Механическая сила. основная задача динамики — справочник студента

• 
• В основе классической динамики лежат законы, впервые сформулированные и систематически изложенные Исааком Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии».
• В зависимости от того, что нам известно и что необходимо найти, в динамике рассматривают две основные задачи.
• Первая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданному закону движения материальной точки определить результирующую или одну из составляющих сил, действующих на эту точку.
• При наличии нескольких сил, действующих на точку, второй закон Ньютона дает основное уравнение динамики точки

1. где m – масса точки;
   a – ускорение точки;
   Fi – силы, действующие на точку.
2. В зависимости от способа задания движения точки, это уравнение можно записать по-разному.
3. Для векторного способа задания движения

где r = r (t) – радиус-вектор, определяющий положение точки по отношению к выбранной системе отсчета.

Для координатного способа задания движения точки

где x = x(t), y = y(t), z = z(t) – координаты точки, заданные как функции времени.

Для естественного способа задания движения точки

• где dV/ dt – проекция ускорения точки на касательную в данной точке (касательное ускорение),
  V2/ ρ – проекция ускорения на нормаль (нормальное ускорение),
  ρ – радиус кривизны траектории.
• В правой части уравнений – проекции сил на касательную ΣFiτ , нормаль ΣFin и бинормаль ΣFib.
• По заданному закону движения точки определяются правые части этих уравнений, и далее может быть определена результирующая сила

• при координатном способе задания движения:
  
• при естественном способе или одна из составляющих сил:
  

Направление силы определяется с помощью направляющих косинусов:

cos (α) = Rx / R
cos (β) = Ry / R
cos (γ) = Rz / R

1. где α, β, γ – углы между направлением силы и осями x, y, z соответственно.
2. Аналогично определяются углы, которые составляют силы с естественными осями координат.
3. >> Вторая основная задача динамики

Источник: https://isopromat.ru/teormeh/kratkaja-teoria/pervaya-osnovnaya-zadacha-dinamiki

Основы механики для чайников. Введение

В рамках любого учебного курса изучение физики начинается с механики. Не с теоретической, не с прикладной и не вычислительной, а со старой доброй классической механики. Эту механику еще называют механикой Ньютона. По легенде, ученый гулял по саду, увидел, как падает яблоко, и именно это явление подтолкнуло его к открытию закона всемирного тяготения. Конечно, закон существовал всегда, а Ньютон лишь придал ему понятную для людей форму, но его заслуга – бесценна. В данной статье мы не будем расписывать законы Ньютоновской механики максимально подробно, но изложим основы, базовые знания, определения и формулы, которые всегда могут сыграть Вам на руку.

Механика – раздел физики, наука, изучающая движение материальных тел и взаимодействия между ними.

Само слово имеет греческое происхождение и переводится как «искусство построения машин» . Но до построения машин нам еще как до Луны, поэтому пойдем по стопам наших предков, и будем изучать движение камней, брошенных под углом к горизонту, и яблок, падающих на головы с высоты h.

Исаак Ньютон

Почему изучение физики начинается именно с механики? Потому что это совершенно естественно, не с  термодинамического же равновесия его начинать?!

Механика – одна из старейших наук, и исторически изучение физики  началось именно с основ механики. Помещенные в рамки времени и пространства, люди, по сути, никак не могли начать с чего-то другого, при всем желании. Движущиеся тела – первое, на что мы обращаем  свое внимание.

 Что такое движение?

Механическое движение – это изменение положения тел в пространстве относительно друг друга с течением времени.

Именно после этого определения мы совершенно естественно приходим к понятию системы отсчета. Изменение положения тел в пространстве относительно друг друга.  Ключевые слова здесь: относительно друг друга.

Ведь пассажир в машине движется относительно стоящего на обочине человека с определенной скоростью, и покоится относительно своего соседа на сиденье рядом, и движется с какой-то другой скоростью относительно пассажира в машине, которая их обгоняет.

Механическое движение

Именно поэтому, для того, чтобы нормально измерять параметры движущихся объектов и не запутаться, нам нужна система отсчета — жестко связанные между собой тело отсчета,  система координат и часов.

Например, земля движется вокруг солнца в гелиоцентрической системе отсчета. В быту практически все свои измерения мы проводим в геоцентрической системе отсчета, связанной с Землей.

Земля – тело отсчета, относительно которого движутся машины, самолеты, люди, животные.

Система отсчета, связанная с землей — геоцентрическая

Механика, как наука, имеет свою задачу. Задача механики – в любой момент времени знать положение тела в пространстве. Иными словами, механика строит математическое описание движения и находит связи между физическими величинами, его характеризующими.

Для того, чтобы двигаться далее, нам понадобится понятие “материальная точка”. Говорят, физика – точная наука, но физикам известно, сколько приближений и допущений приходится делать, чтобы согласовать эту самую точность. Никто никогда не видел материальной точки и не нюхал идеального газа, но они есть! С ними просто гораздо легче жить.

Материальная точка – тело, размерами и формой которого в контексте данной задачи можно пренебречь.

Разделы классической механики

Механика состоит из нескольких разделов

• Кинематика
• Динамика
• Статика

Кинематика с физической точки зрения изучает, как именно тело движется. Другими словами, этот раздел занимается количественными характеристиками движения. Найти скорость, путь – типичные задачи кинематики

Динамика решает вопрос, почему оно движется именно так. То есть, рассматривает силы, действующие на тело.

Статика изучает равновесие тел под действием сил, то есть отвечает на вопрос: а почему оно вообще не падает?

Границы применимости классической механики

Классическая механика уже не претендует на статус науки, объясняющей все (в начале прошлого века все было совершенно иначе), и имеет четкие рамки применимости. Вообще, законы классической механики справедливы привычном нам по размеру мире (макромир).

Они перестают работать в случае мира частиц, когда на смену классической приходит квантовая механика. Также классическая механика неприменима к случаям, когда движение тел происходит со скоростью, близкой к скорости света. В таких случаях ярко выраженными становятся релятивистские эффекты.

Грубо говоря, в рамках квантовой и релятивистской механики – классическая механика, это частный случай, когда размеры тела велики, а скорость – мала. 

Движение на скорости, близкой к скорости света, нельзя описать законами классической механики

Вообще говоря, квантовые и релятивистские эффекты никогда никуда не деваются,  они имеют место быть и при обычном движении макроскопических тел со скоростью, много меньшей скорости света. Другое дело, что действие этих эффектов так мало, что не выходит за рамки самых точных измерений. Классическая механика, таким образом, никогда не потеряет своей фундаментальной важности.

Мы продолжим изучение физических основ механики в следующих статьях. Для лучшего понимания механики Вы всегда можете обратиться к нашим авторам, которые в индивидуальном порядке прольют свет на темное пятно самой сложной задачи.

Источник: https://Zaochnik-com.ru/blog/osnovy-mehaniki-dlya-chajnikov-vvedenie/

Законы и формулы физики, Справочник, Кузьмичев В.Е., 1989

• Словари, энциклопедии, справочники →
• Физика

СкачатьЕще скачатьСмотреть Купить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Законы и формулы физики, Справочник, Кузьмичев В.Е., 1989.

  Приведены основные законы и формулы механики, молекулярной физики, термодинамики, электродинамики, механических и электромагнитных колебаний и волн, оптики, атомной и ядерной физики. Отражены квантовые аспекты оптических, атомных и ядерных процессов и явлений. Определены основные физические величины и понятия.

Материал систематизирован и подан в краткой доступной форме. Большое внимание уделено физическому содержанию приведенных формул. Рисунки и таблицы дополняют и поясняют текст.

В приложении приведены необходимые сведения по математике, таблицы наиболее важных физических величин, физические константы, коэффициенты перевода единиц физических величин в СИ.

Для широкого круга читателей — научных и инженерно-технических работников, преподавателей вузов и средних школ, студентов, абитуриентов, учащихся старших классов и лиц, занимающихся самообразованием.

Основная задача динамики.

Механическая сила. Динамика — раздел механики, в котором изучается законы движения тел под действием приложенных к ним сил. Различают динамику поступательного движения и динамику вращательного движения.Причиной движения тел и изменения его характера с течением времени является взаимодействие тел.

В физике различают четыре типа взаимодействий: 1) гравитационное, действующее между всеми телами, имеющими массу; 2) электромагнитное, действующее между частицами или телами, обладающими электрическими зарядами; 3) сильное, действующее между элементарными частицами, называемыми адронами; 4) слабое, обусловливающее процессы превращения некоторых элементарных частиц и атомных ядер [XVI, XVII].Сила как количественная характеристика является мерой интенсивности взаимодействия. В механике сила (механическая сила) есть вектор: она задается модулем (величиной), направлением и точкой приложения. Линия, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. В задачах механики учитываются гравитационные силы, а также силы упругости и силы трения, являющиеся остаточными от более общих электромагнитных сил [5.2.2].
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать книгу Законы и формулы физики, Справочник, Кузьмичев В.Е., 1989 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 — pdf

Скачать файл № 2 — djvuНиже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу
Скачать — pdf — Яндекс.Диск.

Скачать — djvu — Яндекс.Диск.

22.05.2016 06:56 UTC

Источник: https://obuchalka.org/2016052289433/zakoni-i-formuli-fiziki-spravochnik-kuzmichev-v-e-1989.html

Техническая механика



Динамика есть часть теоретической механики, изучающая механическое движение тел в зависимости от сил, влияющих на это движение.

Основы динамики заложил итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642), который опроверг существовавшее в науке со времен Аристотеля (IV в. до н.э.) заблуждение о том, что из двух тел, падающих на Землю, более тяжелое движется быстрее. Галилей установил, что причиной изменения скорости тела является сила, т. е.

любое ускорение или замедление вызывается силовым воздействием. На основе выводов Г. Галилея англичанин И. Ньютон сформулировал основные аксиомы (законы) движения, ставшие фундаментом, на который сотни лет опирается классическая физика, в том числе и современная.

Динамика основывается на ряде положений, которые являются аксиомами и называются законами динамики. Прежде чем перейти к рассмотрению этих законов, необходимо раскрыть сущность понятий материальной точки и изолированной материальной точки.

Под материальной точкой подразумевают некое тело, имеющее определенную массу (т. е. содержащее некоторое количество материи), но не имеющее линейных размеров (бесконечно малый объем пространства).

Изолированной считается материальная точка, на которую не оказывают действие другие материальные точки. В реальном мире изолированных материальных точек, как и изолированных тел, не существует, это понятие является условным.

***

Первый закон Ньютона (первый закон динамики)

Первый закон динамики, называемый аксиомой инерции, формулируется в применении к материальной точке так: изолированная материальная точка либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно.

В кинематике было установлено, что прямолинейное равномерное движение является единственным видом движения, при котором ускорение равно нулю, поэтому аксиому инерции можно сформулировать следующим образом: ускорение изолированной материальной точки равно нулю.

Итак, изолированная от влияния окружающих тел материальная точка не может сама себе сообщить ускорение. Это свойство тел называют инерцией или инертностью, т. е.

сообщить материальной точке ускорение способна только приложенная к ней сила.

***

Второй закон Ньютона (второй закон динамики)

• Зависимость между силой и сообщаемым ею ускорением устанавливает второй закон Ньютона, который гласит, что ускорение, сообщаемое материальной точке силой, имеет направление силы и пропорционально ее модулю.
• Если сила F1 сообщает материальной точке ускорение a1, а сила F2 сообщает этой же точке ускорение a2, то на основании второго закона Ньютона можно записать:
• F1/F2 = a1/a2   или   F1/a1 = F2/a2.
• Следовательно, для данной материальной точки отношение любой силы к вызываемому ею ускорению есть величина постоянная. Эту величину (отношение силы к ускорению) называют массой материальной точки, и обозначают ее m:
• F/a = m = const.
• На основании этого равенства можно сделать выводы: — две материальные точки, имеющие одинаковые массы, получат от одной и той же силы одинаковые ускорения; — чем больше масса точки, тем большую силу необходимо приложить, чтобы придать данной точке требуемое ускорение.
• ***



Масса – одна из основных характеристик любого материального объекта, определяющая его инертные и гравитационные свойства. Ньютон называл массой количество материи, заключенной в теле, считая массу каждого тела величиной постоянной.

Современное представление о мире, после открытий, совершенных А. Эйнштейном, опровергает этот вывод И. Ньютона – масса не является постоянной величиной для тела, она зависит от скорости, с которой это тело движется. Так, например, наблюдения за движением заряженных частиц в ускорителях показали, что инертность частицы (т. е. способность сохранять свою скорость) возрастает с увеличением ее скорости.

1. Теория относительности устанавливает следующую зависимость между массой тела, находящегося в покое, и массой движущегося тела:
2. m = m0/√(1 – v2/c2),
3. где m – масса движущегося тела, m0 – масса покоящегося тела (масса покоя), v = скорость движения тела, c – скорость света.

Из этой формулы видно, что чем больше скорость движения тела, тем больше его масса и, следовательно, тем труднее сообщить ему дальнейшее ускорение.

При скоростях близких к скорости света масса тела стремится к бесконечности, и для дальнейшего ускорения такого тела требуется сила бесконечной величины.

Очевидно, что материальное тело не может двигаться со скоростью света, поскольку не существует реальная сила, способная ускорить его до такого состояния.

На основании теории относительности современная наука дает массе такое определение: масса есть мера инертности тела. Однако заметное изменение массы (инертности) тела наблюдается лишь при очень больших скоростях, близких к скорости света, поэтому в классической физике массу принимают величиной постоянной, при этом погрешности, возникающие в расчетах, являются ничтожно малыми.

Второй закон Ньютона выражается равенством:

F = ma,

которое называется основным уравнением динамики и читается так: сила есть вектор, равный произведению массы точки на ее ускорение. Основное уравнение динамики является уравнением движения материальной точки в векторной форме.

Ускорение свободного падения

Опытным путем установлено, что под действием притяжения Земли в вакууме тела падают с одинаковым ускорением, которое называется ускорением свободного падения.

Следует отметить, что это явление будет верным для конкретного географического места на поверхности планеты или над ее поверхностью – ускорение свободного падения не является постоянной величиной и зависит, в частности, от расстояния между центром тяжести тела и центром тяжести нашей планеты, а также от существования центробежной силы инерции, вызываемой вращением Земли. Так, на полюсах ускорение свободного падения g ≈ 9,83 м/с2, а на экваторе g ≈ 9,78 м/с2. Но в приближенных расчетах принимают среднее значение, равное примерно g ≈ 9,81 м/с2, при этом погрешности результатов незначительны.

Итак, сила тяжести тела равна его массе, умноженной на ускорение свободного падения. Если сила тяжести одного тела G1 = m1/g, а второго тела – G2 = m2/g, то

G1/G2 = (m1g)/(m2g) = m1/m2,

Из второго закона Ньютона следует, что под действием постоянной силы находившаяся в покое свободная материальная точка движется прямолинейно равнопеременно (с постоянным ускорением).

Движение под действием постоянной силы может быть и прямолинейным и криволинейным (в последнем случае материальная точка имеет начальную скорость, вектор которой не совпадает с вектором силы). Пример движения под действием постоянной силы – свободное падение тел.

***

Третий закон Ньютона

К основным законам динамики относится и рассмотренная в Статике аксиома взаимодействия, или третий закон Ньютона. Применительно к материальной точке закон формулируется так: силы взаимодействия двух материальных точек по модулю равны между собой и направлены в противоположные стороны (действие равно противодействию).

На основании этого закона можно сделать вывод, что сила, как мера взаимодействия между телами, не может проявляться без пары, т. е. если возникает какое-либо силовое воздействие, то существует и «двойник» этого силового воздействия, равный по модулю и противоположный по вектору.

***

Дифференциальные уравнения движения материальной точки



Главная страница

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Правильные ответы на тестовые вопросы по разделу «Динамика»: Тест №1     2-3-2-1-1 Тест №2     4-2-4-3-1 Тест №3     3-1-1-2-4 Тест №4     4-2-1-2-3 Тест №5     1-1-4-3-2 Тест №6     1-3-3-2-4 Тест №7     2-2-4-1-3

Источник: http://k-a-t.ru/tex_mex/22-dinamika_1/index.shtml

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

• Cтраница 1
• Основная задача динамики заключается РІ выяснении того, как изменяется механическое движение тел РїРѕРґ влиянием приложенных Рє РЅРёРј СЃРёР».  [1]
• Основная задача динамики заключается РІ установлении законов изменения механического движения тел РїРѕРґ влиянием приложенных Рє РЅРёРј СЃРёР».  [2]
• Основная задача динамики состоит РІ определении положения тела РІ произвольный момент времени РїРѕ известным начальному положению тела, начальной скорости Рё силам ( I.  [3]

Основная задача динамики состоит РІ определении положения тела РІ произвольный момент времени РїРѕ известным начальному положению тела, начальной скорости Рё силам ( 1.2.2. Р“), действующим РЅР° тело.  [4]

Основная задача динамики состоит в том, чтобы по заданным силам определить траекторию и закон движения данной материальной точки.

Эта задача решается с помощью второго закона Ньютона. Поэтому второй закон Ньютона называют основным законом динамики материальной точки.

Зная начальные условия ( положение Рё скорость точки РІ начальный момент) Рё закон действующих СЃРёР», можно однозначно предсказать положение Рё скорость материальной точки РІ любой последующий момент времени. Так РІ классической механике отображается РІ математической форме причинная СЃРІСЏР·СЊ явлений, объективно существующая РІ макроскопическом РјРёСЂРµ. Р’ РјРёРєСЂРѕРјРёСЂРµ причинная СЃРІСЏР·СЊ явлений РЅРѕСЃРёС‚ РґСЂСѓРіРѕР№ характер; ее математическое описание дается квантовой механикой.  [5]

Основная задача динамики — раскрыть закономерность СЃРІСЏР·Рё между силами Рё движением — была решена РІ полной мере впервые Ньютоном РЅР° основании упомянутого РІ В§ 12 закона инерции Галилея.  [6]

Основная задача динамики состоит РІ определении положения тела РІ произвольный момент времени РїРѕ известным начальному положению тела, начальной скорости Рё силам ( 1.2.2.1), действующим РЅР° тело.  [7]

Основная задача динамики — раскрытие закономерных связей между движением Рё причинами, изменяющими или порождающими движение, — была РІ полной мере впервые решена Ньютоном.  [8]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Q1 ( Q.

Так как кинетическая энергия Рў зависит РѕС‚ обобщенных СЃРєРѕСЂСЃ стей 7, то РїСЂРё дифференцировании первых членов уравнений ( 140) РїРѕ t РІ левых частях этих уравнений появятся вторые производные РїРѕ времени; РѕС‚ искомых координат.  [10]

Основная задача динамики несвободной системы состоит РІ следующем.  [11]

Основная задача динамики несвободной системы материальных точек состоит РІ нахождении закона движения системы Рё СЃРёР» реакции СЃРІСЏР·Рё, если заданы активные силы Рё совместимые СЃРѕ СЃРІСЏР·СЏРјРё начальное положение Рё начальная скорость точек системы.  [12]

Основной задачей динамики является изучение движения материальной системы под действием заданных внешних сил.

Общее решение вытекает РёР· закона кинетической энергии, согласно которому изменение кинетической энергии Р·Р° любой промежуток времени равно СЃСѓРјРјРµ работ заданных внешних СЃРёР» РЅР° соответствующем перемещении.  [13]

РћСЃРЅРѕРІРЅРѕР№ задачей динамики является определение движения тел РїРѕ заданным силам или РїРѕ заданным законам РёС… взаимодействия. Нахождение СЃРёР» или законов взаимодействия тел РїРѕ заданному РёС… движению составляет обратную задачу динамики.  [14]

Зависимости, определяющие влияние.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

Источник: https://www.ngpedia.ru/id25749p1.html

Механическая сила. Основная задача динамики

Понятие

Механическая сила ( F ) — ϶то мера механического воздействия на данное тело со стороны какого-либо иного тела или поля.

Механическое воздействие — ϶то воздействие, приводящее к изменению скорости тела или к ᴇᴦο деформации.

• Сила характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.
• Сила измеряется в ньютонах (Н). F = 1 [H]
• 1 Ньютон — ϶то сила, которая придаёт телу массой 1 килограмм ускорение 1 метр в секунду за секунду: 1 H=1frac{кгcdot м}{с^2}
• Под массой в динамике понимают два различных свойства вещества:

Чем больше масса тела, ᴛᴇᴍ труднее изменить ᴇᴦο скорость.

Гравитационная масса определяет, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями (пассивная гравитационная масса), и какое гравитационное поле создаёт само ϶то тело (активная гравитационная масса).

Как установлено экспериментально, эти две массы пропорциональны друг другу. Не было обнаружено никаких отклонений от закона, по϶тому коэффициент пропорциональности обычно выбирают равным единице и говорят о равенстве инертнои̌ и гравитационнои̌ масс. Равенство инертнои̌ и гравитационнои̌ масс составляет содержание слабого принципа эквивалентности — составнои̌ Эйнштейновского принципа эквивалентности, который одним ᴎɜ основных положений общей теории относительности.

Масса измеряется в килограммах: m=1 [кг]

Для однородного тела масса определяется через ᴇᴦο плотность: m={mathbf ho }V , где {mathbf ho } — плотность тела; V — объём тела.

Масса обла следующими свойствами

• Масса положительна;
• Аддитивность — масса системы тел равна сумме масс каждого ᴎɜ тел, входящих в систему;
• Инвариантность — Масса не зависит от характера и скорости движения тела;
• Масса замкнутой системы тел сохраняется.

Понятие

Импульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

В классической механике импульс тела равен произведению массы m тела на ᴇᴦο скорость overrightarrow{v} , направление импульса совпа с направлением вектора скорости: overrightarrow{р}=moverrightarrow{v} .

Свойства импульса

• Аддитивность. Эᴛο свойство означает, что импульс механической системы, состоящей ᴎɜ материальных точек, равен сумме импульсов всœех материальных точек, входящих в систему.
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчета.
• Сохранение. Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические системы.

Задачи динамики

Динамика при исследовании движения тела рассматривает ᴇᴦο либо как свободную материальную точку, либо как систему материальных точек и наложенных на них связей.

Целью исследования движения свободнои̌ материальнои̌ точки решение однои̌ ᴎɜ двойственных задач:

• зная действующие на точку силы, выяснить закон движения точки (прямая, или основная задача динамики);
• зная закон движения точки, выяснить равнодействующую действующующих на нее сил (обратная задача динамики).

Для несвободнои̌ материальнои̌ точки, т. е. точки, на которую наложена связь, вынуждающая её двигаться по заданнои̌ поверхности или кривой, обратная задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная закон движения точки и действующие на нее активные силы, выяснить реакцию связи.

1. Прямая задача динамики при несвободном движении распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку активные силы, выяснить: а) закон движения точки; б) реакцию наложеннои̌ связи.
2. Решение прямой задачи динамики сводится к тому, чтобы путём интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающих силы, действующие на точку, найти закон её движения, выражающий зависимость её координат от времени в заданнои̌ системе координат.
3. Соответственно, обратная задача динамики решается дифференцированием по времени заданного закона движения точки.

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1819_mehanicheskaya_sila_osnovnaya_zadacha_dinamiki

Динамика системы тел. Основные теоремы и понятия

Общие теоремы динамики системы тел. Теоремы о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении главного момента количества движения, об изменении кинетической энергии. Принципы Даламбера, и возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа.

Общие теоремы динамики – это теорема о движении центра масс механической системы, теорема об изменении количества движения, теорема об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) и теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема о движении центра масс механической системы

• Теорема о движении центра масс. Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
• .
• Здесь M – масса системы: ; aC – ускорение центра масс системы: ; vC – скорость центра масс системы: ; rC – радиус вектор (координаты) центра масс системы: ; – координаты (относительно неподвижного центра) и массы точек, из которых состоит система.

Теорема об изменении количества движения (импульса)

1. Количество движения (импульс) системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс или сумме количества движения (сумме импульсов) отдельных точек или частей, составляющих систему: .
2. Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме.

   Производная по времени от количества движения (импульса) системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:

3. .
4. Теорема об изменении количества движения в интегральной форме.

   Изменение количества движения (импульса) системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:

5. .

Закон сохранения количества движения (импульса).

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Если сумма проекций внешних сил на какую либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось будет постоянной.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)

Главным моментом количества движения системы относительно данного центра O называется величина   , равная векторной сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра: . Здесь квадратные скобки обозначают векторное произведение.

Закрепленные системы

Следующая ниже теорема относится к случаю, когда механическая система имеет неподвижную точку или ось, которая закреплена относительно инерциальной системы отсчета. Например тело, закрепленное сферическим подшипником.

Или система тел, совершающая движение вокруг неподвижного центра. Это также может быть неподвижная ось, вокруг которой вращается тело или система тел.

В этом случае, под моментами следует понимать моменты импульса и сил относительно закрепленной оси.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов) Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра O равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то момент количества движения системы относительно этой оси будет постоянным.

Произвольные системы

Следующая далее теорема имеет универсальный характер. Она применима как к закрепленным системам, так и к свободно движущимся. В случае закрепленных систем нужно учитывать реакции связей в закрепленных точках. Она отличается от предыдущей теоремы тем, что вместо закрепленной точки O можно выбрать произвольную точку C.

Теорема моментов относительно произвольного центра. Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно произвольного центра C равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

На практике, для свободного твердого тела, в качестве точки C следует выбирать его центр масс. В этом случае момент импульса наиболее просто выражается через главные моменты инерции тела и компоненты угловой скорости. В противном случае мы все равно придем к тем же уравнениям, но более сложным путем.

Закон сохранения момента импульса. Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно точки C равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Момент инерции тела

Если тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью ωz, то его момент количества движения (кинетический момент) относительно оси z определяется по формуле: Lz = Jz ωz, где Jz – момент инерции тела относительно оси z.

Момент инерции тела относительно оси z определяется по формуле: , где hk – расстояние от точки массой mk до оси z. Для тонкого кольца массы M и радиуса R или цилиндра, масса которого распределена по его ободу, Jz = M R2. Для сплошного однородного кольца или цилиндра,

.

Теорема Штейнера-Гюйгенса. Пусть Cz – ось, проходящая через центр масс тела, Oz – параллельная ей ось. Тогда моменты инерции тела относительно этих осей связаны соотношением: JOz = JCz + M a2, где M – масса тела; a – расстояние между осями.

В более общем случае: , где     – тензор инерции тела. Здесь     – вектор, проведенный из центра масс тела в точку с массой mk.

Теорема об изменении кинетической энергии

Пусть тело массы M совершает поступательное и вращательное движение с угловой скоростью ω вокруг некоторой оси z.

Тогда кинетическая энергия тела определяется по формуле: , где vC – скорость движения центра масс тела; JCz – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси вращения.

Направление оси вращения может меняться со временем. Указанная формула дает мгновенное значение кинетической энергии.

• Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Дифференциал (приращение) кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме дифференциалов работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
• .
• Теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме. Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
• .
• См. Пример решения задачи >>>
• Работа, которую совершает сила   , равна скалярному произведению векторов силы и бесконечно малому перемещению точки ее приложения : , то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.
• Работа, которую совершает момент сил   , равна скалярному произведению векторов момента и бесконечно малого угла поворота : .

Принцип Даламбера

Суть принципа Даламбера состоит в том, чтобы задачи динамики свести к задачам статики. Для этого предполагают (или это заранее известно), что тела системы имеют определенные (угловые) ускорения.

Далее вводят силы инерции и (или) моменты сил инерции, которые равны по величине и обратные по направлению силам и моментам сил, которые по законам механики создавали бы заданные ускорения или угловые ускорения

Рассмотрим пример. Путь тело совершает поступательное движение и на него действуют внешние силы   . Далее мы предполагаем, что эти силы создают ускорение центра масс системы   . По теореме о движении центра масс, центр масс тела имел бы такое же ускорение, если бы на тело действовала сила . Далее мы вводим силу инерции: . После этого задача динамики:

.

Превращается в задачу статики:

;

.

Для вращательного движения поступают аналогичным образом. Пусть тело вращается вокруг оси z и на него действуют внешние моменты сил M ezk. Мы предполагаем, что эти моменты создают угловое ускорение εz. Далее мы вводим момент сил инерции M И = – Jz εz. После этого задача динамики: . Превращается в задачу статики:

;

.

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений применяется для решений задач статики. В некоторых задачах, он дает более короткое решение, чем составление уравнений равновесия. Особенно это касается систем со связями (например, системы тел, соединенные нитями и блоками), состоящих из множества тел

Принцип возможных перемещений. Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Возможное перемещение системы – это малое перемещение, при котором не нарушаются связи, наложенные на систему.

Идеальные связи – это связи, которые не совершают работы при перемещении системы. Точнее, сумма работ, совершаемая самими связями при перемещении системы равна нулю.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа)

Принцип Даламбера — Лагранжа – это объединение принцип Даламбера с принципом возможных перемещений. То есть, при решении задачи динамики, мы вводим силы инерции и сводим задачу к задаче статики, которую решаем с помощью принципа возможных перемещений.

Принцип Даламбера — Лагранжа. При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:

.

Это уравнение называют общим уравнением динамики.

См. Пример решения задачи >>>

Уравнения Лагранжа

Обобщенные координаты q1, q2 , …, qn – это совокупность n величин, которые однозначно определяют положение системы.

Число обобщенных координат n совпадает с числом степеней свободы системы.

Обобщенные скорости   – это производные от обобщенных координат по времени t.

Обобщенные силы Q1, Q2 , …, Qn. Рассмотрим возможное перемещение системы, при котором координата qk получит перемещение δqk. Остальные координаты остаются неизменными. Пусть δAk – это работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении. Тогда δAk = Qk δqk, или .

Если, при возможном перемещении системы, изменяются все координаты, то работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении, имеет вид: δA = Q1 δq1 + Q2 δq2 + … + Qn δqn. Тогда обобщенные силы являются частными производными от работы по перемещениям:

1. .
2. Для потенциальных сил с потенциалом Π, .
3. Уравнения Лагранжа – это уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:

Здесь T – кинетическая энергия. Она является функцией от обобщенных координат, скоростей и, возможно, времени.

Поэтому ее частная производная     также является функцией от обобщенных координат, скоростей и времени. Далее нужно учесть, что координаты и скорости являются функциями от времени.

Поэтому для нахождения полной производной по времени нужно применить правило дифференцирования сложной функции: .

Источник: https://1cov-edu.ru/termeh/dinamika_tel/

Основная задача динамики. Понятие состояния в классической физике

Кинематическое описание движения. Радиус — вектор. Перемещение. Путь. Скорость и ускорение. Нормальное и касательное ускорение. Угловая скорость и угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными характеристиками.

Кинематич описание движ-я матер точки задается кинематич у-ями движ-я матер точки. (x=x(t);y=y(t);z=z(t)) Число независ коорд, определяющих полож точки в простр наз числ степеней свободы. Радиус-вектор-вект, провед из начала коорд в данную точку.

Перемещ-вект,провед из начальн полож движущ точки в полож ее в данный момент(приращ радиус-вектора за дан промежут t). Путь-длина участка траектории АВ, пройденного матер точкой с момента начала отсчета t. У-е движ-я матер точки:F=ma=m*dv/dt.

но m-пост велич =>F=d* *(mv)/dt=> F=dp/dt. Скорость-велич, опред быстроту и направл движ в дан момент t. мгновен V-V в данный момент t. Ускор-велич, характ быстроту изменен V по модулю и направл. Полн уск-сум танг(быстрота изменен V по t) и норм сост.(быстр измен V по на– правл.

она напр к центру кривизны траектории). Тангенциальное ускорение — направлено по касательной к траектории. Является составляющей вектора ускорения a. Характеризует изменение скорости по модулю.

Центростремительное или Нормальное ускорение— возникает (не равно нулю) всегда при движении точки по окружности (конечного радиуса). Является составляющей вектора ускорения a, перпендикулярной вектору мгновенной скорости. Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру окружности, а модуль равен: а=V2/r или а=w2/r.

Угловой скоростью вращения абсолютно твердого тела называется вектор w, численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения таким образом, чтобы он совпадал по направлению с поступательным движением Буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом.

Угловым ускорением называется вектор ε равный первой производной по времени от угловой скорости или второй производной от угла поворота. Запишем функцию, связывающую угловые величины с линейными:

При равномерном вращении ε = 0, ω = const, φ = φ0±ωt.

Основная задача динамики. Понятие состояния в классической физике.

Основная задача динамики — изучение законов движения тел и причин, к-рые вызывают или изменяют это движ. Класси́ческая фи́зика — физика до появления квантовой теории и теории относительности.

Основы классической физики были заложены в Эпоху Возрождения рядом учёных, из к-рых особенно выделяют Ньютона — создателя классической механики.

Класси́ческая меха́ника— вид механики, основанный на законах Ньютона и принципе относительности Галилея.

3. Масса, импульс, сила. Силы в механике.

МАССА — фундаментальная физическая величина, определяющая инертные и гравитационные свойства всех тел — от макроскопических тел до атомов и элементарных частиц. Сила —векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на данное тело других тел, а также полей.

Приложенная к массивному телу сила является причиной изменения его скорости или возникновения в нём деформаций. И́мпульс — векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела.

В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости.

Закон всемирного тяготения. Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

где G = 6,67·10–11 м3/кг·с2 (СИ) – гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения справедлив для точечных, а также сферически симметричных тел. Приближенно он выполняется для любых тел, если расстояние между ними значительно больше их размеров.

Одним из проявлений закона всемирного тяготения является сила тяжести. На поверхности Земли r=Rз, поэтому сила всемирного тяготения, действующая на тело массой m, равна

где ускорение свободного падения Здесь Мз=5,97*1024кг масса Земли равна, а ее радиус Rз=6380км. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения равно приблизительно g = 9,8 м/с2.

Сила F называется силой тяжести и направлена к центру Земли.

В современной физике считается, что гравитационное притяжение обусловлено наличием гравитационного поля, посредством которого тела действуют друг на друга.

Сила, с которой тело действует на неподвижную горизонтальную опору или подвес, называется весом тела Р.

Понятие веса может быть распространено и на случай, когда опора или подвес движутся с ускорением относительно инерциальных систем.

Если опора или подвес двигается с некоторым ускорением, то сила давления со стороны тела (то есть вес тела) изменяется.

В частности, если опора движется с ускорением g? направленным против силы тяжести, то вес тела обращается в нуль. Такое состояние называют невесомостью. Состояние невесомости испытывает космонавт в космическом корабле.

Изменение формы или размеров тела называется деформацией. Деформации бывают упругими и пластичными. При упругих деформациях тело восстанавливает свою форму и размеры после прекращения действия силы, при пластичных – нет. При упругих деформациях справедлив закон Гука: деформация пропорциональна вызывающей ее силе.

Коэффициент k называется жесткостью. Знак минус показывает, что упругая сила всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

При больших силах деформация становится пластической, график зависимости силы упругости от удлинения становится нелинейным, и закон Гука перестает действовать.

Силы, действующие между поверхностями соприкасающихся твердых тел, называются силами сухого трения. Они всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям и подразделяются на силы трения покоя, скольжения и качения.

Если проекция внешней силы больше Fтр max, то возникает движение. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения. Экспериментально доказано, что сила трения скольжения пропорциональна силе реакции опоры:

Коэффициент трения μ зависит от материалов, из которых изготовлены соприкасающиеся тела, и не зависит от размеров соприкасающихся поверхностей.

Сила трения скольжения всегда направлена против относительного движения тела.

Сила трения качения возникает, если тело катится по поверхности. Она значительно меньше силы трения скольжения для тела соответствующей массы. При решении многих физических задач силой трения качения можно пренебречь.

При движении в жидкости или газе возникает сила вязкого трения. При вязком трении нет трения покоя. Сила вязкого трения направлена в сторону, противоположную скорости тела. Зависимость от модуля скорости может быть линейной F = –βv или квадратичной F = –αv2.

• Законы Ньютона
• I закон Ньютона
• Существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действие других сил скомпенсированно.
• II закон Ньютона
• Ускорение тела прямопропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе: F=ma III закон Ньютона
• Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Источник: https://stydopedia.ru/2xcefd.html