Определение функции распределения — справочник студента

Если среднее рассчитывается по данным малой выборки, то отклонение имеет распределение Стьюдента, называемое также t-распределением. Распределение Стьюдента близко к нормальному распределению, но отличается от него: концентрация отклонений в центральной части распределения меньше.

• Если случайная величина X1 распределена по нормальному закону, а случайная величина X2 распределена по закону Хи-квадрат с v степенями свободы, тогда случайная величина, получаемая как
• ,
• имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с v степенями свободы.

Преимущество распределения Стьюдента заключается в его независимости от параметров генеральной совокупности: оно зависит только от объёма выборки n. В случае малых выборок (с объёмом менее 30 наблюдений) для определения доверительного интервала среднего значения нельзя использовать критические значения стандартизированного нормального распределения, так как это приводит к грубым оценкам.

Нередко проведение каждого наблюдения настолько сложно, трудоёмко и связано с высокой стоимостью, что невозможно многократное повторение эксперимента. Чтобы оценить среднее значение малой выборки, нужно учитывать, что дисперсия малой выборки рассчитывается по формуле несмещённой оценки дисперсии:

Функцию плотности распределения Стьюдента в рассчётах непосредственно не используют, обычно используют таблицы интегральных функций, которые есть в приложениях почти ко всем книгам по статистике, или же её значение выдаёт программа, в которой выполняются рассчёты, например, STATISTICA.

В таблицах значения интегральной функции даны для тех же пределов интегрирования, что и у функции нормального распределения. Функция нормального распределения рассчитана для определённого значения аргумента z, а интегральная функция распределения Стьюдента — для аргумента t и числа степеней свободы v = n — 1.

Если число степеней свободы стремится к бесконечности, то распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению.

Числом степеней свободы в статистике называют число взаимно независимых элементов информации, используемых для вычисления стандартной ошибки. Число степеней свободы равно числу элементов выборки, из которого вычтено число условий, связывающих данные.

Если объём выборки мал и стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно, то доверительный интервал оценки среднего рассчитывается следующим образом:

где — критическое значение распределения Стьюдента для уровня значимости α = 1 — P и числа степеней свободы v

s — стандартное отклонение выборки.

Распределение Стьюдента названо в честь Уильяма Госсета, который впервые использовал свойства этого распределения и публиковал свои работы под псевдонимом Стьюдент.

Пример. Производитель кваса решил выяснить, каков доверительный интервал 95% незаполненного уровня в бутылках с квасом (в миллимитрах от пробки). Рассчитать этот доверительный интервал.

Решение.

Случайно выбраны 20 бутылок с квасом, по которым собраны значения незаполненного уровня. С помощью функций MS Excel рассчитаны сумма этих значений и сумма отклонений . Тогда среднее , а стандартное отклонение .

Так как для проверки выбраны только 20 бутылок, то для определения доверительного интервала среднего следует использовать распределение Стьюдента:

где 2,093 — критическое значение распределения Стьюдента для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 19 (найдено по статистической таблице, которые есть в приложениях почти во всех книгах по статистике).

Таким образом, доверительный уровень 95% незаполненного уровня бутылок с квасом составил от 46,44 до 53,76 миллиметров.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Всё по теме «Математическая статистика»

Доверительный интервал для математического ожидания Проверка статистических гипотез Парная линейная регрессия. Задачи регрессионного анализа Множественная корреляция, её коэффициент. Частная корреляция Множественная линейная регрессия. Улучшение модели регрессии Дисперсионный анализ: соединение теории и практики

Источник: https://function-x.ru/statistics_student_distribution.html

Распределение ДСВ. Графическое изображение распределения ДСВ. Функции от ДСВ

Многоугольник распределения ДСВ –графическое изображение ряда распределения ДСВ в декартовой системе координат.

Многоугольник распределения для ДСВ , принимающей значения с вероятностями соответственно.

Аналитическая формапредставление закона распределения ДСВ с помощью формулы

Функция распределения ДСВ есть разрывная, ступенчатая функция, скачки которой соответствуют возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Между скачками функция сохраняет постоянное значение. В точке разрыва функция равна тому значению, с которым она подходит к точке разрыва слева, т.е. — непрерывна слева.

График функции распределения ДСВ , принимающей значения .

Многоугольником распределения вероятностей данной величины называют ломаную, звенья которой соединяют соседние точки . Термин, на мой взгляд, не слишком удачен, но так сошлись звёзды.

• Всё очень просто:
• Пример 11
• Построить многоугольник распределения вероятностей случайной величины
• Решение: чертим прямоугольную систему координат, в которой по оси абсцисс отсчитываются – значения случайной величины, а по оси ординат – их вероятности. Отмечаем на чертеже точки , в данном случае их пять, и соединяем «соседей» отрезками:
• При выполнении чертежа от руки по возможности придерживайтесь следующего масштаба:

горизонтальная ось: 1 ед. = 2 тетрадные клетки (1 см); вертикальная ось: 0,1 = 2 тетрадные клетки.

1. Если значения достаточно велики, то ось абсцисс можно «разорвать» (не чертить её кусочек после единицы), и справа продолжить нумерацию, например, с 20.
2. Теперь обратите внимание на следующую важную вещь: помимо того, что дискретную случайную величину можно изобразить с помощью многоугольника – её ведь можно ещё и ЗАДАТЬ этим способом. До сих пор мы делали это с помощью таблички, но никто же не мешает использовать и чертёж:
3. Пример 12
4. Дискретная случайная величина задана своим многоугольником Записать закон распределения данной случайной величины.
5. Это задание для самостоятельного решения.
6. Иногда вместо «многоугольника» говорят о полигоне распределения вероятностей, но этот вариант больше применим в математической статистике.

На практике разобранные задачи встречаются не так уж редко, и поэтому я счёл нужным включить их в данную статью. Однако гораздо бОльшее распространение получила функция распределения случайной величины.

Стандартное обозначение:

И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:

, где – вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все действительные значения (от «минус» до «плюс» бесконечности).

Смысл функции распределения хорошо иллюстрирует наша любимая игра:

Чему, например, равно значение ? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие: . Совершенно понятно, что и для всех «икс» из интервала , а также для . Почему? По определению функции распределения:

– вы согласны? Функция возвращает вероятность того, что в точке выигрыш будет СТРОГО МЕНЬШЕ «минус» пяти.

• Таким образом: , если .
• На интервале функция , поскольку левее любой точки этого интервала есть только одно значение случайной величины, которое появляется с вероятностью 0,5. Кроме того, сюда же следует отнести точку , так как:
• – очень хорошо осознайте этот момент!
• Таким образом, если , то
• Далее рассматриваем промежуток . СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша , поэтому:
• И, наконец, если , то , ибо все значения случайной величины лежат строго левее любой точки
• Заметим, кстати, важную вещь: коль скоро, функция характеризуем вероятность, то она может принимать значения лишь из промежутка – и никакие другие!
• Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать фигурные скобки:
• График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид:
• Причём, функция или её график однозначно определяют сам закон распределения:
• – в точке «скачок» разрыва равен 0,5 (следим по чертежу) – и это в точности вероятность этого значения;
• – в точке «скачок» составляет ;

– и для выигрыша «высота ступеньки» равна .

Таким образом, функция распределения вероятностей – это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. И этот способ особо важен для непрерывной случайной величины – по той причине, что её невозможно описать таблицей (ввиду бесконечного и несчётного количества принимаемых значений). Однако, всему своё время.

1. Сейчас мы освоим технические моменты решения типовой задачи:
2. Пример 13
3. Построить функцию распределения случайной величины
4. Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков:
5. Решение: рассмотрим формальный алгоритм построения функции распределения.

Сначала берём первое значение и составляем нестрогое неравенство . На этом промежутке .

• На промежутке (между и ):
• На промежутке (между и ):
• На промежутке (между и ):
• И, наконец, если строго больше самого последнего значения , то:
• Легко заметить, что с увеличением «икс» идёт накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функцию также называют интегральной функцией распределения. В практических задачах проведённые выше действия нужно выполнять в уме, а результат сразу записывать под единую скобку:
• Выполним чертёж: и проконтролируем правильность решения с помощью «скачков» графика: в точке «скачок» равен , в точках:
• При выполнении чертежа от руки оптимален следующий масштаб:

горизонтальная ось: 1 ед. = 2 или 1 тетрадная клетка; вертикальная ось: 0,1 = 1 тетрадная клетка.

На левых концах ступенек (кроме нижнего луча) можно ставить выколотые точки – дело вкуса. И ещё хочу остановиться на двух технических ошибках, которые часто допускают на практике.

При выполнении чертежа простым карандашом левый нижний луч следует прочерчивать жирно (чтобы он не сливался с координатной осью) и до конца оси! Второй момент: правая верхняя линия не должна заканчиваться раньше острия оси! Такие оплошности могут говорить о непонимании функции распределения, а это, как вы понимаете, скверно.

1. Переходим ко второй части задания.
2. Найдём – вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала .
3. И здесь я сформулирую практическое правило: если оба конца и промежутка не «попадают» в точки разрыва функции , то следующие вероятности: , можно найти по единой формуле:
4. В данном случае концы интервала (–1 и 5) находятся в области непрерывности функции распределения поэтому:
5. И действительно, на данном интервале находятся значения , вероятности появления которых: .

Вычислим вероятность . Оба конца этого промежутка не «попадают» в точки разрыва, поэтому: – вероятность того, что случайная величина примет значение из данного промежутка. И в самом деле – на нём находится единственное значение , которое может появиться с вероятностью 0,2.

• Та же самая история с – единственное, тут левый конец промежутка равен «минус» бесконечности: – самостоятельно проанализируйте, какие значения , и с какими вероятностями располагаются на полуинтервале
• Теперь более занятная ситуация, где нужно особо включать голову: если хотя бы один из концов и промежутка «попадает» в точку разрыва функции, то указанную выше формулу можно использовать лишь в одном случае из четырёх:

! Примечание: если , то левое неравенство становится строгим, но формула тоже применима.

Это равенство строго доказывается в курсе теории вероятностей – перепишите в свой справочник!

Найдём . Как быть? – под правило не подходит! Вспоминаем теоремы тервера. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка . И действительно, этот отрезок включает в себя два значения , которые появляются с вероятностями .

Тут же рассмотрим три других ситуации: , т.к. на интервале нет значений случайной величины. Да-да, так и пишем.

– это «штатный» теоретический случай.

Едем дальше: , поскольку там нет значений случайной величины. Кстати, случай с нестрогим неравенством – есть «штатный» случай: который можно записать и так: – на функции распределения «свет клином не сошёлся»!

И, наконец, типовая вероятность – того, что значение случайной величины отклонится от своего математического ожидания не более чем на среднее квадратическое отклонение.

Как вы догадываетесь, их нужно предварительно вычислить, но эти числовые характеристики уже найдены в Примере 6 статьи о дисперсии: .

Раскрываем модуль и пользуемся тем фактом, что концы интервала не «попадают» в точки разрыва функции распределения:

– искомая вероятность.

Напоминаю, что в типичном случае на интервале и вблизи него «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Так сказать, «центр событий».

Ответ:

Напоминаю, что для любителей комфорта есть соответствующая программа (см. после Примера 6), которая строит графики автоматически; причём результаты её работы элементарно копируются в Вёрд.

1. И аналогичное задание для самопроверки:
2. Пример 14
3. Составить функцию распределения случайной величины

Выполнить чертёж. Найти вероятности следующих событий: Подумайте над рациональным масштабом графика. Если возникают сомнению с нахождением вероятностей, помните – их всегда можно пересчитать вручную.

Решение и ответ совсем рядом. Кроме того, несколько дополнительных задач есть в библиотеке.

И не успела появиться эта статья, как от читателей сайта стали поступать просьбы включить в неё контрольный пример. Я даже прослезился (прямо как тот профессор), и, конечно же, не мог вам отказать:

Пример 15

Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функции распределения.

Найти вероятность того, что студент сдаст зачёт, если для этого нужно правильно решить не менее двух задач.

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили материал. Тут нужно использовать теоремы умножения и умножения, и могут возникнуть накладки с обозначениями. В образце решения я обозначил , а вероятности значений случайной величины – через .

• После чего мы перейдём к изучению непрерывной случайной величины.
• Да, наш урок, посвященный дискретной случайной величине, подошел к концу – но это не значит, что тема закрыта!
• Вперёд – за новыми открытиями!
• Решения и ответы:
• Пример 12. Решение: запишем закон распределения случайной величины : Контроль:

Пример 14. Решение: составим функцию распределения вероятностей: Выполним чертёж: Примечание: сплошная нумерация по оси абсцисс представлена исключительно ради удобства восприятия.

1. Вычислим вероятности того, что случайная величина примет значение из предложенных интервалов: более простой способ:
2. («штатный» случай) (частный случай «штатной» формулы)
3. Числовые характеристики найдены в Примере 8, вычислим вероятность того, что случайная величина отклонится от математического ожидания не более чем на среднее квадратическое отклонение:
4. Ответ:
5. Пример 15. Решение: найдём вероятности того, что соответствующие задачи будут решены неверно:
6. Используя теоремы умножения независимых и сложения несовместных событий, составим закон распределения случайной величины – числа правильно решенных задач в билете:
7. 0) (все задачи решены неверно)
8. 1)
9. 2)
10. 3) (все задачи решены правильно)
11. Таким образом, искомый закон распределения: Контроль: 0,006 + 0,092 + 0,398 + 0,504 = 1
12. Вычислим и . Заполним расчетную таблицу:
13. Математическое ожидание: Дисперсия: .
14. Составим функцию распределения:
15. Выполним чертеж:
16. Найдём вероятность – того, что студент сдаст зачёт:

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s30754t13.html

Понятие функции распределения

 Практически любая техническая наука основана на эмпирическом (опытном) знании, следовательно, получение данных о том или ином объекте исследования неизбежно сопровождается фактором случайности. Под фактором случайности мы подразумеваем заведомо неизвестную совокупность опытных данных, которую необходимо представить в аналитической форме.

  Продолжая разговор об аналитическом описании механических систем, в частности дискретных систем, стоит отметить, что наиболее универсальной характеристикой случайной величины является функция распределения.

  Функция распределения случайной величины (она же интегральная функция распределения вероятностей) – это вероятность того, что случайная величина (назовем ее ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение X:

  Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины.

 Касательно дискретных систем в подразделе «Методы определения размеров частиц» упоминалось, что функции распределения используются для представления результатов дисперсионного анализа гранулированных материалов.

В том же подразделе описывается принцип построения дифференциальных гистограмм и кривых распределения частиц по размерам, позволяющих производить статистический анализ гранулометрического состава сыпучих материалов.

Ввиду того, что современные методы обработки эмпирических данных основываются на применении программно-вычислительных средств, далее мы будем рассматривать вопросы, касающиеся разработки алгоритмов компьютерного анализа эмпирических распределений.

 Рассмотрим поэтапно процесс статистической обработки данных с применением алгоритмических методов на примере дисперсионного анализа гранулированного материала. Как уже отмечалось выше, результатом дисперсионного анализа является набор данных о размерах частиц и вероятности их присутствия в составе гранулированного материала.

Это значит, что в процессе анализа фиксируются остатки пробы материала на указанных ситах, при этом промежуточные значения размеров зерен между двумя апертурами остаются неизвестными.

Для построения интегральной кривой рассева полученных данных достаточно, а промежуточные значения распределения размеров определяются линейной интерполяцией (дискретные точки кривой соединяются прямыми отрезками). Рисунок 1 иллюстрирует кривую рассева гранулированного материала, построенную по данным ситового анализа.

Рисунок 1 – Пример кривой рассева материала по данным ситового анализа

 Таким образом, построив интегральную кривую рассева, мы приблизительно описываем зерновой состав материала с допущением, что каждая фракция гранулированного материала, заключенная между двумя апертурами, например 1,25-2,5 мм, описывается линейным распределением размеров частиц.

Однако фактически распределение размеров зерен внутри одной фракции имеет разброс. Точность определения гранулометрического состава материала зависит от конкретного применяемого экспериментального метода дисперсионного анализа.

Ситовой анализ в данном случае дает наиболее грубую оценку зернового состава материала, ввиду большого шага дискретности. Данный тип анализа применяется к грубодисперсным материалам, например, природным гранулированным материалам (щебень, песок).

Для исследования тонкодисперсных материалов (порошков, пыли) применяются более точные методы дисперсионного анализа, например, лазерный дифракционный анализ. Данный метод анализа характеризуется малым шагом дискретности измерений, а в результате анализа получается больше выходных данных.

Так, например, для пробы порошка цемента в результате лазерного анализа получают кривую распределения, включающую порядка 50-100 экспериментальных точек.

Рисунок 2 наглядно демонстрирует результат построения дифференциальных гистограмм распределения частиц по размерам (в и г) для линейной (а) и сплайновой (б) аппроксимации интегральной кривой распределения.

Масштаб оси ординат дифференциальной гистограммы в 4 раза больше масштаба оси ординат интегрального графика.

Рисунок 2 – Пример построения дифференциальной гистограммы распределения частиц по размерам для двух случаев аппроксимации интегральной кривой

  Как видно из представленного рисунка, сплайновая аппроксимация интегральной кривой распределения позволяет построить гистограмму дифференциального распределения, которая носит более закономерный характер, в отличие от первого способа аппроксимации данных. Далее остановимся на понятии «аппроксимация».

  Аппроксимация (от лат. approximo – приближаюсь) – замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики или качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны) [1].

  Условно аппроксимацию можно разделить на два вида:

1. строгая теория математической аппроксимации;
2. физическая (техническая) аппроксимация.

 Строгая теория математической аппроксимации включает в себя следующие методы аппроксимации [2]:

1. полиномами (многочленами); 
2. сплайнами;
3. отрезками ряда Фурье;
4. полиномами по ортогональным многочленам;
5. собственными функциями краевых задач.

Библиографические ссылки:

[1] – Математика: Энциклопедия / под ред. Ю.В. Прохорова.— М.: Большая Российская энциклопедия, 2003.

[2] – Голубинский, А.Н. Методы аппроксимации экспериментальных данных и построения моделей / А.Н. Голубинский // Вестник Воронежского института МВД России. Выпуск №2. 2007. С.1-6.

При копировании материалов ссылка на сайт www.sunspire.ru обязательна. Также, вы можете использовать библиографическую ссылку на учебное пособие:

«Белов, В.В. Компьютерная реализация решения научно-технических и образовательных задач: учебное пособие / В.В. Белов, И.В. Образцов, В.К. Иванов, Е.Н. Коноплев // Тверь: ТвГТУ, 2015. 108 с.»

Источник: https://www.sunspire.ru/articles/part26/