Перпендикулярность прямой и плоскости — справочник студента

      Определение. Прямой, перпендикулярной к плоскости, называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.

      Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.

      Доказательство. Рассмотрим сначала следующий случай.

      Предположим, что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  a  и   b, лежащим на плоскости  α  и проходящим через точку O. Докажем, что в этом случае прямая  p перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей на плоскости  α  и проходящей через точку  O.

      С этой целью отметим на прямой  a  произвольную точку  A, а на прямой  b  произвольную точку  B  (рис. 1).

Рис.1

      Проведем прямую  AB  и обозначим буквой  C  точку пересечения прямых  AB  и  c. Отметим на прямой  p  произвольную точку  P  и обозначим символом  P'  точку, расположенную на прямой   p  так, чтобы точка  O  оказалась серединой отрезка  PP'. Поскольку прямые OA  и OB   являются серединными перпендикулярами к отрезку  PP', то справедливы равенства

AP = AP',       BP = BP'

      Из этих равенств, а также поскольку отрезок  AB  является общей стороной треугольников  APB  и  AP'B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники  APB  и  AP'B  равны. Следовательно,

•       Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник  PBС  равен треугольнику   P'BС   (BP = BP', , сторона   BС  — общая). Следовательно,
• СP = СP',
• откуда вытекает, что точка  С  лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  PP'.
•       Таким образом, прямые   PO   и   c   перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.
•       Теперь перейдем к общему случаю.

      Предположим, что что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,   перпендикулярна к прямым   a   и   b,   лежащим на плоскости   α .  Докажем, что в этом случае прямая   p   перпендикулярна любой другой прямой   c,   лежащей плоскости   α   (рис. 2).

1. Рис.2
2.       С этой целью проведем через точку O прямые   a',   b'   и   c'   соответственно параллельные прямым параллельные прямым   a,   b   и   c  .
3.       По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым   a'   и   b',   проходящим через точку   O,   и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.
4.       Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.

      Замечание. Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.

      Так, например, на рисунке 1 точка   O   является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α .

Свойства перпендикуляра к плоскости

      Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.

Рисунок	Свойство
	Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка   O   — основание перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α,  то длину отрезка   PO   называют расстоянием от точки   P   до плоскости   α.
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка  P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки   P на плоскость α , также лежит в плоскости β.

Свойство:Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α, то длину отрезка PO называют расстоянием от точки   P   до плоскости   α.

Свойство:Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны параллельны

Свойство:Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

Свойство:Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Свойство:Если плоскости   α   и   β   перпендикулярны, а точка   P   лежит на плоскости   β,   то и перпендикуляр   PO,   опущенный из точки   P   на плоскость   α ,   также лежит в плоскости   β.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolvesh.htm

Перпендикулярность в пространстве

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

• Перпендикулярность в пространстве могут иметь:
• 1. Две прямые
• 2. Прямая и плоскость
• 3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых

Определение:

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними  .

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая   перпендикулярна прямой  , хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми   и  , нужно через произвольную точку   на прямой a провести прямую  . И тогда угол между   и   (по определению!) будет равен углу между   и  .

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае – если окажутся перпендикулярны прямые   и  , то нужно считать перпендикулярными прямые   и  .

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб  . И тебя просят найти угол между прямыми   и  . Эти прямые не пересекаются – они скрещиваются. Чтобы найти угол между   и  , проведём  .

Из-за того, что   — параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что  . А из-за того, что   – квадрат, выходит, что  . Ну, и значит  .

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Вот картинка:

прямая   перпендикулярна плоскости  , если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и  , и  , и  , и даже  ! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Формулируем:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Оцени, как здорово:

если найдутся всего лишь две прямые (  и  ) в плоскости  , которым перпендикулярна прямая  , то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости  , то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой  ). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

И опять рассмотрим пример.

Пусть нам дан правильный тетраэдр  .

Задача: доказать, что  . Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

давай отметим середину   ребра   и проведём   и  . Это медианы в   и  . Треугольники – правильные   и  .

Вот оно, чудо: получается, что  , так как   и  . И далее,   всем прямым в плоскости  , а значит, и  . Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен  .

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (  и  ) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (  и  ) к линии пересечения этих плоскостей равен  . И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей

Давай сформулируем:

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

• Если  , то   проходит через перпендикуляр к  .

И

• Если   проходит через перпендикуляр к  , то  .

(естественно, здесь   и   — плоскости).

Теорема о трёх перпендикулярах

1. Эта теорема – одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.
2. Так что нужно быть очень внимательным!
3. Итак, формулировка:

Прямая  , не лежащая в плоскости  , перпендикулярна прямой  , лежащей в плоскости  , тогда и только тогда, когда проекция   прямой a перпендикулярна прямой  .

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

1.  

2.  .

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача: дана правильная шестиугольная пирамида  . Найти угол между прямыми   и  .

• Решение:
• Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая   — проекция прямой  .
• Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике  . Применяем теорему о трёх перпендикулярах:
• И пишем ответ:  .

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Перпендикулярность двух прямых.
2. Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними  .
3. Перпендикулярность прямой и плоскости.
4. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

5. Перпендикулярность плоскостей.
6. Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен  .
7. Критерий перпендикулярности плоскостей.

8. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

9. Теорема о трех перпендикулярах:

Прямая  , не лежащая в плоскости  , перпендикулярна прямой  , лежащей в плоскости  , тогда и только тогда, когда проекция   прямой a перпендикулярна прямой  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

• Стать учеником YouClever,
• Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
• А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/perpendikulyarnost-v-prostranstve-2

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей, двух прямых

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

Общие сведения

Перпендикулярность прямой и плоскости — частный случай пересечения прямой с плоскостью.

Прямая перпендикулярна плоскости в том случае, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости. В качестве пересекающихся прямых следует использовать горизонталь и фронталь плоскости.

На рис.15 прямая l перпендикулярна плоскости заданной треугольником ABC. Следовательно, на фронтальной плоскости проекций П2 фронтальная проекция прямой (l2) перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (f2), а горизонтальная проекция прямой (l1) перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (h1).

• Рис. 15
• Определение расстояний от точки до плоскости в начертательной геометрии осуществляют на основании свойства перпендикулярности прямой и плоскости. Решение задачи распадается на три этапа:
• 1) в плоскости проводят горизонталь и фронталь (на рис.16 плоскость задана горизонталью и фронталью);
• 2) из точки А опускают перпендикуляр l на плоскость (l2 ^ f2, l1 ^ h1);
• 3) построить точку К пересечения перпендикуляра l с плоскостью:
• а) l Î d, d ^ П2;
• б) d Ç a = [1- 2];
• в) [l-2] Ç l = K
• 4) методом прямоугольного треугольника определить натуральную величину отрезка АК (отрезок А°К2).

1. Рис. 16
2. Если же требуется найти точку X, удаленную от плоскости на определенное расстояние, то необходимо:
3. 1) из точки А (рис.17), расположенной в плоскости треугольника ABC, восставить перпендикуляр AM произвольной длины (А2М2 ^ f2 ,А1М1 ^ h1);
4. 2) методом прямоугольного треугольника найти натуральную величину перпендикуляра AM (A1M°);
5. 3) на отрезке A1M° от точки A1 отложить отрезок A1L° = 30 мм и спроецировать точку L° на проекции перпендикуляра (проекции A1L1 и A2L2).

Рис. 17

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит перпендикуляр к другой плоскости.

На рис.18 плоскость b заданная пересекающимися прямыми l и k, перпендикулярна плоскости a, заданной следами. Прямая l является перпендикуляром к плоскости a, а прямая к — прямой общего положения:

a ^ b (l Ç k), т.к. l ^ a (l1 ^ h°1, l2 ^ f°2).

Рис. 18

Примеры решения задач

Задача №1. Через прямую DE провести плоскость перпендикулярную ABC. Построить линию пересечения плоскостей, обозначив видимость (пример на рис. 19).

• 
• Рис. 19
• Решение задачи состоит из трех этапов.

1. Для построения плоскости, перпендикулярной к плоскости АВС и проходящей через прямую DE, необходимо через точку D провести прямую, перпендикулярную к фронтали и горизонтали DL. Эти две пересекающиеся прямые составляют плоскость, перпендикулярную к плоскости АВС.

2. Строят линию пересечения двух плоскостей способом построения точек пересечения прямой с плоскостью (определение точки К). Прямую DL заключают во фронтально-проецирующую плоскость П2 и определяют линию пересечения плоскостей Р и АВС – это линия 12.

Точка К – точка пересечения линий DL и 12. Прямую DЕ заключают в горизонтально-проецирующую плоскость Q и определяют линию пересечения плоскостей Q и АВС – это линия 34. Точка М – результат пересечения линий DЕ и 34.

Прямая КМ является линией пересечения плоскостей.

3. Определяют видимость пересекающихся плоскостей методом конкурирующих точек. Для этого выбирают две скрещивающиеся на фронтальной плоскости проекций прямые DL и АВ. Точки 1 и 5, принадлежащие им, совпадают. Видимой будет та точка, у которой координата Y больше.

Значит, на фронтальной плоскости проекций прямая DL до линии пересечения будет видима.

Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций выбирают две точки 4 ≡ 6 принадлежащие DE и СВ, координата Z точки 4 больше – значит, прямая CВ до линии пересечения будет видимой.

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________

Вопросы для подготовки

1. Каково условие взаимной перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, двух прямых?

2. Какое условие перпендикулярности прямой к плоскости на комплексном чертеже? Как построить проекции прямой, перпендикулярной плоскости?

3. По какому алгоритму в общем случае решается задача построения двух взаимно перпендикулярных плоскостей?

Задачи

4.1. Определить расстояние от точки К до плоскости S частного положения.

4.2. Провести через точкуК прямуюm перпендикулярную к плоскостиS(АВС).	4.3. Провести через точкуК плоскость S(h, f ),перпендикулярную к прямой m.

Записать условие перпендикулярности прямой и плоскости: _____________________________

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________

4.4 Определить расстояние от точки К до плоскости S(АВС). Записать план решения задачи.

4.5. Построить горизонтальную проекцию прямой b, перпендикулярной к прямой а. К- точка пересечения прямых а и b.	4.6. Достроить недостающую проекцию треугольника АВС, плоскость которого перпендикулярна к плоскости S(S1, S2).

5. Способы преобразования чертежа. Замена плоскостей проекций

Общие сведения

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции.

Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи.

Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положении.

Рассмотрим способ замены плоскостей проекций на четырёх примерах.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/7x4dbb.html

Урок «Перпендикулярность прямой и плоскости»

• ГПОУ «Усинский политехнический техникум»
• Открытый урок по геометрии
• Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости».

Выполнил: преподаватель математики Мельникова Е.А.

1. Усинск, 2016 г.
2. Тип урока: Урок-семинар
3. Цели урока:
4. Обобщить, закрепить и систематизировать знания обучающихся по данной теме, умения применять эти знания при решении задач; показать практическую значимость изучаемого материала; изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве; показать межпредметную связь.
5. Воспитывать культуру устной и письменной речи, способствовать воспитанию эстетического вкуса, прививать интерес к предмету математики.
6. Развивать пространственное и логическое мышление.
7. Оборудование к уроку: карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи, задания группам, ПК, проектор.
8. План урока.

I. Организация учащихся.

Обучающимся предлагаются карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи и производится деление на 3 группы.

II. Постановка целей и задач урока.

Говорят, что математика- наука неинтересная, что математика — сухая наука, что о ней можно говорить только в кабинете математики, на уроке. Нет, жизнь доказывает обратное: математика повсюду вокруг нас. Послушайте, что пишет об этом Роман Бухараев в стихотворении “Геометрия трав”.

Математик несбывшийся, странник, Оглянись, удивляясь стократ: В травах — срез волчеца — пятигранник, А в сеченьи душицы – квадрат. Все на свете покажется внове Под гольцом, чья вершина в снегу: Водосбор — треуголен в основе На цветущем альпийском лугу! Где же круг? Возле иглистой розы. Там, где луг поднебесный скалист, Вижу, с ветром играет березы

Но я соглашусь с тем, что математика наука точная, требующая четкости определений и доказательства фактов. И поэтому сейчас предлагаю от лирики перейти к практике.

• Вы изучили очень важную тему геометрии “Перпендикулярность прямой и плоскости”. В результате изучения этой темы вы должны:
• знать определения перпендикулярных прямых и прямой, перпендикулярной к плоскости.
• уметьформировать и доказывать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Решать задачи типа 119, 121, 126, 128, 131 (уч. “Геометрия 10-11”, автор Атанасян Л.С.)

Преподаватель знакомит с целями урока.

III. Закрепление знаний и умений.

На уроке будут работать 3 группы «Теоретики», «Практики», «Исследователи».

Преподаватель дает задание группам, приготовленное на листах. Указывает на порядок оценивания.

Перед началом работы групп фронтальная проверка готовности.

Каково может быть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве? (Прямые могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.)

Какие две прямые называют параллельными? (Параллельные  прямые  называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.)

Какие две прямые называют скрещивающимися? (Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.)  

Если угол между двумя прямыми 900 , как их называют? (Перпендикулярные прямые)

Какую прямую называют перпендикулярной к плоскости? (Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Верно ли утверждение:

a) Любая прямая перпендикулярная к плоскости, пересекает эту плоскость? (верно) b) Любая прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к этой плоскости? (неверно)

Прямая а параллельна прямой в и не пересекает плоскость ?. Может ли прямая в быть перпендикулярной к плоскости ? Ответ обоснуйте. (не может быть, т.к если прямая в будет перпендикулярной плоскости, то и прямая а тоже перпендикулярна плоскости, что невозможно, т.к по условию прямая а не пересекает плоскость, следовательно она параллельна плоскости )

Далее начинают работу группы.

1. Задания для группы «Теоретики».

Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

1. Дано:a ‖ b, a ⊥ c
2. Доказать: b ⊥ c
3. Доказательство:

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90о.

По условию, b ‖ a, а по построению а ‖ МА, поэтому b ‖ МА.

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90о, то есть b ⊥ с. Лемма доказана.

• Доказать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости.
• Теорема: (прямая) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
• Запись на доске и в тетрадях:
• Дано: а ‖ а1, а ⊥ α
• Доказать, что а1 ⊥ α
• Доказательство:

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.

Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α. Теорема доказана.

1. Теорема:(обратная) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
2. 
3. Дано: а ⊥ α, b ⊥ α
4. Доказать, что а ‖ b
5. Доказательство:
6. Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.

М ∊ b, M ∊b1, b1 ‖ a. По предыдущей теореме b1 ⊥ α.

Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают.

Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е.

b ∊ β, b1 ∊β, α β=c (невозможно)→ а ‖ b.

Сформировать и провести анализ доказательства признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости

По окончании группы «Теоретики» преподаватель предоставляет слово обучащемуся с исторической справкой «Провешивание прямой».

Для проведения длинных отрезков прямых (при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линий электропередач и т.д.) применяется способ, называемый провешиванием прямой, который заключается в использовании всех — шестов, имеющих длину около 2 м.

, заостренных с одного конца для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Если нужно провести прямую линию между двумя точками А и В, положение которых дано, то сначала в этих точках ставятся вехи; затем между ними устанавливается промежуточная веха С так, чтобы веха А и С закрывали веху В.

Необходимо, чтобы все вехи стояли вертикально. Правильность вертикального направления проверяется с помощью отвеса. Отвес — это шнур, на конце которого укреплен небольшой груз. Казалось бы, в этой простой процедуре провешивания прямой все ясно.

Но и здесь есть много вопросов, о которых следует подумать, а ответы на них дают изучение нашего курса и других дисциплин.

Во-первых, почему все отвесы мира смотрят в центр Земли, а с точки зрения геометрии- определяют прямую, перпендикулярную ее поверхности? Во-вторых, веха должна быть параллельна отвесу, и тогда она также будет перпендикулярна поверхности Земли. Таким образом, все вехи перпендикулярны поверхности Земли и, значит, параллельны между собой.

Такой способ получил название провешивание прямой на местности.  Слово «провешивание» — производное от слова «веха». 

2. Задания для группы «Практики».

Показать применение теории при решении задач № 126, 127, 128,131 (стр. 42 уч. “Геометрия 10-11 автор Атанасян Л.С.)

3. Задания для группы «Исследователи».

Изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве. Проверку осуществить с помощью таблицы.

• — Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и прямая b. Укажите взаимное расположение прямых а и b:
• Если b параллельна , то……
• Если b перпендикулярна , то ……

Если b параллельна или принадлежит , то…..

1. Если b перпендикулярна , то……
2. — Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и плоскость .
3. Если параллельна , то……
4. Если перпендикулярна , то ……

Если параллельна а или а принадлежит , то…..

• Если перпендикулярна , то……
• Приведите примеры окружающей нас обстановки, иллюстрирующие перпендикулярность прямой и плоскости.
• По окончании работы групп учащиеся приводят примеры расположения прямых в задачах по физике (межпредметная связь)

Вспомните о силе давления. Как она направлена? (Перпенд. плоскости поверхности).

Тело на горизонтальной поверхности. Как на любое тело на него действует сила тяжести mg? Каково ее направление?

Тело опущено в жидкость. На него оказывает действие выталкивающая сила. Каково ее направление?

IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

V. Домашнее задание.

П.15 – 16, вопросы 1, 2 (стр. 57), №116, 118.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/perpendikulyarnost_pryamoj_i_ploskosti_211659.html

5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах

• Видеоурок 1: Признак перпендикулярности прямой и плоскости
• Видеоурок 2: Теорема о трех перпендикулярах. Теория
• Видеоурок 3: Теорема о трех перпендикулярах. Задача
• Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах

Перпендикулярность прямой и плоскости

Давайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.

Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.

Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.

Свойства:

• Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.

• Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
• Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.

Наклонная

Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной.

Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.

На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.

Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.

АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.

Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией.

В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.

1. Теорема о трёх перпендикулярах
2. А теперь давайте нарисуем новый чертеж, на котором покажем перпендикуляр, наклонную, проекцию, а так же прямую, которая будет лежать на плоскости, и будет перпендикулярна наклонной и проекции.
3. На этом рисунке мы указали три перпендикулярные прямые: m, a1, a.
4. Если некоторая прямая m является перпендикулярной прямой к наклонной, то она будет перпендикулярна и к проекции этой наклонной.
5. Чтобы понять задачу, старайтесь её всегда визуализировать, например, с помощью карандашей.
6. Кроме специализированных задач, эта теорема Вам пригодиться, когда Вы будете решать задачи на сечения, или общей стереометрии:

Предыдущий урок

Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/719-524-perpendikulyarnost-pryamoy-i-ploskosti-priznaki-i-svoystva-perpendikulyar-i-naklonnaya-teorema-o-treh-perpendikulyarah.html

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости называются скрещивающимися. Прямая и плоскость в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.

• , так как 
• Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.
• = =

Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна  любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения.

1. Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.
2. .

Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.

Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную плоскость, — это отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Основание перпендикуляра — это его конец, лежащий в плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного от этой точки на плоскость.

Наклонная, проведенная из данной точки к данной плоскости, — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, который не является перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, который лежит в плоскости, — это основание наклонной.

Проекция наклонной — это отрезок, который соединяет основания перпендикуляра (точку С) и наклонной (точку А).

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

• Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.
• Так как , то .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

1. Предмет стереометрии
2. Многогранник
3. Призма
4. Параллелепипед
5. Объём тела
6. Свойства прямоугольного параллелепипеда
7. Пирамида
8. Цилиндр
9. Конус
10. Сфера и шар
11. Многогранники

Правило встречается в следующих упражнениях:

• 7 класс
• Задание 1187, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1209*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1219, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1224, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 3, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 5, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1248, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

1. © budu5.com, 2020
2. Пользовательское соглашение
3. Copyright
4. Нашли ошибку?
5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3594

Методическая разработка практического занятия по теме "Решение задач на перпендикулярность прямых и плоскостей" план-конспект занятия на тему

• Рыжкина Галина Анатольевна
• ГБОУ СПО Тольяттинский социально-экономический колледж
• преподаватель математики

Конспект практического занятия по дисциплине   ОДП.10. Математика

для студентов I курса специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет

1. Тема занятия «Решение задач на перпендикулярность прямых  и плоскостей»
2. Вид занятия: комбинированное, 2 часа
3. Цели  занятия: 

1. Образовательные – систематизировать, закрепить вопросы теории и отработать,

•       расширить навыки решения основных типов задач по теме «Перпендикулярность
•       прямых и плоскостей», создать  условия  контроля  усвоения  знаний  и  умений.
• 2.    Развивающие – развивать пространственное воображение, способствовать  формированию
•       умений  применять  приемы сравнения,  обобщения,  выявления  главного,  переноса
•       знаний  в  новую  ситуацию,  развитию  математического  кругозора,  мышления  и  речи;
•       побуждать к самоконтролю и взаимоконтролю.
• 3.    Воспитательные – поддерживать интерес к предмету, воспитывать познавательную
•        активность, способствовать формированию коммуникативной компетентности.  
•       Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично – поисковый.    
• Формы организации учебной деятельности: индивидуальная,  фронтальная, самопроверка,
• взаимопроверка,  групповая.
•         Результат обучения: После успешного завершения занятия студент должен:
•      – знать основные определения и теоремы по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»,
•         иметь представление о необходимости доказательств при обосновании этапов решения задачи      
•      – уметь выполнять чертежи по условию стереометрической задачи, понимать
•         стереометрические чертежи, находить на чертежах перпендикуляр, наклонную, проекцию,
•         линейный угол двугранного угла, вычислять расстояния между прямой и плоскостью;
•         применять ранее изученный теоретический материал для решения задач. обосновывать с
•         разумной степенью полноты решения задач и письменно оформлять их, уметь находить
•         нестандартные способы решения
•           Оборудование: компьютер, медиапроектор, экран
•       Наглядный материал: раздаточный материал для решения задач, презентация к уроку,
•       индивидуальные оценочные листы.

1.  Организационный момент — проверить готовности группы к занятию. Сообщить тему и

      поставить цели.

Вступительное слово преподавателя: Сегодня на практическом занятии мы обобщим полученные знания по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Закрепим теоретический материал при выполнении теста. Отработаем навыки решения основных типов задач по  теме при выполнении практических заданий.

 На следующем занятии контрольная работа по теме «Прямые и плоскости в пространстве», в которую включены задания, как на параллельность прямых и плоскостей, так и на перпендикулярность прямых и плоскостей.

На контрольной работе вы должны продемонстрировать умение выполнять чертежи по условию стереометрической задачи, находить на чертежах заданные элементы,  применять изученный теоретический материал для решения задач, письменно обосновывать решение, уметь  находить  нестандартные способы решения.

Поэтому, сегодня на занятии, активно работаем и при необходимости задаём вопросы преподавателю с тем, чтобы выяснить все ранее непонятые моменты. Перед вами индивидуальные оценочные листы, на которых вы должны указать свою фамилию.

В течение занятия вы будете вносить  в них оценки за каждый этап работы, по которым в конце занятия выведем итоговую оценку. Сегодня на занятии вы имеете возможность определить уровень своих знаний по данной теме, увидеть свои пробелы и определить на какие вопросы вам необходимо дома обратить внимание при подготовке к контрольной работе.

Повторение теоретического материала по теме.

   Первая часть домашнего задания студентов состояла в повторении теоретического материала по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» с использованием вопросов для самопроверки (приложение 1).

Студенты выполняют теоретический тест, сидя по одному за партой. По окончании работы меняются листами с сидящим за следующей партой студентом и осуществляют взаимопроверку, выставляя оценку в оценочные листы по предложенным критериям: 9-10 правильных ответа – оценка 3; 11-12 правильных ответа – оценка 4; 13 правильных ответа – оценка 5.

1. Теоретический тест (слайды 2-5)
2. 1.Закончите предложение:

Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2015/01/07/metodicheskaya-razrabotka-prakticheskogo-zanyatiya-po

Перпендикулярность прямых Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей Проверь себя Преподаватель математики ОГБОУ ПЛ 1 г.Иваново. — презентация

1 Перпендикулярность прямых Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей Проверь себя Преподаватель математики ОГБОУ ПЛ 1 г.Иваново Мочалова Е.В.

2 Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Обозначается a b Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. а b c

3 Перпендикулярные прямые в пространстве Т еорема. Если две пересекающиеся прямые в пространстве параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. Через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

5 Свойства : 1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой прямой. (a α b и a II b => b α) 2 Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны. (a α и b α => a II b) 3 Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости. (α II β и a α => a β)

6 Свойства : 4 Если две различные плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то эти плоскости параллельны. (a α и a β => a II β) 5 Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну. 6 Через любую точку прямой можно провести плоскость, перпендикулярную ей и притом только одну.

7 Перпендикуляр и наклонная Перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, — отрезок, лежащий на прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно плоскости, соединяющий данную точку с точкой плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием перпендикуляра.

Наклонная, проведенная из данной точки к плоскости, — любой отрезок, соединяющей данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

8 Перпендикуляр и наклонная Конец отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной. Свойства: 1 Перпендикуляр короче наклонной, проведенной из одной точки AO

9 Перпендикуляр и наклонная. 3.

Если из одной точки к одной плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, то: — равные наклонные имеют равные проекции (если AB=AC, то BO=CO); Если проекции наклонных равны, то сами наклонные равны (если BO= CO, то AB=AC); Большая наклонная имеет большую проекцию (если AB>AC, то BO>CO); Из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (если BO>CO, то AB>AC).

10 Перпендикуляр и наклонная. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. AO – расстояние от точки A до плоскости α.

12 Теорема о трех перпендикулярах Доказательство: 1)АВ- перпендикуляр, 2) Проводим СА´АВ. ( по свойству перпендикулярных прямой и плоскости) 3) АВ и А´С определяют 4) (признак перпендикулярности прямой и плоскости) 5) Еслито следовательно 6)Аналогично, если следовательно АС- наклонная,

13 Задача Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение: 1)А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью, то по теореме о трех перпендикулярах: SА- перпендикуляр к этой стороне О- центр окружности,S- точка на перпендикуляре 2 ) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, 3)По теореме Пифагора: где r-радиус вписанной окружности 4 ) 5 ) А О С В S

14 Перпендикулярность двух плоскостей Перпендикулярные плоскости – две пересекающиеся плоскости, для которых выполняется условие, что третья плоскость, перпендикулярная линии их пересечения, пересекает их по перпендикуляр-ным прямым. Плоскости α и β перпендику-лярны (α β), если плоскость Υ c, Υ пересека-ет α и β по взаимно перпендикулярным прямым a и b, (a b).

15 Признак перпендикулярности плоскостей Если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (если a α, a β, то α β).

16 Свойства перпендикулярных плоскостей 1. Любая плоскость, перпендикуляр-ная прямой пересечения перпенди-кулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

(если α β=c, α β, α Υ=a, γ β=b и γ c, то a b) 2. Если прямая лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна прямой их пересече-ния, то она перпендикулярна и другой плоскости.

(если α β, α β=b, a α и a b, то a β)

17 3. Через любую точку прост-ранства можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости 4 Две плоскости, перпендику-лярные третьей плоскости, или параллельны, или пересекаются по прямой, перпендикулярной третьей плоскости. Свойства перпендикулярных плоскостей

19 Двугранный угол – фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости называются гранями, а прямая, их ограничиваю-щая, — ребром двугранного угла. Двугранные углы. α и β – грани двугранного угла a – ребро двугранного угла

20 Двугранные углы.

Линейный угол двугранного угла – угол, являющийся разрезом этого двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру ( угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, лежащими на гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало ). Мера двугранного угла – мера соответствующего ему линейного угла. Мера двугранного угла находится в переделах от 0 до 180 градусов.

21 Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. Утверждение: две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

22 Проверь себя Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными? Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если плоскость перпендикулярна одной из двух …. прямых, то она,,,, другой прямой.

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости,,,,,, Что такое перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость? Расстояние от точки до плоскости – это … Что такое наклонная? Что такое проекция наклонной? Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах. Какие плоскости называются перпендикулярными? Признак перпендикулярности плоскостей.

Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1268386/