из которого можно определить вектор .Таким образом, решение нормальной системы дифференциальных уравнений, соответствующее корню , будет .

Всего получим таких решений, соответствующих корням .

Для любой квадратной матрицы по установившейся терминологии называется характеристической матрицей, а – характеристическим уравнением. Корни уравнения называются собственными значениями (характеристическими числами), а векторы собственными векторами матрицы . Совокупность собственных значений называется спектром матрицы .

  1. Множество всех решений однородной системы дифференциальных уравнений образует -мерное линейное пространство с базисом . Общее решение имеет следующий вид:
  2. .
  3. Это выражение может быть представлено в матричной форме
  4. .
  5. В свою очередь матрица выражается следующим образом
  6. .
  7. Здесь через обозначена матрица -го порядка, называемая модальной и состоящая из столбцов , а элементами диагональной матрицы являются экспоненциальные функции .
Читайте также:  Кодирование текстовой информации - справочник студента

Итак, решение нормальной однородной системы линейных дифференциальных уравнений представляется в виде .

При матрица равна единичной матрице, следовательно, начальное условие , откуда . Подставляя это значение в общее решение, получаем . Матрица -го порядка называется фундаментальной матрицей. Ее вычисление сводится к определению собственных значений и собственных векторов матрицы системы дифференциальных уравнений.

  • Рассмотрим в качестве примера однородную систему дифференциальных уравнений:
  • .
  • Для этой системы
  • ; .
  • Поскольку для вычисления необходимы алгебраические дополнения какой-либо строки матрицы , то определитель этой матрицы удобно получать разложением по элементам той же строки.
  • Алгебраические дополнения элементов первой строки:
  • ;
  • ;
  • .
  • Характеристический многочлен и собственные значения:
  • ;
  • ; ; .
  • Собственные векторы : ; ; .
  • Принимая (эти значения произвольны и выбираются по соображениям удобства), получаем модальную матрицу, а также обратную к ней:
  • ;
  • Фундаментальная матрица
  • ,
  • что после перемножения матриц приводит к следующему результату
  • .
  • Таким образом, в соответствии с соотношением общее решение рассматриваемой однородной системы дифференциальных уравнений:
  • ,
  • где элементы вектора , равные начальным значениям соответствующих переменных при .
  • Выясним характер фундаментальной матрицы . Подставляя решение в однородное дифференциальное уравнение , получаем тождества:
  • ; .

Так как в этих тождествах – вектор начальных значений не зависящий от времени, то , т. е. – это такая матрица, производная которой по времени равна произведению матрицы на саму матрицу. Аналогичными свойствами обладает единственная скалярная функция , поэтому по аналогии можно записать следующие соотношения:

  1. .
  2. Через экспоненциальную функцию выражаются также другие функции от матриц:
  3. Следует иметь в виду, что , а соотношение имеет смысл только в случаях, когда и – перестановочные матрицы.
  4. Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений может быть записано в матричной форме , где – векторная функция времени, подлежащая определению. Подставляя выражение для и ее производной в исходное уравнение, имеем:
  5. или после очевидных упрощений
  6. .
  7. При начальных условиях начальное значение искомой функции . Интегрированием получаем
  8. .
  9. Используя это выражение, находим решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальному условию :
  10. ,

которое называется формулой Коши. Его можно рассматривать как сумму решения соответствующего однородного уравнения (при ) и решения неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях ( ).

  • Пусть дана неоднородная система дифференциальных уравнений в нормальной форме:
  • .
  • Для этой системы:
  • ; ; ;
  • ;
  • .
  • Полагая для удобства , находим модальную матрицу и обратную к ней матрицу :
  • ,
  • после чего определяется фундаментальная матрица:
  • .
  • Решение задачи Коши для однородной системы:
  • .
  • Найдем интеграл в выражении для частного решения неоднородной системы при :
  • Частное решение неоднородной системы:
  • .
  • Таким образом, решение неоднородной системы, удовлетворяющей начальным условиям , запишется следующим образом:
  • .
  • Контрольные вопросы к лекции 12

12-1. Как записывается система уравнений в матричном виде?

12-2. Как решается матричное уравнение ?

12-3. Что представляет собой определитель матрицы?

12-4. Как вычисляется определитель второго порядка?

12-5. Как вычисляется определитель третьего порядка?

12-6. В чем состоит свойство антисимметрии определителя?

12-7. В каком случае определитель равен нулю?

12-8. Как изменяется определитель матрицы -го порядка при умножении ее на скаляр?

12-9. Как вычисляется алгебраическое дополнение?

12-10. Как вычисляется обратная матрица?

12-11. Опишите алгоритм вычисления обратной матрицы методом исключения.

12-12. Какие матрицы называются особенными?

12-13. Для каких матриц существуют обратные матрицы?

12-14. Какая матрица называется инволютивной?

12-15. Что называется рангом матрицы?

12-16. Что называется дефектом матрицы?

12-17. Какая система уравнений называется совместной?

12-18. В чем состоит суть теоремы Кронекера – Капелли?

12-19. Какая система уравнений называется неопределенной?

12-20. Опишите алгоритм Гаусса для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?

12-21. Опишите алгоритм Гаусса – Жордана для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?

12-22. Какая система уравнений называется однородной?

12-23. Как определяется характеристическая матрица для квадратной матрицы ?

12-24. Как определяется характеристическое уравнение?

12-25. Что называется характеристическими числами квадратной матрицы ?

12-26. Что называется спектром квадратной матрицы ?

12-27. Какая матрица называется модальной?

12-28. Какая матрица называется фундаментальной?

12-29. Что представляет собой решение неоднородного дифференциального уравнения в форме Коши?

Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 5982;

Источник: https://poznayka.org/s59823t1.html

Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей (стр. 1 из 3)

  • Содержание
  • 1. Введение
  • 2. Постановка задачи

3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР

6. Построение общего решения матричным методом

7. Задача Коши для матричного метода

8. Решение неоднородной системы

Графики

Заключение

1. Введение

Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

(1)

где коэффициенты аij, i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

  1. yi=yi(t), i=1,2,…,n — неизвестные функции переменной t.
  2. Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).
  3. Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор

через тогда систему (1) можем переписать в матричной форме (1а)

  • Если
  • Всякая совокупность n функций
  • определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

, то получаем соответствующую систему однородных уравнений . (2)

справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.

2. Постановка задачи

Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:

; ;

1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).

2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.

3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.

4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.

5. Решить задачу Коши.

  1. Начальные условия:
  2. Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]
  3. t = 0

Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:

(3)

Если в матрице системы

все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю:

(4)

Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.

Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY

  • Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор l. Получим:
  • Получилось два действительно корня
  • Матрицу y(x), столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.
  • И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:
  • Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.

и два комплексно-сопряженных корня . Следовательно, вектора, образующие фундаментальную матрицу, для данного типа корней будут находиться отдельно для и отдельно для . Запишем ФСР для данных для полученных характеристических чисел:

4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера

  1. Метод Эйлера заключается в следующем.
  2. Решение системы (1) находится в виде:
  3. Функция (5) является решением системы (1), если

(5) – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу .

Если собственные значения 1, 2, … , n матрицы А попарно различны и a1, a2, …, anсоответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой :

  • где С1, С2, … , Сn – произвольные числа.
  • Для случая кратных корней решение системы принимает вид

(6)

где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них.

Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.

  1. Если для кратного собственного значения
  2. Если для собственного значения
  3. Чтобы найти векторы
  4. Для данного задания были найдены следующие собственные значения:
  5. Построили фундаментальную систему решений:
  6. Найдем 1 строку фундаментальной матрицы решений для характеристического числа

матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы: кратности k имеется только m (m

Источник: https://mirznanii.com/a/313656/issledovanie-metodov-resheniya-sistemy-differentsialnykh-uravneniy-s-postoyannoy-matritsey

Ссылка на основную публикацию