Постоянная больцмана — справочник студента

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»

Для постоянной, связанной с энергией излучения чёрного тела, смотри Постоянная Стефана-Больцмана

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
Значение постоянной k [1] Размерность
1,380 6504(24) • 10−23 Дж•К−1
8,617 343(15) • 10−5 эВ•К−1
1,3807• 10−16 эрг•К−1
Смотри также Значения в различных единицах ниже.

Постоянная Больцмана (k или kB) — физическая постоянная, определяющая связь между температурой вещества и энергией теплового движения частиц этого вещества. Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана, сделавшего большой вклад в статистическую физику, в которой эта постоянная играет ключевую роль. Её экспериментальное значение в системе СИ равно

Постоянная Больцмана - Справочник студентаДж/К.

В таблице последние цифры в круглых скобках указывают стандартную погрешность значения постоянной. В принципе, постоянная Больцмана может быть получена из определения абсолютной температуры и других физических постоянных. Однако точное вычисление постоянной Больцмана с помощью основных принципов слишком сложно и невыполнимо при современном уровне знаний.

  • Экспериментально постоянную Больцмана можно определить с помощью закона теплового излучения Планка, описывающего распределение энергии в спектре равновесного излучения при определённой температуре излучающего тела, а также другими методами.
  • Существует связь между универсальной газовой постоянной и числом Авогадро , из которой следует значение постоянной Больцмана:
  • Размерность постоянной Больцмана такая же, как и у энтропии.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Уравнение состояния идеального газа
  • 3 Связь между температурой и энергией
    • 3.1 Соотношения газовой термодинамики
  • 4 Множитель Больцмана
  • 5 Роль в статистическом определении энтропии
  • 6 Роль в физике полупроводников: тепловое напряжение
  • 7 Применения в других областях
  • 8 Постоянная Больцмана в планковских единицах
  • 9 Постоянная Больцмана в теории бесконечной вложенности материи
  • 10 Значения в различных единицах
  • 11 Ссылки
  • 12 См. также

История

В 1877 г. Больцман впервые связал между собой энтропию и вероятность, однако достаточно точное значение постоянной k как коэффициента связи в формуле для энтропии появилось лишь в трудах М. Планка. При выводе закона излучения чёрного тела Планк в 1900–1901 гг. для постоянной Больцмана нашёл значение 1,346 • 10−23 Дж/K, почти на 2,5% меньше принятого в настоящее время.[2]

До 1900 г. соотношения, которые сейчас записываются с постоянной Больцмана, писались с помощью газовой постоянной R, а вместо средней энергии на одну молекулу использовалась общая энергия вещества. Лаконичная формула вида S = k log W на бюсте Больцмана стала таковой благодаря Планку. В своей нобелевской лекции в 1920 г. Планк писал: [3]

Эта константа часто называется постоянной Больцмана, хотя, насколько я знаю, сам Больцман никогда не вводил её — странное состояние дел, при том, что в высказываниях Больцмана не было речи о точном измерении этой константы.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Определение функции распределения - справочник студента

Оценим за полчаса!

Такая ситуация может быть объяснена проведением в то время научных дебатов по выяснению сущности атомного строения вещества.

Во второй половине 19 века существовали значительные разногласия в отношении того, являются ли атомы и молекулы реальными, либо они лишь удобный способ описания явлений.

Не было единства и в том, являются ли «химические молекулы», различаемые по их атомной массе, теми же самыми молекулами, что и в кинетической теории. Далее в нобелевской лекции Планка можно найти следующее:[3]

«Ничто не может лучше продемонстрировать положительную и ускоряющуюся скорость прогресса, чем искусство эксперимента за последние двадцать лет, когда было открыто сразу множество методов измерения массы молекул практически с той же точностью, что и измерение массы какой-нибудь планеты».

Уравнение состояния идеального газа

  1. Для идеального газа справедлив объединённый газовый закон, связывающий давление P, объём V, количество вещества n в молях, газовую постоянную R и абсолютную температуру T:
  2. Постоянная Больцмана - Справочник студента
  3. В данном равенстве можно сделать замену . Тогда газовый закон будет выражаться через постоянную Больцмана и количество молекул N в объёме газа V:
  4. Постоянная Больцмана - Справочник студента

Связь между температурой и энергией

В однородном идеальном газе, находящемся при абсолютной температуре T, энергия, приходящаяся на каждую поступательную степень свободы, равна, как следует из распределения Максвелла, kT / 2.

При комнатной температуре (≈ 300 K) эта энергия составляет Постоянная Больцмана - Справочник студентаДж, или 0,013 эВ.

Соотношения газовой термодинамики

В одноатомном идеальном газе каждый атом обладает тремя степенями свободы, соответствующими трём пространственным осям, что означает, что на каждый атом приходится энергия 3kT / 2. Это хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Зная тепловую энергию, можно вычислить среднеквадратичную скорость атомов, которая обратно пропорциональна квадратному корню из атомной массы. Среднеквадратичная скорость при комнатной температуре изменяется от 1370 м/с для гелия до 240 м/с для ксенона.

  • Кинетическая теория даёт формулу для среднего давления P идеального газа:
  • Постоянная Больцмана - Справочник студента
  • Учитывая, что средняя кинетическая энергия прямолинейного движения равна:
  • Постоянная Больцмана - Справочник студента
  • находим уравнение состояния идеального газа:

Это соотношение неплохо выполняется и для молекулярных газов; однако зависимость теплоёмкости изменяется, так как молекулы могут иметь дополнительные внутренние степени свободы по отношению к тем степеням свободы, которые связаны с движением молекул в пространстве. Например, двухатомный газ имеет уже приблизительно пять степеней свободы.

Множитель Больцмана

  1. В общем случае система в равновесии с тепловым резервуаром при температуре T имеет вероятность p занять состояние с энергией E, что может быть записано с помощью соответствующего экспоненциального множителя Больцмана:
  2. Постоянная Больцмана - Справочник студента
  3. В данном выражении фигурирует величина kT с размерностью энергии.
  4. Вычисление вероятности используется не только для расчётов в кинетической теории идеальных газов, но и в других областях, например в химической кинетике в уравнении Аррениуса.

Роль в статистическом определении энтропии

Основная статья: Термодинамическая энтропия

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Вена, Zentralfriedhof, изображение Больцмана и формулы для энтропии на бюсте.

Энтропия S изолированной термодинамической системы в термодинамическом равновесии определяется через натуральный логарифм от числа различных микросостояний W, соответствующих данному макроскопическому состоянию (например, состоянию с заданной полной энергией E):

Коэффициент пропорциональности k является постоянной Больцмана. Это выражение, определяющее связь между микроскопическими и макроскопическими состояниями (через W  и энтропию S соответственно), выражает центральную идею статистической механики и является главным открытием Больцмана.

  • В классической термодинамике используется выражение Клаузиуса для энтропии:
  • Постоянная Больцмана - Справочник студента
  • Таким образом, появление постоянной Больцмана  k  можно рассматривать как следствие связи между термодинамическим и статистическим определениями энтропии.
  • Энтропию можно выразить в единицах k , что даёт следующее:
  • Постоянная Больцмана - Справочник студента
  • В таких единицах энтропия точно соответствует информационной энтропии.
  • Характерная энергия kT равна количеству теплоты, необходимому для увеличения энтропии S' на один нат.

Роль в физике полупроводников: тепловое напряжение

В отличие от других веществ, в полупроводниках существует сильная зависимость электропроводности от температуры:

где множитель σ0 достаточно слабо зависит от температуры по сравнению с экспонентой, EA – энергия активации проводимости. Плотность электронов проводимости также экспоненциально зависит от температуры.

Для тока через полупроводниковый p-n-переход вместо энергии активации рассматривают характерную энергию данного p-n перехода при температуре T  как характерную энергию электрона в электрическом поле:

где q – элементарный электрический заряд, а VT  есть тепловое напряжение, зависящее от температуры.

Данное соотношение является основой для выражения постоянной Больцмана в единицах эВ∙К−1. При комнатной температуре (≈ 300 K) значение теплового напряжения порядка 25,85 милливольт ≈ 26 мВ.

  1. В классической теории часто используют формулу, согласно которой эффективная скорость носителей заряда в веществе равна произведению подвижности носителей μ на напряженность электрического поля. В другой формуле плотность потока носителей связывается с коэффициентом диффузии D и с градиентом концентрации носителей n:
  2. Согласно соотношению Эйнштейна-Смолуховского, коэффициент диффузии связан с подвижностью:
  3. Постоянная Больцмана k  входит также в закон Видемана-Франца, по которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности в металлах пропорционально температуре и квадрату отношения постоянной Больцмана к электрическому заряду.

Применения в других областях

  • Для разграничения температурных областей, в которых поведение вещества описывается квантовыми или классическими методами, служит температура Дебая:
  • где – постоянная Дирака, есть предельная частота упругих колебаний кристаллической решётки, u – скорость звука в твёрдом теле, n – концентрация атомов.

При температурах ниже QD требуется использовать квантовую статистику. Если же температуры выше QD, то тепловая энергия (порядка kT) превышает характерную энергию колебаний решётки и система может быть описана формулами классической статистической механики.

Постоянная Больцмана входит в формулу Найквиста, определяющую средний квадрат шумового напряжения в электрической цепи с сопротивлением R в полосе частот Δν при температуре T. В классическом приближении формула для теплового шума имеет вид:

Постоянная Больцмана в планковских единицах

  1. В планковской системе естественных единиц постоянная Больцмана равна 1.

    Это даёт

  2. как среднюю кинетическую энергию газовой молекулы на одну степень свободы; при этом определение термодинамической энтропии совпадает с определением информационной энтропии:
  3. Планковская единица температуры равна 1,416 785(71) • 1032 К, соответствуя энергии покоя планковской массы.

Постоянная Больцмана в теории бесконечной вложенности материи

С точки зрения теории бесконечной вложенности материи, постоянная Больцмана является характеристикой лишь одного, а именно атомного уровня материи.

Как показывает анализ естественных единиц измерения физических величин, при использовании вместо температурной шкалы шкалы тепловой энергии, содержащейся в единице количества вещества, постоянная Больцмана становится излишней.

Отсюда следует, что при использовании температуры как физической величины на некотором масштабном уровне материи необходимо пересчитывать значение постоянной Больцмана для этого уровня материи с помощью соответствующих коэффициентов подобия. Теоретической основой для этой процедуры является SPФ-симметрия.

Для уровня звёзд аналогично звёздной постоянной Планка, задающей характерный момент импульса типичных звёздных объектов, появляется звёздная постоянная Больцмана. Eё значение равно Kps = kФ = 9,187∙1032 Дж/К, где Ф – коэффициент подобия по массе.

[4] Звёздная постоянная Больцмана определяет связь между эффективной температурой совокупности типичных звёздных объектов как меры тепловой энергии, и средней кинетической энергией движения в расчёте на один звёздный объект.

Кроме этого, она связывает внутреннюю температуру звёздных объектов с внутренней энергий вещества этих объектов. Аналогичные постоянные могут быть вычислены для каждого масштабного уровня материи.

Следовательно, обычная постоянная Больцмана не только позволяет оценить кинетическую температуру частиц вещества по известной энергии этого вещества, но и даёт возможность найти температуру вещества внутри самих частиц, например, внутри нуклона.

Значения в различных единицах

Значение k Размерность Примечание
1,380 6504(24) • 10−23 Дж / К единицы СИ, значение CODATA 2006[1]
8,617 343(15) • 10−5 эВ/K 1  эВ = 1,602 176 53(14) • 10−19 Дж 1/k = 11 604,51(2)  K/эВ
2,303 6644(36) • 1010 Гц/K 1 Гц = 6,626 068 96(33) • 10−34 Дж
3,166 815(36) • 10−6 EH/K EH = 2Rhc = 4,359 743 94(22) • 10−18 Дж
1,380 6504(24) • 10−16 эрг/K 1  эрг = 1• 10−7 Дж
3,297 6268(56) • 10−24 кал/K 1 калория = 4,1868 Дж
1,832 0149(31) • 10−24 кал/R 1 градус Ранкина = 4/9 K
1,039 9503(18) • 10−23 Фут фунт/R 1 Фут-фунт сила = 1,355 817 948 331 4004 Дж
0,695 0356(12) см−1/K 1 см−1 = 1,986 445 501(99) • 10−23 Дж

Поскольку k есть константа пропорциональности между температурой и энергией, численное значение k зависит от выбора единиц изменения температуры и энергии. Шкала температур Кельвина выбиралась из того условия, чтобы интервал температур, в котором существует жидкая вода, равнялся 100 градусов.

Малое численное значение k является отражением малости энергии в джоулях, необходимой для увеличения энергии частицы на 1 К. Как правило, в физических выражениях используется произведение kT как характерная энергия при температуре T.

Если измерять температуру в энергетических единицах, подобно планковским единицам, тогда постоянная Больцмана будет не нужна вообще, равняясь точно 1. [5]

Ссылки

  1. а б CODATA, 2006
  2. Max Planck «Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum» // Annalen der Physik. — 1901. — Т. 309. — № 3. — С. 553–63.. English translation: «On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum».

  3. а б Max Planck «The Genesis and Present State of Development of the Quantum Theory (Nobel Lecture)». — 2 June 1920.
  4. Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

    ISBN 5-8131-0012-1.

  5. Kalinin, M; Kononogov, S «Boltzmann's Constant, the Energy Meaning of Temperature, and Thermodynamic Irreversibility» // Measurement Techniques. — 2005. — Т. 48. — № 7. — С. 632–36.

Источник: http://sergf.ru/pb.htm

        На список страниц

Источник: http://sergf.ru/pb.htm

Физический смысл и формула постоянной Больцмана

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Талантливый Людвиг Больцман — один из крупнейших учёных XIX века. Именно этот человек в своё время внёс колоссальный вклад в развитие молекулярно-кинетической теории.

Целеустремлённость Больцмана повлекла за собой то, что он стал одним из главных основателей статической механики.

Краткое описание

Людвиг был автором многогранной эргодической гипотезы, статистического метода в подробном толковании идеального газа, который был основан на уравнении физической кинетики. Больцман все свои силы вложил в то, чтобы общественность могла больше узнать о термодинамике.

В итоге он смог вывести теорему, где подробно описал статистический принцип для второго начала термодинамики.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Физики высоко ценят точку зрения Больцмана, так как в результате многочисленных попыток он смог описать теорию излучения. В своих работах он неоднократно затрагивал вопросы электродинамики, оптики. Имя этого талантливого учёного было увековечено сразу в двух физических константах.

В своё время Больцман был убеждённым и последовательным сторонником теории многогранного атомно-молекулярного строения вещества. В течение многих лет он был вынужден бороться с непониманием и отрицательными отзывами по отношению к его работам в научном сообществе того времени. Многие физики полагали, что молекулы и атомы представляют собой излишнюю абстракцию.

Коллеги Больцмана были настроены весьма консервативно, из-за чего у талантливого физика возникла депрессия, с которой он так и не смог справиться. Учёный покончил с собой.

На надгробном памятнике в знак огромной признательности к его заслугам было выбито уравнение S = k * logW. В этом уравнении константа k является произведением постоянной Больцмана. Для решения задач нужно соблюдать размерность физической величины.

Основное соотношение температуры и энергии

Традиционная модель идеального газа активно используется для правильного расчёта состояний реального вещества при давлениях и температурах, которые близки к нормальным показателям.

В этом случае размер молекулы существенно меньше объёма, который занят определённым количеством газа. А вот расстояние между частицами существенно превышает итоговый радиус их тесного взаимодействия. В кинетической теории чётко описаны все необходимые понятия уравнения.

Для поиска средней энергии таких частиц принято использовать следующую формулу: E cp = 3/2 * kT. Расшифровка выглядит следующим образом:

  • Т — температура.
  • Е — кинетическая энергия.
  • 3,2* k — используемый коэффициент пропорциональности.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

В этом случае используется число 3, которое характеризует количество степеней свободы поступательного движения молекул в трёх пространственных измерениях.

А вот величину k через некоторое время назвали постоянной Больцмана в честь австрийского физика. Этот термин призван показывать то, какую часть энергии или джоуля содержит в себе один градус.

Значение константы определяет, насколько именно может статистически увеличиваться энергия хаотического движения одного фрагмента идеального газа при повышении температуры на 1°. Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана — Больцмана.

Установить зависимость между константой и другими фундаментальными постоянными можно, приравняв величину средней энергии молекул, найденную разными способами.

Распределение молекул статистическим образом

Учащихся часто интересует вопрос, чему равно значение постоянной Больцмана, так как это направление имеет огромную ценность в физике.

Учёными было доказано, что состояние вещества макроскопического порядка представляет собой конкретный результат поведения огромной совокупности определённых частиц, так как именно с их помощью можно описать все существующие сегодня статистические методы.

Для решения элементарных задач обязательно нужно разобраться в том, каким именно образом происходит распределение энергетических параметров молекул газа.

В этом случае следует учесть несколько важных нюансов:

Постоянная Больцмана - Справочник студента

  1. На практике было доказано, что физический смысл постоянной Больцмана обязательно включает в себя своеобразное максвелловское распределение кинетических скоростей и энергий. Результат в полном объёме отображает то, что когда газ пребывает в состоянии равновесия, большинство молекул обладает определёнными скоростями, близкими к некоторой наиболее вероятной скорости. Для отображения массы молекулы предназначена определённая формула: v = √(2kT/m0).
  2. Практикуется применение статистики Больцмановского распределения потенциальных энергий для газов, пребывающих в поле каких-либо сил. К примеру, гравитация на нашей планете. Итоговый показатель во многом зависит от соотношения сразу двух факторов: притяжения к поверхности Земли, а также хаотического теплового движения частиц газа. Это значит, что чем ниже будет потенциальная энергия молекул, тем выше будет их итоговая концентрация.

Стоит учесть, что оба этих метода успешно объединяются в многофункциональное распределение Максвелла-Больцмана.

В этом случае учёные предусмотрели наличие экспоненциального множителя — е-Е/ kT. Большой буквой Е обозначают сумму кинетической и потенциальной энергии.

А вот kT обозначают среднюю энергию теплового движения, которая отлично управляется постоянной талантливого физика Больцмана.

Ключевые нюансы

Если при абсолютной температуре (Т) хранится однородный идеальный газ, то та энергия, что приходится на каждую поступательную степень свободы, обязательно будет равна формуле kT /2 (это утверждение подробно описано в распределении Максвелла).

Если рассматривать конкретную ситуацию на примере комнатной температуры, то итоговый показатель энергии будет находиться в пределах 2.07 * 10-21 Дж (0.013 эВ).

В результате проведённых исследований удалось доказать, что в одноатомном идеальном газе каждый отдельный атом обладает сразу тремя степенями свободы. Данные соответствуют трем пространственным осям, благодаря чему на каждый атом приходится энергия, которая равна формуле 3/2 kT.

Правильно вычислить среднеквадратичную скорость атомов можно только в том случае, если изначально знать реальную тепловую энергию. Используемые данные должны быть обратно пропорциональны квадратичному корню атомной массы.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

В учебниках по физике содержится информация о том, что стандартная среднеквадратичная скорость при комнатной температуре может варьироваться от 1379 м/с (утверждение уместно по отношению к гелию) до 240 м/с (ксенон). Ситуация немного усложняется в том случае, если речь касается молекулярного газа.

Пример: пять степеней свободы имеет двухатомный газ (колебания атомов в молекуле отсутствует только в том случае, если температура окружающей среды кардинально снижена).

Экспертами было доказано, что именно энтропия термодинамической системы может измеряться как натуральный логарифм от числа разных микросостояний (V), которые в точности соответствуют конкретному микроскопическому состоянию (чаще всего это утверждение касается состояния с заданной полной энергией).

Для решения задачи лучше воспользоваться этой формулой: S = k ln V. Постоянная Больцмана отображена коэффициентом пропорциональности (k). Определяющая связь между микроскопическими (V) и макроскопическими состояниями (S) отлично выражает главную идею многогранной статистической механики.

Способы нахождения постоянной Больцмана

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Физика является интересной и многогранной наукой. Для решения поставленных задач часто используется постоянная Больцмана. Формула имеет свои особенности, но для изучения всех нюансов понадобится реальный эксперимент.

Для этого необходимо взять обычное зеркало и подвесить его в воздухе при помощи упругой нитки. Можно представить, что созданная система зеркало-воздух пребывает в стабильном состоянии, которое ещё называется статистическим равновесием.

Крошечные молекулы воздуха ударяют в поверхность зеркала, которое на практике ведёт себя как броуновская частица. С учётом подвешенного состояния во время эксперимента можно наблюдать вращательные колебания вокруг определённой оси, которая совпадает с вертикально направленной нитью.

После проделанных манипуляций нужно направить луч света на поверхность зеркала. Даже при минимальных поворотах и вращающихся движениях зеркала отражающийся луч будет существенно смещаться. Благодаря этому, есть возможность измерить вращательные колебания объекта.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Для обозначения модуля кручения нужно использовать большую букву Р. Момент инерции зеркала по отношению к основной оси вращения можно записать как В, а вот угол поворота зеркала — как Т. Недостатком этого примера можно считать то, что сила упругости стремится вернуть зеркало в равновесное положение.

Если умножить обе части на Т и проинтегрировать результат, то в итоге можно будет получить следующий результат: Р ≈ 10-15 Н * м; ≈ 4 ⋅ 10 −6. Если знать основы многогранного броуновского движения, то в итоге можно будет найти реальную постоянную при помощи измерения макропараметров.

Существующая энергия равномерно распределяется по степеням свободы на каждую отдельную её степень. Это значит, что на каждую степень будет приходиться равная кинетическая энергия: =½kT.

Для правильного вычисления средней энергии принято использовать следующую элементарную формулу: =i/2kT, где i=m post +m υr +2m kol.

Решение этой задачи выглядит следующим образом:

  • m post = 3, m υr = 3, а это значит, что m kol = 3N − 6;
  • i = 6 + 6N — 12 = 6N − 6;
  • = 6N − 6/2kT = (3N − 3) kT.

Решение этой задачи является элементарным, но это утверждение актуально только в том случае, если учащийся заранее разобрался со всеми тонкостями. После проведённых манипуляций можно определить, что средняя энергия молекулы будет составлять = (3N − 3) kT.

Физическая константа

Этот раздел физики нельзя оставлять без внимания. Экспертами неоднократно было доказано, что формула Больцмана относится к категории фундаментальных констант.

Если учесть все нюансы, то в итоге можно определить характеристики микроскопических явлений молекулярного уровня с параметрами процессов, которые можно наблюдать в макромире.

Константа Больцмана входит в ряд важных уравнений в физике.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

На сегодняшний день всё ещё неизвестно, существует ли в науке какой-либо физический принцип, на основании которого можно было бы вывести необходимую формулу исключительно теоретически.

А это значит, что в качестве меры соответствия кинетической энергии частиц можно было бы использовать другие величины и математические единицы вместо привычных градусов. Тогда численное значение константы имело бы совершенно другой показатель, но она по-прежнему оставалась бы постоянной величиной.

Если рассматривать примеры других фундаментальных величин аналогичного принципа со стандартным зарядом и постоянной гравитационной, то наука воспримет существующую константу Больцмана как данность и будет использовать её для теоретического описания протекающих на планете физических процессов.



В конце 2011 года состоялась Генеральная конференция по весам и мерам, которая приняла резолюцию. В документах было подробно описано то, что нужно выполнить полноценную ревизию Международной системы единиц, чтобы иметь возможность зафиксировать значение постоянной. Такая фиксация была напрямую связана со стремлением переопределить конкретную единицу термодинамической температуры кельвин.

Источник: https://1001student.ru/fizika/postoyannaya-bolcmana.html

Постоянная Больцмана: значение и физический смысл :

Как точная количественная наука, физика не обходится без набора очень важных постоянных, входящих в качестве универсальных коэффициентов в уравнения, устанавливающие связь между теми или иными величинами. Это фундаментальные константы, благодаря которым подобные соотношения приобретают инвариантность и способны объяснять поведение физических систем на различном масштабе.

К числу таких параметров, характеризующих присущие материи нашей Вселенной свойства, относится и постоянная Больцмана – величина, входящая в ряд важнейших уравнений. Однако прежде чем обращаться к рассмотрению ее особенностей и значения, нельзя не сказать нескольких слов об ученом, чье имя она носит.

Людвиг Больцман: научные заслуги

Один из крупнейших ученых XIX столетия, австриец Людвиг Больцман (1844–1906) внес существенный вклад в развитие молекулярно-кинетической теории, став одним из создателей статистической механики. Был автором эргодической гипотезы, статистического метода в описании идеального газа, основного уравнения физической кинетики.

Много работал над вопросами термодинамики (H-теорема Больцмана, статистический принцип для второго начала термодинамики), теории излучения (закон Стефана – Больцмана). Также затрагивал в своих работах некоторые вопросы электродинамики, оптики и других разделов физики.

Имя его увековечено в двух физических константах, речь о которых пойдет ниже.

Людвиг Больцман был убежденным и последовательным сторонником теории атомно-молекулярного строения вещества. На протяжении многих лет он вынужден был бороться с непониманием и неприятием этих идей в научном сообществе того времени, когда многие физики полагали атомы и молекулы излишней абстракцией, в лучшем случае условным приемом, служащим для удобства расчетов.

Мучительное заболевание и нападки консервативно настроенных коллег спровоцировали у Больцмана тяжелую депрессию, не вынеся которой, выдающийся ученый покончил с собой. На могильном памятнике, над бюстом Больцмана, как знак признания его заслуг, выбито уравнение S = k∙logW – один из результатов его плодотворной научной деятельности.

Константа k в этом уравнении – постоянная Больцмана.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Энергия молекул и температура вещества

Понятие температуры служит для характеристики степени нагретости того или иного тела. В физике применяется абсолютная шкала температур, в основу которой положен вывод молекулярно-кинетической теории о температуре как о мере, отражающей величину энергии теплового движения частиц вещества (имеется в виду, конечно, средняя кинетическая энергия множества частиц).

Как принятый в системе СИ джоуль, так и эрг, используемый в системе СГС, – слишком большие единицы для выражения энергии молекул, да и практически было весьма затруднительно измерять температуру подобным образом. Удобной единицей температуры является градус, а измерение проводится опосредованно, через регистрацию изменяющихся макроскопических характеристик вещества – например, объема.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Как соотносятся энергия и температура

Для расчета состояний реального вещества при температурах и давлениях, близких к нормальным, с успехом используется модель идеального газа, то есть такого, размер молекулы которого много меньше объема, занимаемого некоторым количеством газа, а расстояние между частицами значительно превышает радиус их взаимодействия.

Исходя из уравнений кинетической теории, средняя энергия таких частиц определяется как Eср = 3/2∙kT, где E – кинетическая энергия, T – температура, а 3/2∙k – коэффициент пропорциональности, введенный Больцманом.

Число 3 здесь характеризует количество степеней свободы поступательного движения молекул в трех пространственных измерениях.

Величина k, которую впоследствии в честь австрийского физика назвали константой Больцмана, показывает, какую часть джоуля или эрга содержит в себе один градус. Иными словами, ее значение определяет, насколько увеличивается статистически, в среднем, энергия теплового хаотического движения одной частицы одноатомного идеального газа при повышении температуры на 1 градус.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Во сколько раз градус меньше джоуля

Численное значение этой константы можно получить различными способами, например, через измерение абсолютной температуры и давления, используя уравнение идеального газа, или с применением модели броуновского движения. Теоретическое выведение данной величины на современном уровне знаний не представляется возможным.

Постоянная Больцмана равна 1,38 × 10-23 Дж/К (здесь К – кельвин, градус абсолютной температурной шкалы).

Для коллектива частиц в 1 моле идеального газа (22,4 литра) коэффициент, связывающий энергию с температурой (универсальная газовая постоянная), получается умножением константы Больцмана на число Авогадро (количество молекул в моле): R = kNA, и составляет 8,31 Дж/(моль∙кельвин).

Однако, в отличие от последней, константа Больцмана носит более универсальный характер, поскольку входит и в другие важные соотношения, а также сама служит для определения еще одной физической постоянной.

Статистическое распределение энергий молекул

Поскольку состояния вещества макроскопического порядка представляют собой результат поведения большой совокупности частиц, они описываются с помощью статистических методов. К последним относится и выяснение того, как распределяются энергетические параметры молекул газа:

  • Максвелловское распределение кинетических энергий (и скоростей). Оно показывает, что в газе, пребывающем в состоянии равновесия, большинство молекул обладает скоростями, близкими к некоторой наиболее вероятной скорости v = √(2kT/m0), где m0 – масса молекулы.
  • Больцмановское распределение потенциальных энергий для газов, находящихся в поле каких-либо сил, например гравитации Земли. Оно зависит от соотношения двух факторов: притяжения к Земле и хаотического теплового движения частиц газа. В итоге чем ниже потенциальная энергия молекул (ближе к поверхности планеты), тем выше их концентрация.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Оба статистических метода объединяются в распределение Максвелла – Больцмана, содержащее экспоненциальный множитель e–E/kT, где E – сумма кинетической и потенциальной энергий, а kT – уже известная нам средняя энергия теплового движения, управляемая постоянной Больцмана.

Константа k и энтропия

В общем смысле энтропию можно охарактеризовать как меру необратимости термодинамического процесса. Эта необратимость связана с рассеянием – диссипацией – энергии. При статистическом подходе, предложенном Больцманом, энтропия является функцией количества способов, которыми может быть реализована физическая система без изменения ее состояния: S = k∙lnW.

Здесь постоянная k задает масштаб роста энтропии с увеличением этого количества (W) вариантов реализации системы, или микросостояний. Макс Планк, который привел данную формулу к современному виду, и предложил дать константе k имя Больцмана.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Закон излучения Стефана – Больцмана

Физический закон, устанавливающий, как энергетическая светимость (мощность излучения на единицу поверхности) абсолютно черного тела зависит от его температуры, имеет вид j = σT4, то есть тело излучает пропорционально четвертой степени своей температуры. Этот закон используется, например, в астрофизике, так как излучение звезд близко по характеристикам к чернотельному.

В указанном соотношении присутствует еще одна константа, также управляющая масштабом явления. Это постоянная Стефана – Больцмана σ, которая равна приблизительно 5,67 × 10-8 Вт/(м2∙К4). Размерность ее включает кельвины – значит, ясно, что и здесь участвует константа Больцмана k.

Действительно, величина σ определяется как (2π2∙k4)/(15c2h3), где c – скорость света и h – постоянная Планка.

Так что больцмановская константа, сочетаясь с другими мировыми постоянными, образует величину, опять-таки связывающую между собой энергию (мощность) и температуру – в данном случае применительно к излучению.

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Физическая сущность константы Больцмана

Выше уже отмечалось, что постоянная Больцмана относится к числу так называемых фундаментальных констант. Дело не только в том, что она позволяет установить связь характеристик микроскопических явлений молекулярного уровня с параметрами процессов, наблюдаемых в макромире. И не только в том, что эта константа входит в ряд важных уравнений.

В настоящее время неизвестно, существует ли какой-либо физический принцип, на основе которого она могла бы быть выведена теоретически. Иными словами, ни из чего не следует, что значение данной константы должно быть именно таким.

Мы могли бы в качестве меры соответствия кинетической энергии частиц использовать иные величины и иные единицы вместо градусов, тогда численное значение константы было бы другим, но она осталась бы постоянной величиной.

Наряду с прочими фундаментальными величинами такого рода – предельной скоростью c, постоянной Планка h, элементарным зарядом e, гравитационной постоянной G, – наука принимает константу Больцмана как данность нашего мира и использует для теоретического описания протекающих в нем физических процессов.

Источник: https://www.syl.ru/article/436831/postoyannaya-boltsmana-znachenie-i-fizicheskiy-smyisl

Лабораторная работа по физике "Определение постоянной Стефана-Больцмана"

  • Вид работы: Лабораторная работа
  • Предмет: Физика
  • Тема: «Определение постоянной Стефана-Больцмана»

Краткое теоретическое содержание работы

Интегральной излучательной способностью R называется величина, равная количеству энергии излучаемой ежесекундно единицей поверхности тела по всем направлениям с учетом всех длин волн испускаемых телом

Спектральной излучательной способностью rλ называется величина, равная количеству энергии излучаемой ежесекундно с единицы поверхности тела по всем направлениям с длинами волн рассчитанная на единичный интервал длин волн

Закон Стефана – Больцмана выражается формулой:

R_0=σT^4

  • где σ — постоянная Стефана-Больцмана

Энергетическая светимость реальных тел выражается формулой:

R=a_T σT^4

  • где aT — коэффициент черноты

Принцип работы пирометра с исчезающей нитью:

  1. Основан на сравнении (визуальном) спектральных излучательных способностей раскаленной нити лампы пирометра и исследуемого тела при той же длине волны.
  2. Оптическая схема пирометра
  3. Обозначения:
  4. 1 — Светофильтр
    2 — Нить лампы
    3 — Объектив
    4 — Миллиамперметр
    5 — Окуляр
  5. 6 — Реостат

Нагреваемым телом служит Окись нихрома (пластинка)

Расчётные формулы

Постоянная Стефана – Больцмана:

Ответ в течение 5 минут!Без посредников!

где

  • I — Сила тока
  • U — Напряжение на пластинке
  • αT — Коэффициент черноты данного тела
  • S — Поверхность излучателя
  • T — Истинная температура

Постоянная Планка:

где

  • k — Постоянная Больцмана
  • c — Скорость света в вакууме
  • σ — Постоянная Стефана-Больцмана

График зависимости истинной температуры T от яркостной Tяр:

Результаты расчётов

  • σ1 = (17∙1,25)/(0,95∙35∙〖10〗^(-6)∙〖1248〗^4 )=4,78∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)
  • σ2 = (18∙1,33)/(0,95∙35∙〖10〗^(-6)∙〖1298〗^4 )=5,09∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)
  • σ3 = (19∙1,39)/(0,95∙35∙〖10〗^(-6)∙〖1348〗^4 )=5,43∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)
  • ((4,78+5,09+5,43)∙〖10〗^(-8))/3=5,11∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)
  • ∛((2∙(3,14)^5∙(1,38∙〖10〗^(-23) )^4)/(15∙(3∙〖10〗^8 )^2∙5,1∙〖10〗^(-8) ))=6,864∙〖10〗^(-34) (Дж∙с)

Обработка результатов измерений

Формула относительной погрешности измерений:

  • σ_сист=σ ̅∙√(((∆I/I)^2+(∆U/U)^2+(∆S/S)^2+(∆T/T)^2 ) )
  • σ_сист=5,11∙〖10〗^(-8)∙√(((0,5/17)^2+(0,005/1,25)^2+((5,5∙〖10〗^(-6))/(35∙〖10〗^(-6) ))^2+((4∙0,5)/1248)^2 ) )=2,94∙〖10〗^(-9)
  • σ_сл=t_(p,N) √((∑▒(σ ̅-σ_i )^2 )/(N(N-1))=) 4,3∙√((0,221∙〖10〗^(-16))/3(3-1) =8,28)∙〖10〗^(-9) (Вт/м^2∙К^4 )
    ∆σ=√((σ_сл )^2+(σ_сист )^2 )=√((8,28∙〖10〗^(-9) )^2+(2,94∙〖10〗^(-9) )^2 )=8,78∙〖10〗^(-9) (Вт/м^2∙К^4 )

где

Среднее значение постоянной Стефана-Больцмана

  • ΔI — погрешность силы тока
  • ΔU — погрешность напряжения
  • ΔS — погрешность площади пластинки
  • ΔT — погрешность истинной температуры

ΔS = ∆S=S∙√(((∆l/l)^2+(∆d/d)^2 ) )=35∙〖10〗^(-6)∙√(((0,05/1)^2+(0,05/35)^2 ) )=5,52 〖мм〗^2

где

  • Δl — погрешность длины пластинки
  • Δd — погрешность толщины пластинки

Результаты расчётов:

  • ΔI = 0,5 А
  • ΔU = 0,005 В
  • Δl = 0,05 мм
  • Δd = 0,05 мм
  • ΔS = 5,52•10-6 м
  • ΔT = 0,5 К

8,78∙〖10〗^(-9) ( Вт/м^2∙К^4 )

Окончательный результат

  • (5,11±0,87)∙〖10〗^(-8) при доверительной вероятности α = 0.95.

Абсолютная погрешность

0,87/5,11∙100%=17 %

Выводы

Сделаем такие выводы:

Ознакомились с новым для нас прибором – пирометром с исчезающей нитью.

Определили постоянную Больцмана:

  • σ=(5,11±0,87)∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)

А табличное значение:

  • σ_табл=5,67∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)

Лежит в области погрешности.

И определили постоянную Планка:

  • h=6,864∙〖10〗^(-34) (Дж∙с)

Они практически сравнима с табличным:

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Постоянная Больцмана - Справочник студента

Прикрепленные файлы:

Ответ в течение 5 минут!Без посредников!

reportO14

Администрация сайта не рекомендует использовать бесплатные работы для сдачи преподавателю. Эти работы могут не пройти проверку на уникальность. Узнайте стоимость уникальной работы, заполните форму ниже: Узнать стоимость
Скачать файлы:

Источник: https://xn--d1aux.xn--p1ai/laboratornaya-rabota-opredelenie-postoyannoj-stefana-boltsmana/

Постоянная Больцмана

Постоянная Больцмана перекидывает мост из макромира в микромир, связывая температуру с кинетической энергией молекул.

Людвиг Больцман — один из создателей молекулярно-кинетической теории газов, на которой зиждется современная картина взаимосвязи между движением атомов и молекул с одной стороны и макроскопическими свойствами материи, такими как температура и давление, с другой. В рамках такой картины давление газа обусловлено упругими ударами молекул газа о стенки сосуда, а температура — скоростью движения молекул (а точнее, их кинетической энергией).Чем быстрее движутся молекулы, тем выше температура.

Постоянная Больцмана дает возможность напрямую связать характеристики микромира с характеристиками макромира — в частности, с показаниями термометра. Вот ключевая формула, устанавливающая это соотношение:

    1/2 mv2 = kT

где m и v — соответственно масса и средняя скорость движения молекул газа, Т — температура газа (по абсолютной шкале Кельвина), а k — постоянная Больцмана.

Это уравнение прокладывает мостик между двумя мирами, связывая характеристики атомного уровня (в левой части) с объемными свойствами (в правой части), которые можно измерить при помощи человеческих приборов, в данном случае термометров.

Эту связь обеспечивает постоянная Больцмана k, равная 1,38 x 10–23 Дж/К.

Раздел физики, изучающий связи между явлениями микромира и макромира, называется статистическая механика. В этом разделе едва ли найдется уравнение или формула, в которых не фигурировала бы постоянная Больцмана. Одно из таких соотношений было выведено самим австрийцем, и называется оно просто уравнение Больцмана:

    S = k log p + b

где S — энтропия системы (см. Второе начало термодинамики), p — так называемый статистический вес (очень важный элемент статистического подхода), а b — еще одна константа.

Всю жизнь Людвиг Больцман в буквальном смысле опережал свое время, разрабатывая основы современной атомной теории строения материи, вступая в яростные споры с подавляющим консервативным большинством современного ему научного сообщества, считавшего атомы лишь условностью, удобной для расчетов, но не объектами реального мира. Когда его статистический подход не встретил ни малейшего понимания даже после появления специальной теории относительности, Больцман в минуту глубокой депрессии покончил с собой. Уравнение Больцмана высечено на его надгробном памятнике.

Источник: https://elementy.ru/trefil/21104/Postoyannaya_Boltsmana

Ссылка на основную публикацию