Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка — справочник студента

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента

Подставим эту функцию в уравнение: k 2 ekx + pk ekx + q ekx = 0. Сократим обе части равенства на ekx, получим k 2 + p k + q = 0. Это уравнение называется характеристическим уравнением. k является корнем этого уравнения. Вид решение зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение. 11

12

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Доказательство: Достаточно убедиться в том, что каждое из слагаемых в правых частях является решением диф. ур-я, а затем по определителю Вронского удостовериться в том, что каждая пара функций в этих равенствах линейно независима. 13

Пример 1. y« — 5 y` + 4 y = 0. Характеристическое уравнение данного диф. уравнения имеет вид k 2 — 5 k + 4 = 0. Его корни вещественны и различны: k 1 = 1 и k 2 = 4. Общее решение данного диф. уравнения y = C 1 ex + C 2 e 4 x. 14

Пример 2. y« — 6 y` + 9 y = 0. Составим характеристическое уравнение k 2 — 6 k + 9 = 0, (k — 3)2 = 0. Оно имеет кратный корень k = 3. Общее решение имеет вид y = e 3 x(C 1 + C 2 x). 15

Пример 3. y«- 2 y` + 2 = 0. Характеристическое уравнение k 2 -2 k+2=0 не имеет вещественных корней. a = -1, b = 1. Общее решение диф. уравнения y = e-x (C 1 sinx + C 2 cosx). 16

Пример 4. Решить неоднородное уравнение y« — 3 y` + 2 y = ex. Вначале решим соответствующее однородное уравнение y« — 3 y` + 2 y = 0. Характеристическое уравнение k 2 — 3 k + 2 = 0, корни этого уравнения k 1 = 1 и k 2 = 2. Общее решение однородного уравнения y = C 1 y 1(x) + C 2 y 1(x) = C 1 ex + C 2 e 2 x. Полагаем теперь, что С 1 и С 2 — функции переменной х: 17

y = C 1(x) ex + C 2(x) e 2 x (1) — в таком виде будем искать решение данного диф. уравнения. С 1(х) и С 2(х) найдем методом вариации произвольных постоянных. Найдем первые производные этих функций, решая систему: 18

Полученные диф. уравнения — с разделяющимися переменными. 19

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Функции общения - справочник студента

Оценим за полчаса!

Подставим найденные С 1(х) и С 2(х) в формулу (1), получим общее решение исходного неоднородного диф. уравнения: y = (-x + C 1) ex + (-e-x + C 2) e 2 x = = C 1 ex + C 2 e 2 x + (-x — 1) ex.

Обратите внимание на структуру полученного решения: Здесь Y(x) = C 1 ex + C 2 e 2 x — общее решение однородного уравнения, y*(x) = (-x — 1) ex — частное решение неоднородного диф. уравнения.

y = Y(x) + y*(x). 20

Источник: https://present5.com/linejnye-differencialnye-uravneniya-vtorogo-poryadka-lekciya-19/

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Эта статья создана, чтобы ответить на вопрос «как решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами». Сначала кратко остановимся на необходимой теории, далее подробно опишем решения типовых примеров и задач.

Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к статье основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента, где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.

Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ.

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, .

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: . Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

  1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента, где Qn(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как — частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Qn(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

    Решите задачу Коши , .

    • Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям .
    • Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения , то есть, .
    • Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением.

    Найдем . Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни.

    Корни действительные и различные, поэтому, .

    Переходим к . Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение ищем в виде , где А, В и С – неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства .

    Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, приходим к системе линейных уравнений . Решая ее любым способом (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений), получаем искомые неопределенные коэффициенты . Следовательно, и .

    Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

    Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . То есть, требуется определить такие C1 и C2 в равенстве , чтобы выполнялись условия .

    Имеем

    С другой стороны .

    Таким образом, получаем систему уравнений . Откуда .

    Следовательно, решением задачи Коши является функция

    К началу страницы

  2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Qn(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Qn(x) определяются из равенства .

    Найти общее решение дифференциального уравнения .

    Общее решение имеет вид .

    Нашему уравнению соответствует ЛОДУ . В предыдущем примере мы выяснили, что корнями его характеристического уравнения являются k1 = 0 и k2 = 2 и .

    Так как правая часть исходного уравнения представляет собой произведение , то частное решение ЛНДУ ищем в виде , причем Qn(x) – многочлен второй степени, и r=0, так как характеристическое уравнение не имеет корней равных единице. Поэтому , где А, В и С – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства .

    Так как то

    1. Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, получаем систему линейных уравнений, откуда определяем неизвестные коэффициенты А, В и С.
    2. Следовательно, — частное решение исходного ЛНДУ и — общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

    К началу страницы

  3. Если функция f(x) имеет вид , где А1 и В1 – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

    Найти общее решение дифференциального уравнения .

    Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:

    Получили пару комплексно сопряженных корней, поэтому, .

    Так как корни характеристического уравнения есть комплексно сопряженная пара , а , то будем искать в виде , где А и В – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты найдем из равенства .

    • Имеем
    • Поэтому
    • Приравниваем коэффициенты при синусах и при косинусах:
    • Следовательно, и общее решение исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

    К началу страницы

  4. Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , Pn(x), Qk(x), Lm(x) и Nm(x) — многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) находятся из равенства .

    Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

    В нашем случае . Следовательно, m=max(n,k)=1.

    1. Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:
    2. Корни действительные и различные, поэтому, .
    3. Теперь ищем общее решение исходного неоднородного уравнения в виде где А, В, С и D – неизвестные коэффициенты, а r=0 так как нет ни одной пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения равных .
    4. Коэффициенты А, В, С и D найдем из равенства .
    5. После нахождения производных и приведения подобных слагаемых имеем
    6. Приравниваем соответствующие коэффициенты (в предыдущем равенстве мы их расположили по строкам) и решаем полученную систему линейных уравнений любым методом:

    Таким образом, и

    Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

    К началу страницы

  5. Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:

    • находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 — линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 – произвольные постоянные;
    • варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2;
    • производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C1(x) и C2(x) находятся при последующем интегрировании.

    Найдите общее решение дифференциального уравнения .

    • Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и решаем его:
    • Варьируем произвольные постоянные, то есть, общее решение исходного уравнения ищем в виде .
    • Определим производные функций C1(x) и C2(x) из системы уравнений:
    • Решаем систему относительно неизвестных и любым способом. Ее решениями являются
    • Проинтегрировав каждое уравнение (при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования), получаем
    • Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
  1. Некогда разбираться?
  2. Закажите решение
  3. К началу страницы
Читайте также:  Гуманистические и духовно-ориентированные теории личности - справочник студента

Источник: http://www.cleverstudents.ru/differential_equations/second_order_lide_with_constant_coefficients.html

Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка - Справочник студента

Рассмотрены примеры решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом Лагранжа (вариации постоянных).

Содержание

Пример 1 ⇓   Шаг 1. Решение однородного уравнения ⇓   Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями ⇓      Решение системы уравнений ⇓Пример 2 ⇓   Шаг 1. Решение однородного уравнения ⇓   Шаг 2.

Вариация постоянных – замена постоянных функциями ⇓      Решение системы уравнений ⇓

Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>>.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа: (1)  

Решение

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение: (2)   Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение: Это уравнение второго порядка.

Решаем квадратное уравнение: . Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид: (3)   . Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):

(4)   .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Варьируем постоянные C1 и C2. То есть заменим в (4) постоянные и на функции: . Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:

(5)   .

Находим производную: . Свяжем функции и уравнением: (6)   . Тогда

  • .
  • Находим вторую производную: . Подставляем в исходное уравнение (1):
  • (1)   ;

. Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид: (7)   . Здесь .

Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и : (6)   : (7)   .

Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и : . Находим их производные: ; .

Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы: . По формулам Крамера находим:

;

.

Итак, мы нашли производные функций: ; . Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку ;   ;   ;   .

. .

  1. Общее решение исходного уравнения: ; .
  2. Ответ
  3. .

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа: (8)  

Решение

Шаг 1. Решение однородного уравнения

  • Решаем однородное дифференциальное уравнение:
  • (9)   Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение: Это уравнение имеет комплексные корни:
  • .
  • (10)   .
  • (11)   .

Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид: Общее решение однородного уравнения (9):

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Теперь варьируем постоянные C1 и C2. То есть заменим в (11) постоянные на функции: . Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:

(12)   .

Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и : (13)   : (14)   . Здесь .

Решение системы уравнений

Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и : . Из таблицы производных находим: ; .

Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы: . По формулам Крамера находим:

;

.

Итак, мы нашли производные функций: ; . Интегрируем (см. Методы интегрирования тригонометрических функций).

Второй интеграл табличный (см. Таблица неопределенных интегралов). .

Первый интеграл немного сложней (см. Интегрирование тригонометрических рациональных функций). Делаем подстановку : . Поскольку , то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на   : . Тогда

  1. .
  2. Общее решение исходного уравнения: .
  3. Ответ
  4. .

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/lineinie_postoyannie_koeffitsienti/neodnorodnie_lagranzha/primer1/

Лекция по высшей математике"Дифференциальные уравнения второго порядка"(для 26 гр.)

  • 1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
  • Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию у(х), независимую переменную х, первую и вторую производные у', у'' или дифференциалы
  • Дифференциальное уравнение второго порядка символически можно записать в общем виде следующим образом:
  • или
  • Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной, имеет вид:
  • или

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесчисленное множество решений, которые можно представить в виде функции Эта совокупность решений называется общим решением.

Функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С1 и С2, называется частным решением. Частное решение находится при помощи задания начальных условий: у(х=х)=у и у'(х=х)=у', где х0, у0, у'– конкретные числа.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши. Практически задачу Коши решают следующим образом: находят общее решение, затем в него подставляют начальные условия, получают систему двух уравнений, определяют произвольные постоянные С1 и С2 и подставляют их конкретные значения в общее решение.

  1. 2) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
  2. ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
  3. Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые позволяют понизить порядок уравнения и привести его к уравнениям первого порядка.
Читайте также:  Цели и задачи исследования - справочник студента

2.1. Дифференциальное уравнение вида

Правая часть уравнения не содержит у и у'. Уравнение решается путем последовательного интегрирования. Найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):

Интегрируя еще раз, получим общее решение:

Пример 1. Найти частное решение уравнения при заданных начальных условиях у(х=)=1 и у'(х=)=1.

  • Решение. Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
  • (2.1)
  • Интегрируя еще раз, получим общее решение:
  • (2.2)

Так как мы интегрировали дважды, то получили две произвольные постоянные С1 и С2. Подставляя начальные условия в соотношения (2.1) и (2.2), получим С1=1 и С2=1. Следовательно, частное решение имеет вид:

2.2. Дифференциальное уравнение вида

Правая часть уравнения не содержит искомой функции у. Уравнение решается с помощью подстановки:

где z – функция от х. Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка: .

  1. Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
  2. или
  3. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
  4. Пример 2. Найти общее решение уравнения
  5. Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
  6. или
  7. Разделяем переменные: Интегрируем:
  8. Получаем промежуточное общее решение: или
  9. Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
  10. Разделяем переменные:
  11. Интегрируя, получим общее решение:
  12. Пример 3. Найти общее решение уравнения
  13. Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:

. (2.3)

Уравнение (2.3) является однородным и решается с помощью подстановки:

(2.4)

Подставляя (2.4) в (2.3), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

  • Сокращаем на х и разделяем переменные:
  • Интегрируем:
  • (2.5)
  • Интеграл в левой части равенства (2.5) вычисляем методом замены переменной:
  • После интегрирования (2.5) получаем промежуточное общее решение:
  • ; ;;
  • Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или .
  • Разделяем переменные и интегрируем: (2.6)
  • Интеграл, стоящий в правой части, вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
  • Тогда
  • После интегрирования (2.6) получим общее решение:
  • Пример 4. Найти общее решение уравнения
  • Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
  • или (2.7)
  • Уравнение (2.7) является линейным неоднородным и решается с помощью подстановки:
  • (2.8)

Подставляя (2.8) в (2.7), получим:

  1. (2.9)
  2. Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
  3. Разделяем переменные и интегрируем: Получаем: или
  4. Функцию подставляем в соотношение (2.9):
  5. Сокращаем на х, разделяем переменные и интегрируем:
  6. Находим z:
  7. Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
  8. Разделяем переменные и интегрируем:
  9. (2.10)
  10. Интеграл, стоящий в правой части (2.10), вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
  11. Тогда
  12. После интегрирования (2.10) получим общее решение:

2.3. Дифференциальное уравнение вида

Правая часть уравнения не содержит независимой переменной х. Уравнение решается с помощью подстановки: или

где z – функция от у, т.е. z= z[y(x)] – сложная функция от х . Тогда:

  • Исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
  • где z искомая функция, у – независимая переменная.
  • Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
  • или
  • Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
  • Пример 5. Найти общее решение уравнения
  • Решение. Сделаем подстановку:
  • Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
  • Сокращаем на z (z≠0) и разделяем переменные:
  • Интегрируем:
  • Получаем промежуточное общее решение: или
  • Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
  • или
  • Разделяем переменные: Интегрируя, получим общее решение:
  • 3) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
  1. Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (1)

т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и — некоторые числа, а функция задана на некотором интервале .

Если на интервале , то уравнение (1) примет вид , (2)

и называется линейным однородным. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным. Рассмотрим комплексную функцию , (3)

где и — действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть , и мнимая часть решения в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.

  1. Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:
  2. Если есть решение уравнения (2), то и функция , где С – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);
  3. Если и есть решения уравнения (2), то и функция также будет решением уравнения (2);
  4. Если и есть решения уравнения (2), то их линейная комбинация также будет решением уравнения (2), где и – произвольные постоянные.
  5. Функции и называются линейно зависимыми на интервале , если существуют такие числа и , не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство
  6. . (4)
  7. Если равенство (4) имеет место только тогда, когда и , то функции и называются линейно независимыми на интервале .

Пример 1. Функции и линейно зависимы, так как на всей числовой прямой. В этом примере .

Пример 2. Функции и линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство возможно лишь в случае, когда и , и .

  1. Построение общего решения линейного однородного уравнения.

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и . Линейная комбинация этих решений , где и – произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения. Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать

в виде , (5) ,где – некоторое число. Тогда , . Подставим эти выражения в уравнение (2):

или .

Так как , то . Таким образом, функция будет решением уравнения (2), если будет удовлетворять уравнению . (6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.

Пусть и есть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.

Пусть корни и характеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции и . Эти решения линейно независимы, так как равенство может выполняться лишь тогда, когда и , и . Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид , где и — произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет . Решив это квадратное уравнение, найдём его корни и . Функции и являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .

Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а называется мнимой единицей. Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то число отождествляется с действительным числом .

Число называется действительной частью комплексного числа, а — мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными: ,

Пример 4. Решить квадратное уравнение .

Решение. Дискриминант уравнения . Тогда . Аналогично, . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е. , , где . Решения уравнения (2) можно записать в виде , или , . По формулам Эйлера: , .

Тогда , . Как известно, если комплексная функция является решением лин. одн. ур-я, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции и . Так как равенство

может выполняться только в том случае, если и , то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид ,

где и — произвольные постоянные.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни , . Функции и являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .

Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. . Тогда решениями уравнения (2) являются функции и . Эти решения линейно независимы, так как выражение может быть тождественно равным нулю только тогда, когда и . Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид .

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид .

  1. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: .

В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.

Пусть неоднородное уравнение имеет вид , (7)

т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m. Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степени m, т.е. .

Коэффициенты определяются в процессе нахождения частного решения.

Если же является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде .

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является

. Его характеристическое уравнение имеет корни и .

Общее решение однородного уравнения имеет вид .

Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции . Найдём производные этой функции , и подставим их в данное уравнение :

или . Приравняем коэффициенты при и свободные члены: Решив данную систему , получим , . Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид , а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:

Пусть неоднородное уравнение имеет вид (8)

Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Если же есть корень характеристического уравнения кратности k (k=1 или k=2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни , . В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде .

Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Найдём производные первого и второго порядков: ,. Подставим в дифференциальное уравнение: +,

  • + , .
  • Приравняем коэффициенты при и свободные члены:
  • Отсюда , .
  • Тогда частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение
  • .

Источник: https://infourok.ru/lekciya-po-visshey-matematikedifferencialnie-uravneniya-vtorogo-poryadkadlya-gr-2311306.html

Ссылка на основную публикацию