Предел последовательности — справочник студента

Уроки 61-62. Предел последовательности

09.07.2015
6394 0

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • Цель: привести основные понятия, связанные с последовательностями.
  • Ход уроков
  • I. Сообщение темы и цели уроков
  • II. Изучение нового материала

Определение 1. Функцию вида у = f(x), х ∈ N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f(n), или у1, у2, у3, …,уn, …, или (уn). Также можно сказать, что числовой последовательностью называют множество чисел, для каждого из которых известен его порядковый номер.

Пример 1

а) Для последовательности положительных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, … — известно, что первое число равно 1, второе число равно 3, третье число равно 5 и т. д.

б) Для последовательности правильных дробей с числителем 1: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … — известно, что первое число равно 1/2, второе число равно 1/3, третье число равно 1/4 и т. д.

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена: у1, у2, у3, …,уn, … . Соответственно, член последовательности с номером n (или n-й член последовательности) обозначают уn, а саму последовательность — (уn).

Пример 2

Рассмотрим последовательность натуральных трехзначных чисел: 100; 101; 102; …; 999. В ней: у1 = 100, у2 = 101, у3 = 102, …, y900 = 999. Член этой последовательности с номером n (n-й член последовательности) можно вычислить по формуле уn = 99 + n, гдеn = 1, 2, 3, …,900.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Психологические тесты - справочник студента

Оценим за полчаса!

1. Способы задания последовательностей

Последовательность необходимо задать, т. е. указать способ, с помощью которого можно найти каждый ее член. Рассмотрим основные способы задания последовательностей.

  1. 1. Аналитический способ (формула n-го члена)
  2. Последовательность задается формулой, которая позволяет найти по номеру n ее член уn.
  3. Пример 3

а) Пусть последовательность задана формулой уn = 3n — 2. Подставляя вместо nнатуральные числа, находим члены последовательности: Предел последовательности - Справочник студента и т. д. Имеем последовательность 1,4, 7,… .

б) Пусть последовательность задана формулой Предел последовательности - Справочник студента Подставляя вместо nнатуральные числа, находим члены последовательности: Предел последовательности - Справочник студентаПредел последовательности - Справочник студента и т. д. Имеем последовательность 0, 1, 0, 1,… .

  • 2. Аналитический способ (рекуррентная формула)
  • Последовательность задается формулой, которая позволяет найти следующие члены последовательности, если известны один или несколько предыдущих членов.
  • Пример 4
  • а) Пусть последовательность задана формулой уn+1 = 2уn + 3, где у1 = 5 и n ≥ 1.
  • Запишем рекуррентную формулу для n = 1: у1+1 = 2у1 + 3 или у2 = 2 · 5 + 3 = 13.
  • Запишем формулу для n = 2: у2+1 = 2у2 + 3 или у3 = 2 · 13 + 3 = 29.

Запишем формулу для n = 3: y3+1 = 2у3 + 3 или y4 = 2 · 29 + 3 = 61 и т. д.

Имеем последовательность 5, 13, 29, 61, … .

  1. б) Пусть последовательность задана формулой Уn+2 = 2уп+1 + 3уn, где у1 = 1, у2 = 2 и n ≥ 1.
  2. Запишем рекуррентную формулу для n = 1: у1+2 = 2у1+1 + 3у1, или У3 = 2у2 + 3у1 или у3 = 2 · 2 + 3 · 1 = 7.
  3. Запишем формулу для n = 2: у2+2 = 2у2+1 + 3у2 или у4 = 2у3 + 3у2 = 2 · 7 + 3 · 2 = 20.

Запишем формулу для n = 3: у3+2 = 2y3+1 + 3y3, или у5 = 2у4 + Зу3, или у5 = 2 · 20 + 3 · 7 = 61 и т. д.

Имеем последовательность 1, 2, 7, 20, 61, … .

  • 3. Описательный способ
  • Описывается способ получения членов последовательности.
  • Пример 5

а) Рассмотрим последовательность натуральных четных чисел. Из описания последовательности легко выписать ее члены: 2, 4, 6, 8,….

б) Рассмотрим последовательность приближений по недостатку с точностью до п цифр иррационального числа к. Из описания последовательности выписываем ее члены: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; … .

  1. 2. Основные свойства последовательностей
  2. Теперь рассмотрим два основных свойства последовательностей.
  3. 1. Ограниченность последовательности

Определение 2. Последовательность (уn) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа М, т. е. уn ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности.

Пример 6

Последовательность уn = 5 — n ограничена сверху. При этом число М = 4. Покажем, что при всех натуральных n выполнено неравенство уn ≤ М. Получаем неравенство 5 — n ≤ 4, откуда n ≥ 1 (т. е. неравенство справедливо при всех n ∈ N).

Определение 3. Последовательность (уn) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше числа m, т. е. уn ≥ m. Число m называют нижней границей последовательности.

Пример 7

Последовательность уn = 3 + 2n ограничена снизу. При этом число m = 5. Покажем, что при всех натуральных n выполнено неравенство yn ≥ m. Получаем неравенство 3 + 2n≥ 5, откуда n ≥ 1 (т. е. неравенство справедливо при всех n ∈ N).

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью. Иначе, последовательность (уn) называют ограниченной, если существуют два таких числа m и М, что для любого натурального номера n выполнено неравенство m ≤ уn ≤ М.

Пример 8

Докажем ограниченность последовательности 

Найдем первый член последовательности  и член последовательности с очень большим номером n, например Предел последовательности - Справочник студента Возникает гипотеза, что последовательность ограничена, m = 0 и М = 1. Поэтому надо доказать, что при всех натуральных значениях n выполнено неравенство  Очевидно, что левая часть неравенства  выполняется. Рассмотрим правую часть неравенства  Так как выражение n + 2 положительно, то получаем неравенство n — 1 ≤ n + 2 или -1 ≤ 2, которое является верным.

2. Монотонность последовательности

Определение 4. Последовательность (уn) называют возрастающей, если каждый ее член (начиная со второго) больше предыдущего, т. е. уn+1 > уn для n ≥ 1.

Определение 5. Последовательность (уn) называют убывающей, если каждый ее член (начиная со второго) меньше предыдущего, т. е. yn+1 < уn для n ≥> 1.

Пример 9

Определим монотонность последовательности 

Запишем (n + 1)-й член последовательности: Предел последовательности - Справочник студента Найдем разность двух соседних членов:       Предел последовательности - Справочник студента Так как n- натуральное число, то при всех n дробь  положительна. Поэтому уn+1 – уn > 0 или уn+1 > уn при всех n. Тогда по определению данная последовательность (уn) возрастающая.

  • Заметим, что последовательность уn = an при a > 1 возрастает, при 0 0).Пример 10Покажем, что Прежде всего отметим, что понятие предела последовательности очень сложное и с трудом воспринимается даже студентами. Поэтому подробно будем разбираться с этим примером (буквально по пунктам).1. В данном случае число b = 0. Выберем произвольный радиус r окрестности точки b(обычно r выбирают небольшим и r > 0). Поэтому будем рассматривать интервал (0 — r; 0 + r) или (-r; r).2. Нужно найти номер N, начиная с которого все члены последовательности уn = 2/nбудут находиться в интервале (-r; r). Другими словами, надо относительно n решить неравенство –r < 2/n  20 (т. е. начиная с номера N = 21 все члены последовательности отличаются от предела не более чем на 0,1). При r = 0,01 имеем n > 200 (т. е. начиная с номера N = 201 все члены последовательности отличаются от предела не более чем на 0,01) и т. д. На рисунке приведена графическая иллюстрация для этого случая.Предел последовательности - Справочник студента
    1. Видно, что в r-окрестности предела собирается (сгущается) бесконечное множество членов последовательности, вне этой окрестности находится только конечное число членов.
    2. Если последовательность (уn) имеет предел, то говорят, что она сходится, если не имеет предела — то расходится.
    3. 4. Теоремы о пределах и вычисление пределов последовательностей
    4. Приведем формулировки теорем о пределах последовательностей.

    Теорема 4.1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.Теорема 4.2. Если последовательность сходится, то она ограничена.Теорема 4.3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.Теорема 4.4. Если Предел последовательности - Справочник студента то:

    • 1) предел суммы равен сумме пределов: Предел последовательности - Справочник студента
    • 2) предел произведения равен произведению пределов: 
    • 3) предел частного равен частному пределов: 
    • 4) постоянный множитель можно вынести за знак предела: 
    • Теорема 4 используется при вычислении пределов последовательностей.
    • Пример 11
    • Найдем пределы последовательностей: 

    а) Используем теоремы 4.2 и 4.4 и получим: 

    б) Применим теоремы 4.1 и 4.4. Имеем: 

    в) Заметим, что сразу использовать теорему 4.3 нельзя, так как числитель 2n2 + 3 и знаменатель 5n2 — 1 дроби бесконечно большие величины и получаем что-то непонятное: ∞/∞. Поэтому разделим числитель и знаменатель дроби на n2 и используем теоремы 4.1, 4.3 и 4.4. Получим: 

    г) Опять же сразу применять теоремы 4.3 и 4.1 нельзя. Тогда получим:  Каждое слагаемое в этой сумме стремится к нулю (), но в эту сумму входят n слагаемых, т. е. бесконечно большая величина.

    Получаем опять нечто непонятное: 0 · ∞.

    Учтем, что числитель дроби является суммой арифметической прогрессии и используем    теоремы 4.1, 4.3, 4.4. Имеем: 

    д) При n → ∞ множитель  множитель  Возникает опять что-то непонятное: ∞ · 0. Поэтому умножим и разделим данное выражение на  и применим теоремы 4.1, 4.3, 4.4. Получаем: 

    Таким образом, вычисление пределов последовательностей несложно, но необходимо проявлять внимание и аккуратность. При больших значениях n члены последовательности практически равны ее пределу.

    III. Контрольные вопросы

    1. Дайте определение последовательности.

    2. Основные способы задания последовательности.

    3. Ограниченность последовательности.

    4. Монотонность последовательности.

    5. Понятие r-окрестности точки Ь.

    6. Определение предела последовательности.

    7. Теоремы о пределах последовательности (фронтальный опрос).

    1. IV. Задание на уроках
    2. § 24, № 1 (а, б); 3 (в, г); 7 (а, б); 10; 14 (а, г); 15 (а, б); 16 (б, г); 19 (а, б); 20 (г); 22 (б).
    3. V. Задание на дом
    4. § 24, № 1 (в, г); 3 (а, б); 7 (в, г); 11; 14 (б, в); 15 (в, г); 16 (а, в); 19 (в, г); 20 (a); 22 (г).
    5. VI. Творческие задания
    6. 1. Найдите четыре первых члена последовательности (аn), если:
    7. Ответы: а) а1 = 1, а2 = 2, a3 = 5, а4 = 14; б) а1 = 2, а2 = 11, а3 = 47, а4 = 191; в) а1 = 1, а2 = 2, а3 = 3, а4 = 5; г) а1 = 2, а2 = 1, a3 = -3, а4 = -5; д) а1 = 1, а2 = 2, а3 = 4, а4 = 8; е) a1 = 2, а2 = 1, а3 = 4, а4 = 9.
    8. 2. Докажите ограниченность последовательности (аn):
    9. 3. Определите монотонность последовательности (аn):
    10. Ответы: а, д, ж) возрастающая; в, е) убывающая; б, г, з) немонотонная.
    11. VII. Подведение итогов уроков

    Источник: https://tak-to-ent.net/load/625-1-0-17003

    Пределы числовых последовательностей

    Предел последовательности - Справочник студента

    •       Определение 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности
    • a1 ,  a2 , … an , …
    • если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство
    • | an – a | < ε .
    •       Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности
    • a1 ,  a2 , … an , … ,
    • записывают с помощью обозначения

    Предел последовательности - Справочник студента

    1. и произносят так: «Предел   an   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».
    2.       То же самое соотношение можно записать следующим образом:
    3. an → a   при .
    4. Словами это произносится так: «an   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».
    5.       Замечание. Если для последовательности
    6. a1 ,  a2 , … an , …
    7. найдется такое число   a ,   что   an → a   при , то эта последовательность ограничена.
    8.       Определение 2. Говорят, что последовательность
    9. a1 ,  a2 , … an , …
    10. стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство
    11. | an| > C .
    12.       Условие того, что числовая последовательность
    13. a1 ,  a2 , … an , … ,
    14. стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

    Предел последовательности - Справочник студента

    • или с помощью обозначения
    •  при .
    •       Пример 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

    Предел последовательности - Справочник студента

          Пример 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

    Предел последовательности - Справочник студента

          Пример 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

    Предел последовательности - Справочник студента

          Пример 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

    Предел последовательности - Справочник студента

    1.       Пример 5 . Последовательность
    2. – 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,
    3. заданная с помощью формулы общего члена
    4. an = (– 1)n ,
    5. предела не имеет.

    Свойства пределов числовых последовательностей

    •       Рассмотрим две последовательности
    • a1 ,  a2 , … an , … ,   и   b1 ,  b2 , … bn , … .
    • Если при существуют такие числа   a   и   b ,  что

    Предел последовательности - Справочник студента

    то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

    Предел последовательности - Справочник студента
    1.       Если, кроме того, выполнено условие
    2. то при существует предел дроби
    3. причем

          Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

    Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

    •       Рассмотрим геометрическую прогрессию
    • b1 ,  b2 , … bn , … ,
    • знаменатель которой равен   q .  
    •       Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии
    • Sn = b1 + b2 + … + bn  ,       n = 1, 2, 3, …
    • справедлива формула
    •       Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение
    • S = b1 + b2 + … + bn + … ,
    • то будет справедлива формула
    •       В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству
    • | q | < 1 ,
    • поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

          Итак,

    Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

          Определение 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

          Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

    1.       Пример 6. Найти предел последовательности
    2.       Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:
    3.       Ответ.
    4.       Пример 7 . Найти предел последовательности
    5.       Ответ.
    6.       В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.
    7.       Пример 8 . Найти предел последовательности
    8.       Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

          Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:

    Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

          Ответ.

          Пример 9. Найти предел последовательности

          Решение. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

          Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

          Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби,а затем сокращая дробь на n2:

    Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

          Ответ.

          Пример 10. Найти предел последовательности

    •       Решение. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство
    • ,
    • получаем

          Ответ.   1 .

    Число e. Второй замечательный предел

          Рассмотрим последовательность

    (1)

          В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху.

    Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел.

    Этот предел принято обозначать буквой   e.

          Таким образом, справедливо равенство

    (2)
    1. причем расчеты показывают, что число
    2. e = 2,718281828459045…
    3. и является иррациональным и трансцендентным числом.
    4.       Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции
    5. y = e x,
    6. которую называют «экспонента».
    7.       Число   e   также является пределом последовательности
    (3)

    что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

          Замечание. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

          На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/limit.htm

    Контрольная работа «Предел последовательности» для студентов 1 курса

    Контрольная работа «Предел последовательности» для студентов 1 курса (20 вариантов без решений) к учебнику: Конспект лекций по высшей математике./Д.Т. Письменный – М.: Айрис — пресс,2006.

        Основной формой обучения студента является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных и тестовых работ.

    Студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменн…

    Предел последовательности - Справочник студента

    Поделитесь с коллегами:

    • 5
    • Контрольная работа
    • «Предел последовательности»
    • Вычислить предел последовательности
    • 1
    • а)

    Предел последовательности - Справочник студента

    б)

    Предел последовательности - Справочник студента

    1. в)
    2. Предел последовательности - Справочник студентаnПредел последовательности - Справочник студента
    3. г)
    4. Предел последовательности - Справочник студентаПредел последовательности - Справочник студента
    5. Вычислить предел последовательности
    6. 2
    7. а)

    Предел последовательности - Справочник студента

    б)

    Предел последовательности - Справочник студента

    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 3
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 4
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 5
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Контрольная работа № 4
    • Вычислить предел последовательности
    • 6
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 7
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 8
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 9
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 10
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Контрольная работа № 4
    • Вычислить предел последовательности
    • 11
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 12
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 13
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 14
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 15
    • а)
    • б)
    • в)
    • n
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 16
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 17
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 18
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 19
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Вычислить предел последовательности
    • 20
    • а)
    • б)
    • в)
    • г)
    • Контрольная работа № 4

    Источник: https://for-teacher.ru/edu/matematika/doc-1hlpe0h.html

    Как найти предел числовой последовательности

    Числовая последовательность ${x_n}$ – это правило, по которому каждому натуральному числу $n = 1,2,3,…$ устанавливается соответствующее число $x_n$, называющееся энным членом. Далее будем считать, что имеются в виду только действительные числа. Введём понятие и запишем определение.

    Пределом числовой последовательности ${x_n}$ называется число $a$, такое что для любого положительного $varepsilon$ существует натуральное $N = N(varepsilon)$, при котором для всех $n > N$ выполняется неравенство $$|x_n — a| < varepsilon .$$

    Обозначается он в математическом виде $$lim limits_{n o infty} x_n = a. $$ Аналогичная короткая форма записи принимает вид $$x_n o a ext{ при } n o infty. $$

    Чтобы успешно вычислить предел последовательности нужно знать основные равенства:

    1. При $k > 0$ справедливо $lim_limits {n  o infty} frac{1}{n^k} = 0$
    2. При $k > 0$ справедливо $lim_limits {n  o infty} n^k = infty $
    3. При $|a|
    4. При $|a|>1$ справедливо $lim_limits {n  o infty} a^n = infty $
    5. У последовательности $-1,1,-1,1,…$, заданной как $x_n = (-1)^n$ нет предела.

    Так же потребуется выучить основные свойства пределов последовательности:

    • Сумма $lim_limits{n o infty} (a_n+b_n) = lim_limits{n o infty} a_n + lim_limits{n o infty} b_n = a+b $
    • Разность $lim_limits{n o infty} (a_n-b_n) = lim_limits{n o infty} a_n — lim_limits{n o infty} b_n = a-b $
    • Произведение $lim_limits{n o infty} (a_n cdot b_n) = lim_limits{n o infty} a_n cdot lim_limits{n o infty} b_n = a cdot b $
    • Частное $lim_limits{n o infty} frac{a_n}{b_n} = frac{lim_limits {n o infty} a_n}{lim_limits{n o infty} b_n} = frac{a}{b} $, если $lim_limits{n o infty} b_n
      eq 0 $
    • Непрерывная функция $lim_limits{n o infty} f(a_n) = f (lim_limits{n o infty} a_n) = f(a) $.
    Пример 1
    Найти предел последовательности $lim_limits{n o infty} frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}}$.
    Решение
    Подставляем бесконечность в дробь вместо $n$ и получаем неопределенность вида $frac{infty}{infty}$. Чтобы от неё избавиться нужно вынести из числителя и знаменателя член с наивысшей степенью. Но прежде воспользуемся свойствами степеней для упрощения выражений.

    • $$lim_limits{n o infty} frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}} = lim_limits{n o infty} frac{9 cdot 3^n + 2 cdot 4^n}{5+16 cdot 4^n} = $$
    • Видим, что самые большие слагаемые содержат $4^n$, поэтому именно их выносим за скобки, не забывая за соответствующие множители перед ними.
    • $$ = lim_limits{n o infty} frac{2 cdot 4^n( frac{9}{2} cdot (frac{3}{4})^n + 1)}{16 cdot 4^n (frac{5}{16} cdot frac{1}{4^n} +1)} = $$

    Воспользовавшись первым равенством из теории замечаем, что $(frac{3}{4})^n = 0$ и $frac{1}{4^n} = 0$ при $n o infty$. Не забываем сократить дробь на $4^n$ и получаем окончательный ответ. $$ = frac{2 cdot (0 + 1)}{16 cdot (0 + 1)} = frac{2}{16} = frac{1}{8} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

    Ответ
    $$ lim_limits{n o infty} frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}} = frac{1}{8} $$
    Пример 2
    Вычислить предел последовательности $lim_limits{n o infty} frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} $.
    Решение
    Выносим из каждой скобки $n$ не забывая про квадрат. А далее выполним сокращение числителя и знаменателя на $n^2$.

    1. $$lim_limits{n o infty} frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} = lim_limits{n o infty} frac{n^2(frac{5}{n}-1)^2 + n^2(frac{5}{n}+1)^2}{n^2(frac{5}{n}-1)^2-n^2(frac{5}{n}+1)^2} = $$ $$ = lim_limits{n o infty} frac{(frac{5}{n}-1)^2 + (frac{5}{n}+1)^2}{(frac{5}{n}-1)^2-(frac{5}{n}+1)^2} = frac{(0-1)^2 + (0+1)^2}{(0-1)^2-(0+1)^2} = $$
    2. Нули в скобках появились из-за первого правила, согласно которому $lim_limits{n o infty} frac{1}{n^k} = 0$ при $k>0$.
    3. $$ = frac{1+1}{1-1} = frac{2}{0} = infty $$
    4. Обратим внимание на то, что число в числителе деленное на ноль в знаменателе даёт бесконечность. 
    Ответ
    $$lim_limits{n o infty} frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} = infty$$
    Пример 3
    Найти предел числовой последовательности $lim_limits{n o infty} sqrt{n^2+2n}-n$.
    Решение
    Подставим бесконечность вместо $n$ и получим неопределенность. $$lim_limits{n o infty} sqrt{n^2+2n}-n = infty — infty $$ Для устранения такой неопределенности нужно избавиться от иррациональности, то есть от корней. Сделаем это с помощью умножения и одновременного деления на сопряженное выражение. Оно отличается только противоположным знаком.

    • $$lim_limits{n o infty} sqrt{n^2+2n}-n = lim_limits{n o infty} frac{(sqrt{n^2+2n}-n)(sqrt{n^2+2n}+n)}{sqrt{n^2+2n}+n} = $$
    • Теперь благодаря формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ сворачиваем выражение в числителе.
    • $$ = lim_limits {n o infty} frac{n^2 + 2n — n^2}{sqrt{n^2+2n}+n} = lim_limits {n o infty} frac{2n}{sqrt{n^2+2n}+n} = $$

    Если в лоб подставим вместо $n$ бесконечность, то найти решение не получится. Вылезет неопределенность $frac{infty}{infty}$. Чтобы этого не допустить вынесем старшую степень из знаменателя и сократим на $n$. $$ = lim_limits{n o infty} frac{2n}{n(sqrt{1+frac{2}{n}}+1)} = frac{2}{sqrt{1+0}+1} = 1$$

    Ответ
    $$ lim_limits{n o infty} sqrt{n^2+2n}-n = 1 $$

    Нужно подробное решение своей задачи?

    ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

    Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/predel-posledovatelnosti.html

    Урок 7. предел последовательности — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс — Российская электронная школа

    Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

    Урок №7. Предел последовательности.

    • Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
    • 1) определение предела последовательности;
    • 2) основные свойства пределов;
    • 3) виды неопределенностей и способы их устранения;
    • 4) правила вычисления пределов функции на бесконечности.
    • Глоссарий по теме
    • Занумерованный ряд чисел а1, а2,…, аn,…называется числовой последовательность.
    • Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого верно неравенство .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)
    • Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

    Последовательность а1, а2,…,аn .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство выполняется для всех номеров n.

    Последовательность ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство . Число m называют нижней границей последовательности.

    Число b называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

    При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

    Основная литература:

    Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

    Дополнительная литература:

    Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а, числу 2 – а2, …, числу n – число аn и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут а1, а2,…,аn или (аn), где а1, а2,…,аn – члены последовательности.

    Занумерованный ряд чисел а1, а2,…, аn,…называется числовой последовательность.

    Способы задания последовательностей.

    Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т.е. формулы, явно выражающей зависимость n-го члена последовательности от n.

    Например, формула аn=2n задает последовательность четных чисел 2,4,6,8,… .

    Другим важным способом задания последовательности является рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-й член последовательности с одним или несколькими предыдущими.

    Слово рекуррентный происходит от латинского слова recurrens, что означает «возврат». Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад и используем уже вычисленные предыдущие члены.

    Например, рекуррентное соотношение an=an-1+2 вместе с уравнением a1=1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2:1, 3, 5, 7,.. . Это не что иное, как последовательность нечетных чисел.

    1. Так же последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности.
    2. Свойства числовой последовательности.
    3. Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого верно неравенство .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)

    Например 1, 3, 5, 7 2n -1,… — возрастающая последовательность.

    Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

    Последовательность а1, а2,…,аn .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство выполняется для всех номеров n.

    Иными словами, последовательность (yn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство

    Число М называют верхней границей последовательности.

    Например, последовательность-1, -4, -9, -16,…, —п2 , … ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

    Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство . Число m называют нижней границей последовательности.

    Например, последовательность 1, 4, 9, 16, …, п2, … ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

    Определение предела последовательности

    Рассмотрим две числовые последовательности (уп) и (хп).

    (уn):1,3, 5,7,9, …,2n-1,…; (xn):

    Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 1 для (уп) и рис. 2 для (хп)). Замечаем, что члены второй последовательности (хn) как бы « сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности (уп) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (хn) сходится, а последовательность (уп) расходится.

    • Рисунок 1
    • Рисунок 2

    Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на данный вопрос, введем новый математический термин.

    Пусть а — точка прямой, а r — положительное число. Интервал (а — r, а + r) называют окрестностью точки а (рис. 3), а число r— радиусом окрестности.

    1. Какова окрестность точки 6, если радиус этой окрестности равен 0,02? Ответ: (5,98; 6,02), так как 6-0,02˂ 6 ˂ 6+0,02
    2. a-r ˂ a ˂ a+r
    3. Рисунок 3

    Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но термин «точка сгущения для членов заданной последовательности» обычно заменяют термином «предел последовательности».

    • Число b называется пределом последовательности (yn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
    • Пишут либо так: (читают: уп стремится к b или уп сходится к b), либо так:
    • (читают: предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b; но обычно слова «при стремлении n к бесконечности» опускают).
    • Правила вычисления пределов последовательности
    • Пример 1: Дана последовательность
    • — Как вы считаете, чему равен предел данной последовательности?
    • Докажем, что
    • Рисунок 4

    Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен r (Рис.4). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n0 так, чтобы выполнялось неравенство . Если, например r=0.

    001,то в качестве n0 можно взять 1001, поскольку ; если , то в качестве n0 можно взять 5774, поскольку , и т.д. Но это значит, что член последовательности yn с номером n0 , т.е. , попадает в выбранную окрестность точки 0.

    Тем более в этой окрестности будут находится все последующие члены заданной убывающей последовательности .

    1. Пример 2: Найти предел последовательности
    2. Здесь последовательность сходится к 0: или
    3. Результат, полученный в примере 2, является частным случаем общего утверждения: если

    А что будет с последовательностью , если ? Пусть, например, q=2, т.е. речь идет о последовательности 2,22,23,…,2n,… Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение: если , то последовательность расходится.

    • Например:
    • Правила вычисления пределов:
    • если
    • Виды неопределенностей.

    Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

    1. Основные виды неопределенностей:  
    2. Раскрытие неопределенностей
    3. Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
    • упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
    • если предел при раскрытии неопределенностей существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
    • Разбор решения заданий тренировочного модуля
    • Пример 1.
    • Вычислите предел и выберите верный ответ из представленных:
    •  Решение:
    • При прямой подстановке, получается неопределенность:
    • Разложим на множители числитель и знаменатель и вычислим предел:
    • Ответ:
    • Пример 2.
    • Найти предел
    • В числителе и знаменателе находим x в старшей степени:
    • Максимальная степень в числителе: 3
    • Максимальная степень в знаменателе: 4

    наибольшее значение, в данном случае четверку.Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на х4.

    Разделим числитель и знаменатель на х4:

    Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4921/conspect/

Ссылка на основную публикацию