Принцип паули, статистика ферми-дирака, полупроводники — справочник студента

Московский государственный технический университет им. Н.Э.
Баумана.

  • Калужский филиал
  • “Квантовая статистика”
  • СОДЕРЖАНИЕ
  • Квантовая
    статистика. 3
  • Принцип
    тождественности. 3
  • Принцип
    Паули на неё не распространяется. 5
  • Формулы
    Ричардсона и Ричардсона-Дэшмана. 11

Литература.. 15

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Квантовая статистика

Квантовая статистика исследует физические свойства систем
одинаковых микрочастиц, например, электронов, фотонов,  — частиц и т.д.

Поведение совокупности частиц одного сорта описывается
волновой функцией

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

q1,q2 —
обобщённые координаты.

Квантовая статистика систем одинаковых микрочастиц допускает
два класса функций: симметричные, сохраняющие свой знак при перестановке двух
частиц:

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

антисимметричные, меняющие знак при перестановке:

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

Эти два класса функций не могут переходить друг в друга.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Активное, емкостное и индуктивное сопротивление. закон ома для цепей переменного тока - справочник студента

Оценим за полчаса!

Принцип тождественности

Принцип тождественности: частицы одного и того же сорта не
могут иметь никаких различимых особенностей. Потому взаимная перестановка двух
одинаковых частиц не изменяет физического состояния системы.

В квантовой теории доказывается, что волновая функция  всегда
остаётся симметричной или антисим-метричной, т.е. какой она была в начальном
состоянии.

Принадлежность частиц к тому или иному классу зависит от
величины их собственного момента, иначе — спина.

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

Электроны, позитроны, протоны, нейтроны, атомы, ионы,
атомные ядра, состоящие из нечётного числа элементарных частиц, имеют полуцелый
спин. Все они описываются статистикой Ферми-Дирака.

Например: статистике Ферми-Дирака подчиняются

 Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

Например:

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

ядра дейтерия

имеют спин, равный целому числу постоянных Планка . Частицы света
(фотоны) имеют спин, равный нулю.

  1. В квантовой механике частицы неразличимы.
  2. Принцип Паули следует из свойств антисимметричных волновых
    функций в данном квантовом состоянии может находиться только одна микрочастица.
  3. Классические частицы подчиняются статистике Максвелла-Больцмана.
  4. Три статистики.
  5. Две квантовые и одна классическая статистика
  6. Максвелла-Больцмана.
  7. 4 состояния, частицы различимы, энергия может иметь как:
    дискретный, так и непрерывный спектр. Ей соответствует функция распределения
    Максвелла-Вольцмана

Принцип Паули на неё не распространяется

Статистика Бозе-Эйнштейна:

Частицы
неразделимы, целый спин. Принцип Паули не распространяется. Ей соответствует
функция распределения Бозе-Эйнштейна. Энергия дискретна.

Статистика
Ферми-Дирака:

Частицы неразличимы, полуцелый спин, принцип Паули: в одном
квантовом состоянии не может быть больше одной частицы. Каждое квантовое
состояние либо заполнено единственной микрочастицей, либо не заполнено. Энергия
дискретна. Ей соответствует функция Ферми-Дирака

Итак свойства твёрдых тел определяются свойством электронного
газа, т.е. статистикой Ферми-Дирака, которая изучает свойства систем, состоящих
из большого числа частиц. Важное значение имеет функция распределения частиц по
энергиям n(E). Через dn обозначают число частиц в
единице объёма, энергия которых заключена в бесконечно узком интервале энергии
от Е до E+dE.

  • dn=n(E) dE (1)
  • Функция n(E)
    позволяет рассчитать число частиц в единице объёма, энергия которых заключена в
    конечном интервале от E1 до E2.
  •  (2)

Если через n0 обозначить общее число
частиц в единице объёма безотносительно к значению их энергий, т.е.
концентрацию частиц, то из (2) вытекает следующее условие нормировки для
функции распределения:

  1.  (3)
  2. Различные частицы системы имеют различные значения энергии,
    причём функция n(E)
    характеризует распределение частиц по энергиям. Зная n(E), можно рассчитать среднее значение энергии частиц данной
    системы:
  3.  (4) или  (5)
  4. Зная функцию распределения частиц по энергиям, можно найти
    среднее значение любой физической величины А(Е), зависящей от энергии частицы,
    Например, скорость частицы
  5. Среднее значение А(Е) в системе частиц с известной функцией
    распределения n(E) определяется
    по формуле:
  6.  (6)
  7. В классической статистике Максвелла-Больцмана, которая
    применима к классическому газу, эта функция распределения зависит от значений
    абсолютной температуры газа Т и имеет вид:
  8.  (7)
  9. В квантовой статистике Ферми-Дирака, которая применима к
    системе квантовых частиц, имеющих полуцелый спин и подчиняется принципу запрета
    Паули (мелкие частицы, как электроны, протоны, нейтроны и др., называются
    фермионами), функция распределения имеет вид произведения двух функций:
  10.  (8)
  11. где  (9)
  12.  (10)
  13. m — масса частицы
  14. Функция g(E)
    характеризует число квантовых состояний в единице объёма в единичном интервале
    для свободных частиц и носит название плотности квантовых состояний. Из (9)
    следует, что плотность квантовых состояний для свободных частиц, подчиняющихся
    статистике Ферми-Дирака, растет с ростом энергии:
  15. g(E) ~

Функция f(E,T) называется функцией Ферми. Эта функция определяется
вероятностью того, что квантовые состояния с энергией Е заняты частицами при
заданной температуре Т. По её смыслу её не может быть больше единицы.

Читайте также:  Методика организации и проведения диспута - справочник студента

Параметр системы частиц EF, входящий в выражение для функции
Ферми, носит название энергии Ферми (энергию Ферми называют также химическим
потенциалом), а соответствующее значение по лекалу энергий называется энергией
Ферми.

Формально, исходя из (10), энергию Ферми можно определить
как энергию таких квантовых состоянии, вероятность заполнения которых частицами
равна 0,5. Действительно, из (10) следует, что f(EF,T) =0,5.

  • Энергия Ферми квантовой системы фермионов зависит от
  •  (11)
  • концентрации частиц n0 и от
    температуры Т, а значение энергии Ферми при абсолютном нуле температуры (здесь
    и далее абсолютный нуль температуры понимается как предел Т=>0, имеется в
    виду, что абсолютный нуль недостижим)  можно рассматривать по формуле
  • .
  • Обычно рассматриваются системы, у которых . Для таких систем cогласно (1) можно пренебречь зависимостью энергии Ферми от
    температуры и считать
  • Вид функции Ферми приведен на рисунке.

полностью заполненные частицами, а все квантовые состояния с
энергией  — пустые. Поэтому энергию
Ферми при абсолютном нуле  можно определить как максимальную
энергию частиц данной системы при T=00K.

За счет
нагрева системы часть частиц имевших при T=00K энергии
меньше уровня Ферми приобретают энергии несколько выше уровня Ферми. При этом
область частично заполненных квантовых состояний, т.е.

область, где, , имеет по
шкале энергий размер порядка 2КТ.

Системы, описываемые квантовой статистикой Ферми-Дирака,
называют вырожденными системами, в отличие от невырожденных систем классических
частиц, подчиняющихся статистике Максвелла-Больцмана.

При температурах выше некоторой температуры TB, которая называется температурой вырождения системы,
свойства системы фермионов изменяются так, что квантовая статистика
Ферми-Дирака при Т>TB переходит в классическую статистику
Максвелла-Вольцмана. При температуре выше температуры вырождения часть
фермионов можно рассматривать как невырожденный классический газ. Температура
вырождения системы зависит от ее энергии Ферми, т.е. от концентрации частиц n0, увеличиваясь с ростом n0.

  1. Например, температура вырождения в калии, ;
  2. .
  3. .
  4. .

Такие большие значения для температур вырождения
электронного газа (порядка десятков тысяч градусов) получаются практически для
всех металлов. Это говорит о том, что электронный газ в металле практически
всегда следует рассматривать как вырожденный газ. Классическое описание его
свойств с применением статики Максвелла-Больцмана невозможно.

Зная распределение dn(E) электронов в металле, можно
установить распределение dn(P) электронов, по импульсам. Определим частичный
случай распределения при Т=О.

  • ,
  • .
  • .
  • При T=0, f(E,0) =1.

Работа выхода электрона из металла. Термоэлектронная
эмиссия.

Формулы Ричардсона и Ричардсона-Дэшмана

Высокая электропроводимость металлов говорит о том, что
электроны способны сравнительно свободно перемещаться внутри всей
кристаллической решетки металла.

Затруднен их выход из металла, в вакуум, требующей затраты
некоторой энергии, называемой 'работой выхода'.

Это навело на мысль рассматривать металл в первом
приближении, просто как потенциальную яму, внутри которой (т.е. в металле)
потенциальная энергия электрона равна нулю U0=0, а вне
металла, т.е. в вакууме U>0. Эта упрощенная модель
позволила объяснить многие явления.

Работа выхода — энергия, которую нужно затрачивать, чтобы
энергия электрона стала больше высоты потенциального барьера в поверхностном
слое металла. И благодаря туннельному эффекту электрон может покинуть металл.

  1. По принципу Паули на каждом энергетическом уровне может
    находится max два электрона с противоположными спинами
    (два квантовых состояния).
  2. верхняя граница заполненных
    уровней при T=0 (уровень Ферми).
  3.  — максимальный импульс при Т=0.
  4. Для серебра
  5.  — плотность серебра.

A=107,9 — атомный вес (а. е. м).

  •  или
  • Работа выхода
  • Глубина потенциальной ямы , с квантовой точки зрения работа
    выхода равна разности высоты потенциального барьера и энергии Ферми
  • Работа выхода характеризует минимальную энергию, которую
    надо сообщить свободному электрону, находящемуся на уровне Ферми, чтобы он мог
    преодолеть потенциальный барьер на поверхности твердого тела и выйти за пределы
    металла,

При комнатной температуре число электронов, энергия которых
достаточна для преодоления этого барьера, очень невелика. Однако их число резко
возрастает с повышением температуры.

  1. Явление испускания электронов нагретыми телами, называется
    термоэлектронной эмиссией.
  2. Расчет плотности тока термоэлектронной эмиссии при некоторой
    температуре Т для металла с работой выхода А. определяется формулой Ричардсона
    — Дэшмана:
  3. , где
  4. C=Const=
  5. Экспоненциальный множитель

для A>>KT
определяет вероятность того, что электрон в металле при температуре Т имеет
энергию Uo, достаточную, чтобы покинуть металл,
преодолев потенциальный барьер вблизи поверхности металла. Все эти выводы
получены с точки зрения квантовой статистики Ферми-Дирака для электронного
газа, т.е. для частиц, имеющих полуцелый спин и подчиняющихся принципу Паули.

Дэшман получил формулу исходя из квантовых представлений в
1923г. а Ричардсон вывел в 1901г исходя из классических представлений.

  • Так эмиссия определяется
  • Изменение тока связанно с изменением температуры

Литература

1.     
Шпольский Э.В. «Атомные физика». т. I-II М. Наука, 1984 г.

2.     
Блохинцев Д.И. «Основы Квантовой механики» М. Наука, 1983 г.

3.     
Гольдин Л.Л., Новикова Г.И. «Введение в квантовую физику».М.
Наука, 1988 г.

4.     
Матвеев А.Н. «Атомная физика» М. Высшая школа 1989 г.

5.     
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Квантовая механика» М. Наука 1974 г.

6.     
Соколов А.А., Тернов Н.М., Жуковский В.Ч. «Квантовая механика»
М. Наука 1979 г.

7.     
Фок В.А. «Начала квантовой механики» М Наука 1976 г.

8.     
Горяга Г.И. «Конспект лекций по атомной физике».М. Наука, 1985
г.

9.     
Киттель Ч. «Введение в физику твердого тела» (перевод с
американского издания) М. Наука, 1978 г.

10.   
Бонч-Брусевич В.Л. «Физика полупроводников» М. Наука 1977 г.

11.   
Шиллинг Г. «Статистическая физика в примерах».М. МИР 1976 г.

12.   
Киреев П.С. «Физика полупроводников» М. Высшая школа, 1975 г.

Общая и неорганическая химия
Квантово-механическая модель атома. Квантовые числа. Атомные орбитали. Порядок заполнения орбиталей электронами Теория строения атома основана на …
Главное квантовое число характеризует удалённость электрона от ядра и определяет его энергию (чем больше , тем больше энергия электрона и тем меньше энергия связи с ядром …
В атоме не могут одновременно находиться два электрона с одинаковым набором четырех квантовых квантовых чисел (заполнение электронами орбиталей происходит следующим образом …
Раздел: Рефераты по химии Тип: учебное пособие
Основы химии
Глава 1. Общие химические и экологические закономерности. С чего начинается химия? Cложный ли это вопрос? На него каждый ответит по-своему. В середней …
По соответствующему постулату на орбитале может быть два электрона, но они должны иметь разные спины, т.е. разные значения ms: +1/2 и -1/2. В связи с этим на четвертой вертикальной …
Кроме энергии электростатического взаимодействия Еэ, энергия связи (Есв) включает в себя энергию сродства к электрону (Еср) неметалла и энергию ионизации атома металла (I). Расчет …
Раздел: Рефераты по химии Тип: реферат
Концепции современного естествознания
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ставропольский государственный университет Концепции современного естествознания Справочник …
На основе квантово-релятивистской теории Поль Дирак предположил, что существует частица, сходная с электроном, но противоположная по заряду, и предвосхитил открытие позитрона.
Исходя из значения спина, элементарные частицы делятся на две группы: с полуцелым спином — фермионы (электрон, протон, нейтрон; поля фермионов остаются квантованными и обеспечивают …
Раздел: Рефераты по биологии Тип: книга
Кристаллы в природе
Содержание ВВЕДЕНИЕ 3 Тепловые и механические свойства твёрдых тел I. Симметрия кристаллов 1.1 Как растут кристаллы 5 1.2 Идеальная форма кристаллов 7 …
В 1916 году американские физики Толмен и Стюарт, применив чувствительный гальванометр вместо телефона, показали, что частицы, образующие инерционный ток при торможении катушки …
Квантовая энергия электронов в атоме
Раздел: Рефераты по физике Тип: реферат
Механизмы имплантации в металлы и сплавы ионов азота с энергией 1-10 …
МЕХАНИЗМЫ ИМПЛАНТАЦИИ В МЕТАЛЛЫ И СПЛАВЫ ИОНОВ АЗОТА С ЭНЕРГИЕЙ 1-10 кэВ ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. Сравнительный анализ методов поверхностного …
В высокоэнергетической области (энергия ионов 10-13 Дж и выше) при энергиях ионов выше точки E3 заключён диапазон энергий, в котором применима квантовая теория торможения быстрых …
где Eэнергия иона до столкновения; параметр Дж, определяет максимально возможную энергию, передаваемую при лобовом столкновении (когда частицы сближаются и удаляются по одной …
Раздел: Промышленность, производство Тип: дипломная работа

Источник: http://5rik.ru/better/article-117008.php

Статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Одним из важнейших объектов изучения, как и классической физики, является идеальный газ, поскольку реальную систему можно считать идеальным газом в достаточно хорошем приближении.

Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью Ni чисел заполнения, характеризующих степень заполнения квантового состояния, характеризуемого данным набором i квантовых чисел, частицами системы, состоящей из множества тождественных частиц.

При рассмотрении принципа Паули, мы уже говорили о принципе неразличимости тождественных частиц. Рассмотрим случай двух тождественных частиц с точки зрения уравнения Шредингера. Из самого понятия тождественности следует, что волновая функция должна удовлетворять одному и тому же уравнению Шредингера при перемене частиц местами (при этом не изменяется также и собственное значение энергии):

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

Гамильтониан энергии представляет собой эрмитову матрицу. Напомним, что квадратную — матрицу называют эрмитовой или самосопряженной, если каждый из ее элементов комплексно сопряжен элементу, симметричному данному относительно главной диагонали; иначе говоря, матрица А эрмитова, если:

Отсюда вытекает свойство самосопряженности эрмитовой матрицы: эрмитова матрица тождественно равна своей эрмитово сопряженной, и наоборот. Например, все следующие матрицы:

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

являются эрмитовыми (самосопряженными). Ввиду эрмитовости гамильтониана в случае отсутствия вырождения по энергии (при данном Е) можно заключить, что:

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

однако

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента

Отсюда следует, что

Имеем две возможности:

, тогда Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники - Справочник студента — симметричная волновая функция

Когда собственное значение Е вырождено, равенство (2.33) может и не выполняться. В этом случае, однако, вместо базисных функций можно взять их линейные комбинации:

  • либо — симметричная (по координатам тождественных частиц) комбинация;
  • либо — антисимметричная (по координатам тождественных частиц) комбинация.
  • Общими выводами из проведенных рассуждений является:

· волновую функцию системы, состоящей из двух тождественных частиц, всегда можно выбрать симметричной либо антисимметричной относительно операции перестановки этих частиц.

· если волновая функция в начальный момент времени является симметричной (антисимметричной), то в любой другой момент времени эта функция сохраняет свои свойства симметрии.

Как мы уже говорили, Паули показал, что частицы, описываемые антисимметричными волновыми функциями, имею полуцелый спин, частицы, описываемые симметричными волновыми функциями – целый (или нулевой) спин. Исключения из этого правила неизвестны.

  1. Опыт показывает, что симметрия или антисимметрия ПСИ-функции определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса:
  2. · частицы с дробным спином (электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями являются фермионами.
  3. · частицы с нулевым или целым спином описываются симметричными волновыми функциями — бозоны.

Для систем частиц, образованных бозонами, числа заполнения могут принимать любые целые значения: Для системы частиц, образованных фермионами, числа заполнения могут принимать лишь два значения: «0» — для свободных состояний и «1» — для занятых.

Это не что иное, как принцип Паули в новом выражении — . Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т.е.

Читайте также:  Энтропия идеального газа - справочник студента

определить средние числа заполнения — .

Идеальный газ из бозонов (бозе-газ) описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает избольшого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов данном квантовом состоянии может быть любым:

Это- распределение Бозе-Эйнштейна. -среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei ; k — постоянная Больцмана, Т — температура, m — химический потенциал (определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия, фиксированы).

  • Идеальный газ из фермионов (ферми – газ) описывается статистикой Ферми-Дирака:
  • Если , то распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана :

т.о., при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу. Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Параметром вырождения называется величина А, при А

Источник: https://megaobuchalka.ru/3/19857.html

статистика Ферми-Дирака — Физика

В случае квантовой статистики необходимо учитывать ряд положений и следствий квантовой физики. В классической физике для материальных точек нет никаких формальных ограничений на минимальный объем фазовой ячейки. Для квантового движения материальной точки справедливо соотношение неопределенностей Гейзенберга, которое определяет минимальный объем фазовой ячейки

Здесь фазовое пространство образовано координатами частицы (x,y,z) и проекциями ее импульса на координатные оси, h – постоянная Планка.

Частицы считаются тождественными и неразличимыми, поэтому перестановки частиц как внутри отдельной ячейки, так и между различными ячейками дают одно и то же микросостояние и не влияют на величину статистического веса макросостояния. Кроме того, согласно уравнению Шредингера энергия финитного движения частиц квантуется, что необходимо учитывать при подсчете числа возможных микросостояний.

Число частиц, которые одновременно могут находиться в одном квантовом состоянии, зависит от спина частиц. Причем в трехмерном пространстве возможны только два типа квантовой статистики.

Частицы с полуцелым спином подчиняются статистике Ферми-Дирака, а частицы с целочисленным спином – статистике Бозе – Эйнштейна.

Частицы с полуцелым спином называются фермионами, а частицы с целым спином – бозонами.

Для фермионов справедлив принцип Паули, согласно которому в одном квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона. Пусть i-ой фазовой ячейке соответствует интервал энергий , на который приходится квантовых состояний. Статистический вес макросостояния системы фермионов записывается в виде

.                                 (10.7)

Здесь символ обозначает произведение всех сомножителей с где для всех i и .

Максимум статистического веса , определяющий наиболее вероятное распределение фермионов по квантовым состояниям, с учетом двух условий (10.4) достигается для

.                               (10.8)

Здесь – наиболее вероятное (среднее) число фермионов в квантовом состоянии с энергией .

Частицы с целым спином не подчиняются принципу Паули и поэтому в одном квантовом состоянии может находиться сколь угодно много бозонов. Статистический вес макросостояния системы бозонов принимает вид

Наиболее вероятное распределение бозонов по квантовым состояниям, соответствующее условному максимуму статистического веса , описывается формулой

.                       (10.10)

Здесь – наиболее вероятное (среднее) число бозонов в квантовом состоянии с энергией .

Выражения (10.8) и (10.10) называются соответственно распределениями Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

Если среднее число частиц в одном квантовом состоянии и , распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в распределение Больцмана (10.5) для классических частиц, что еще раз доказывает справедливость принципа соответствия.

Статистическое определение энтропии на основе термодинамической вероятности позволяет не только находить энтропию равновесных и неравновесных состояний, но и  интерпретировать переход замкнутой системы из начального неравновесного состояния в равновесное состояние с наибольшей энтропией как переход из менее вероятного макросостояния в наиболее вероятное макросостояние. Следовательно, закон возрастания энтропии для замкнутой системы в соответствии с определением (10.2) имеет статистический, а не динамический характер. Иными словами, при переходе в равновесное состояние энтропия системы флуктуирует и на отдельных стадиях может убывать. Рост энтропии наблюдается только в среднем, для достаточно больших интервалов времени.

Источник: https://fizika-student.ru/statistika-fermi-diraka.html

Все МУ и Учебники

1МОСКОВСКИЙ ГОСУДАСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТим. Н. Э. БАУМАНАЛ. К. Мартинсон, Е. В. СмирновМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИРаздел «Квантовая статистика Ферми – Дирака.

Электронный газ»Москва, 2004В методических указаниях содержится краткий обзор основных понятий и соотношений квантовой статистики, необходимых для решения задач. Изложена методика решения типовых задач и приведены условиязадач для самостоятельного решения.

Представленный материал предполагает проработку раздела курсаобщей физики «Элементы квантовой механики». Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУим.Н.Э.Баумана. Работа имеет методический характер.1.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦКвантовая механика существенно отличается от классической механики в подходе к анализу поведения систем, состоящих из одинаковых частиц.

В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых частиц, например, двух электронов, двух нейтронов, двухфотонов и т. д.1122Рис.

1С классической точки зрения каждая из частиц характеризуется своей траекторией, и,если известны положения частиц в начальный момент, а также их траектория, можно определить положения частиц в любой последующий момент времени.

Если частицы пронумеровать,то всегда можно указать, где находится частица 1, а где – частица 2 (рис. 1).

Таким образом, склассической точки зрения одинаковые частицы принципиально отличимы одна от другой, или,как говорят, индивидуализированы.

Если поменять координаты и скорости обеих частиц, то получится, вообще говоря, новое состояние системы.В квантовой механике частицы наряду с корпускулярными обладают волновыми свойствами.

Состояние системы частиц описывается волновой функцией, зависящей от обобщенныхкоординат частиц q1 и q2 и времени tψ =ψ(q1, q2, t).Здесь qi – набор трех пространственных координат и спиновой координаты (т. е. проекции спина на некоторое направление) для i-й частицы.

Поскольку функция ψ имеет вероятностное толкование, то обнаружив в какой-либо момент времени одну из частиц, принципиально невозможно указать, будет ли это частица 1 или2частица 2. Поэтому в квантовой механике при перестановке двух одинаковых частиц не возникает нового состояния системы. Оно остается абсолютно тем же, что и до перестановки.

С точки зрения квантовой механики одинаковые частицы принципиально неразличимы, тождественны; можно говорить о состоянии системы одинаковых частиц только в целом, а не о состояниикаждой частицы в отдельности.

Это положение формулируют в виде принципа тождественности одинаковых частиц: всистеме одинаковых частиц реализуются только такие состояния, которые не меняются при перестановке местами двух любых частиц.

Это очень важный квантово-механический принцип.Он логически не вытекает из основных положений квантовой механики, но и не противоречитим. Его справедливость подтверждается всей совокупностью экспериментальных данных.

Проанализируем вид волновой функции системы, состоящей из двух одинаковых частиц.Отвлекаясь от ее зависимости от времени, волновую функцию можно записать в видеψ=ψ (q1, q2).

Переставив местами частицы 1 и 2, мы получим функцию ψ (q2, q1).

Эту операцию мож! , который мено рассматривать как действие на функцию ψ (q1, q2) оператора перестановки Pняет частицы местами:!ψ ( q ,q ) = ψ ( q ,q ) = Pψ ( q ,q )P121212Переставив эти частицы еще раз, получаем! 2 ψ ( q ,q ) = P!ψ ( q ,q ) = ψ ( q ,q ) = P 2 ψ ( q ,q ) .P12211212Отсюда следует, чтоP2=1, а P= ± 1.

Таким образом, для квантово- механической системы, состоящей из тождественных частиц, возможны два вида волновых функций.1. Симметричная волновая функцияψS (q1, q2)= ψS (q2, q1).Эта волновая функция при перестановке частиц не меняется.2. Антисимметричная волновая функцияψA (q1, q2)=- ψA (q2, q1).

Эта волновая функция при перестановке частиц меняет знак.Полученные результаты можно обобщить на систему, состоящую из произвольного числа тождественных частиц. При этом симметрия или антисимметрия волновой функции имеетместо при перестановке любых двух одинаковых частиц.

Частицы, состояние которых описывается симметричными волновыми функциями, называются бозе- частицами, или бозонами.

Такое название они получили потому, что состоящиеиз них системы подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. К бозонам относятся фотоны, πмезоны, К- мезоны и другие частицы с нулевым или целым спином.Частицы, состояние которых описывается антисимметричными волновыми функциями,называют ферми- частицами, или фермионами.

Такое название связано с тем, что системы, состоящие из этих частиц, подчиняются статистике Ферми – Дирака. К фермионам относятсяэлектроны, протоны, нейтроны и другие частицы с полуцелым спином.

Эта связь между спином частицы и статистикой справедлива и для сложных частиц, которые состоят из элементарных, например, атомных ядер, атомов, молекул и т.

д. Сложные частицы, состоящие из нечетного числа фермионов, являются фермионами, а из четного числа –бозонами. Например ядро атома 42 He , т. е. α-частица, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Спин этого ядра равен нулю, т. е. оно является бозоном.

Бозоном будет и сам атом 42 He внормальном состоянии. А ядро легкого изотопа гелия – атома 32 He — состоит из нечетного числа(трех) частиц со спинами 1/2: двух протонов и одного нейтрона. Спин этого ядра будет полуцелым, следовательно, оно является фермионом.

Фермионом будет и сам атом 32 He .

3Свойство антисимметрии волновых функций системы ферми- частиц приводит к оченьважному ограничению на их состояния, известному как принцип Паули: в системе тождественных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии.

Это означает, что если в системе фермионов какая-либо частица находится в некотором определенномсостоянии, то никакая другая частица этой системы не может находиться в этом же состоянии.Таким образом, фермионы являются частицами- индивидуалистами.

Принцип Паули сыграл очень важную роль в обосновании периодической системы элементов Менделеева, а также в объяснении атомных и молекулярных спектров.

Что же касается бозонов, то свойство симметрии волновых функций не накладывает наих состояния никаких ограничений.

В одном и том же состоянии может находиться произвольное число одинаковых бозонов, т. е. бозоны, в отличие от фермионов, являются частицамиколлективистами.2.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ – ДИРАКАРазличие в поведении ферми- и бозе- частиц приводит к тому, что статистика свойствквантовых систем, состоящих из одинаковых фермионов, и систем, состоящих из одинаковыхбозонов, будут существенно отличаться друг от друга.

Для фермионов закон распределения частиц по состояниям с различной энергией Е имеет вид1< n >Ф − Д =.(1) E − EF exp  +1 kT Здесь k – постоянная Больцмана, T – температура, EF — энергия Ферми (уровень Ферми).

Функция Ф-Д называется функцией распределения Ферми – Дирака, она определяет среднее числочастиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е.

Поскольку Ф-Д ≤ 1, то говорят,что распределение (1) определяет вероятность того, что квантовое состояние с энергией Е занято частицами при температуре Т.Энергию Ферми EF можно определить как энергию таких состояний, вероятность заполнения которых частицами равна 1/2.

Действительно, из (1) следует, что1< n >Ф − Д ( EF ,T ) = .2Энергия Ферми системы фермионов зависит от концентрации частиц n и от температуры Т.

Вобщем случае эта зависимость оказывается достаточно сложной, однако при kT

Источник: https://studizba.com/files/show/pdf/7180-1-kvantovaya-statistika-fermi-diraka.html

Ссылка на основную публикацию