Магнитная энергия совокупности контуров с током — справочник студента

Основные теоретические сведения

Сила Ампера

К оглавлению…

Заряженные тела способны создавать кроме электрического еще один вид поля. Если заряды движутся, то в пространстве вокруг них создается особый вид материи, называемый магнитным полем.

Следовательно, электрический ток, представляющий собой упорядоченное движение зарядов, тоже создает магнитное поле. Как и электрическое поле, магнитное поле не ограничено в пространстве, распространяется очень быстро, но все же с конечной скоростью.

Его можно обнаружить только по действию на движущиеся заряженные тела (и, как следствие, токи).

В системе единиц СИ за единицу магнитной индукции принят 1 Тесла (Тл).

 Если в магнитное поле с индукцией B поместить проводник длиной l с током I, то на него будет действовать сила, называемая силой Ампера, которая вычисляется по формуле:

где: В – индукция магнитного поля, I – сила тока в проводнике, l – его длина. Сила Ампера направлена перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока, текущего по проводнику. 

Для определения направления силы Ампера обычно используют правило «Левой руки»: если расположить левую руку так, чтобы линии индукции входили в ладонь, а вытянутые пальцы были направлены вдоль тока, то отведенный большой палец укажет направление силы Ампера, действующей на проводник (см. рисунок).

Если угол α между направлениями вектора магнитной индукции и тока в проводнике отличен от 90°, то для определения направления силы Ампера надо взять составляющую магнитного поля, которая перпендикулярна направлению тока. Решать задачи этой темы нужно так же как и в динамике или статике, т.е. расписав силы по осям координат или складывая силы по правилам сложения векторов.

Момент сил, действующих на рамку с током

Пусть рамка с током находится в магнитном поле, причём плоскость рамки перпендикулярна полю. Силы Ампера будут сжимать рамку, а их равнодействующая будет равна нулю.

Если поменять направление тока, то силы Ампера поменяют своё направление, и рамка будет не сжиматься, а растягиваться. Если линии магнитной индукции лежат в плоскости рамки, то возникает вращательный момент сил Ампера.

Вращательный момент сил Ампера равен:

где: S — площадь рамки, α — угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции (нормаль — вектор, перпендикулярный плоскости рамки), N – количество витков, B – индукция магнитного поля, I – сила тока в рамке.

Сила Лоренца

К оглавлению…

Сила Ампера, действующая на отрезок проводника длиной Δl с силой тока I, находящийся в магнитном поле B может быть выражена через силы, действующие на отдельные носители заряда. Эти силы называют силами Лоренца. Сила Лоренца, действующая на частицу с зарядом q в магнитном поле B, двигающуюся со скоростью v, вычисляется по следующей формуле:

Угол α в этом выражении равен углу между скоростью и вектором магнитной индукции. Направление силы Лоренца, действующей на положительно заряженную частицу, так же, как и направление силы Ампера, может быть найдено по правилу левой руки или по правилу буравчика (как и сила Ампера).

Вектор магнитной индукции нужно мысленно воткнуть в ладонь левой руки, четыре сомкнутых пальца направить по скорости движения заряженной частицы, а отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца.

Если частица имеет отрицательный заряд, то направление силы Лоренца, найденное по правилу левой руки, надо будет заменить на противоположное.

Сила Лоренца направлена перпендикулярно векторам скорости и индукции магнитного поля. При движении заряженной частицы в магнитном поле сила Лоренца работы не совершает. Поэтому модуль вектора скорости при движении частицы не изменяется.

Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца, а ее скорость лежит в плоскости, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля, то частица будет двигаться по окружности, радиус которой можно вычислить по следующей формуле:

Сила Лоренца в этом случае играет роль центростремительной силы. Период обращения частицы в однородном магнитном поле равен:

Последнее выражение показывает, что для заряженных частиц заданной массы m период обращения (а значит и частота, и угловая скорость) не зависит от скорости (следовательно, и от кинетической энергии) и радиуса траектории R.

Теория о магнитном поле

К оглавлению…

Магнитное взаимодействие токов

Если по двум параллельным проводам идёт ток в одном направлении, то они притягиваются; если в противоположных направлениях, то отталкиваются. Закономерности этого явления были экспериментально установлены Ампером.

 Взаимодействие токов вызывается их магнитными полями: магнитное поле одного тока действует силой Ампера на другой ток и наоборот.

 Опыты показали, что модуль силы, действующей на отрезок длиной Δl каждого из проводников, прямо пропорционален силам тока I1 и I2 в проводниках, длине отрезка Δl и обратно пропорционален расстоянию R между ними:

где: μ0 – постоянная величина, которую называют магнитной постоянной. Введение магнитной постоянной в СИ упрощает запись ряда формул. Ее численное значение равно:

μ0 = 4π·10–7 H/A2 ≈ 1,26·10–6 H/A2.

Сравнивая приведенное только что выражение для силы взаимодействия двух проводников с током и выражение для силы Ампера нетрудно получить выражение для индукции магнитного поля создаваемого каждым из прямолинейных проводников с током на расстоянии R от него:

где: μ – магнитная проницаемость вещества (об этом чуть ниже). Если ток протекает по круговому витку, то в центре витка индукция магнитного поля определяется по формуле:

Силовыми линиями магнитного поля называют линии, по касательным к которым располагаются магнитные стрелки. Магнитной стрелкой называют длинный и тонкий магнит, его полюса точечны. Подвешенная на нити магнитная стрелка всегда поворачивается в одну сторону. При этом один её конец направлен в сторону севера, второй — на юг.

Отсюда название полюсов: северный (N) и южный (S). Магниты всегда имеют два полюса: северный (обозначается синим цветом или буквой N) и южный (красным цветом или буквой S). Магниты взаимодействуют так же, как и заряды: одноименные полюса отталкиваются, а разноименные – притягиваются. Невозможно получить магнит с одним полюсом.

Даже если магнит разломать, то у каждой части будет по два разных полюса.

Вектор магнитной индукции

Вектор магнитной индукции — векторная физическая величина, являющаяся характеристикой магнитного поля, численно равная силе, действующей на элемент тока в 1 А и длиной 1 м, если направление силовой линии перпендикулярно проводнику. Обозначается В, единица измерения — 1 Тесла. 1 Тл — очень большая величина, поэтому в реальных магнитных полях магнитную индукцию измеряют в мТл.

Вектор магнитной индукции направлен по касательной к силовым линиям, т.е. совпадает с направлением северного полюса магнитной стрелки, помещённой в данное магнитное поле. Направление вектора магнитной индукции не совпадает с направлением силы, действующей на проводник, поэтому силовые линии магнитного поля, строго говоря, силовыми не являются.

Силовая линия магнитного поля постоянных магнитов направлена по отношению к самим магнитам так, как показано на рисунке:

В случае магнитного поля электрического тока для определения направления силовых линий используют правило «Правой руки»: если взять проводник в правую руку так, чтобы большой палец был направлен по току, то четыре пальца, обхватывающие проводник, показывают направление силовых линий вокруг проводника:

В случае прямого тока линии магнитной индукции — окружности, плоскости которых перпендикулярны току. Вектора магнитной индукции направлены по касательной к окружности.

Соленоид — намотанный на цилиндрическую поверхность проводник, по которому течёт электрический ток I. Магнитное поле соленоида подобно полю прямого постоянного магнита. Внутри соленоида длиной l и количеством витков N создается однородное магнитное поле с индукцией (его направление также определяется правилом правой руки):

Линии магнитного поля имеют вид замкнутых линий — это общее свойство всех магнитных линий. Такое поле называют вихревым. В случае постоянных магнитов линии не оканчиваются на поверхности, а проникают внутрь магнита и замыкаются внутри. Это различие электрического и магнитного полей объясняется тем, что, в отличие от электрических, магнитных зарядов не существует.

Магнитные свойства вещества

Все вещества обладают магнитными свойствами. Магнитные свойства вещества характеризуются относительной магнитной проницаемостью μ, для которой верно следующее:

Данная формула выражает соответствие вектора магнитной индукции поля в вакууме и в данной среде. В отличие от электрического, при магнитном взаимодействии в среде можно наблюдать и усиление, и ослабление взаимодействия по сравнению с вакуумом, у которого магнитная проницаемость μ = 1.

У ферромагнетиков — железо, никель, кобальт — μ >> 1. Например, у железа μ ≈ 25000.

Магнитный поток. Электромагнитная индукция

К оглавлению…

Явление электромагнитной индукции было открыто выдающимся английским физиком М.Фарадеем в 1831 году. Оно заключается в возникновении электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении во времени магнитного потока, пронизывающего контур. Магнитным потоком Φ через площадь S контура называют величину:

где: B – модуль вектора магнитной индукции, α – угол между вектором магнитной индукции B и нормалью (перпендикуляром) к плоскости контура, S – площадь контура, N – количество витком в контуре. Единица магнитного потока в системе СИ называется Вебером (Вб).

• Фарадей экспериментально установил, что при изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает ЭДС индукции εинд, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус:
• Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум возможным причинам.

1. Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле. Возникновение ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.
2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре.

При решении задач важно сразу определить за счет чего меняется магнитный поток. Возможно три варианта:

1. Меняется магнитное поле.
2. Меняется площадь контура.
3. Меняется ориентация рамки относительно поля.

При этом при решении задач обычно считают ЭДС по модулю. Обратим внимание также внимание на один частный случай, в котором происходит явление электромагнитной индукции. Итак, максимальное значение ЭДС индукции в контуре состоящем из N витков, площадью S, вращающемся с угловой скоростью ω в магнитном поле с индукцией В:

Движение проводника в магнитном поле

К оглавлению…

При движении проводника длиной l в магнитном поле B со скоростью v на его концах возникает разность потенциалов, вызванная действием силы Лоренца на свободные электроны в проводнике. Эту разность потенциалов (строго говоря, ЭДС) находят по формуле:

где: α — угол, который измеряется между направлением скорости и вектора магнитной индукции. В неподвижных частях контура ЭДС не возникает.

Если стержень длиной L вращается в магнитном поле В вокруг одного из своих концов с угловой скоростью ω, то на его концах возникнет разность потенциалов (ЭДС), которую можно рассчитать по формуле:

Индуктивность. Самоиндукция. Энергия магнитного поля

К оглавлению…

Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре.

Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в контуре.

Собственный магнитный поток Φ, пронизывающий контур или катушку с током, пропорционален силе тока I:

Коэффициент пропорциональности L в этой формуле называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью катушки. Единица индуктивности в СИ называется Генри (Гн).

Запомните: индуктивность контура не зависит ни от магнитного потока, ни от силы тока в нем, а определяется только формой и размерами контура, а также свойствами окружающей среды. Поэтому при изменении силы тока в контуре индуктивность остается неизменной. Индуктивность катушки можно рассчитать по формуле:

1. где: n — концентрация витков на единицу длины катушки:
2. ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке с постоянным значением индуктивности, согласно формуле Фарадея равна:
3. Итак ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Энергия Wм магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, может быть рассчитана по одной из формул (они следуют друг из друга с учётом формулы Φ = LI):

• Соотнеся формулу для энергии магнитного поля катушки с её геометрическими размерами можно получить формулу для объемной плотности энергии магнитного поля (или энергии единицы объёма):

Правило Ленца

К оглавлению…

Инерция – явление, происходящее и в механике (при разгоне автомобиля мы отклоняемся назад, противодействуя увеличению скорости, а при торможении отклоняемся вперёд, противодействуя уменьшению скорости), и в молекулярной физике (при нагревании жидкости увеличивается скорость испарения, самые быстрые молекулы покидают жидкость, уменьшая скорость нагревания) и так далее.

В электромагнетизме инерция проявляется в противодействии изменению магнитного потока, пронизывающего контур. Если магнитный поток нарастает, то возникающий в контуре индукционный ток направлен так, чтобы препятствовать нарастанию магнитного потока, а если магнитный поток убывает, то возникающий в контуре индукционный ток направлен так, чтобы препятствовать убыванию магнитного потока.

Правило Ленца для определения направления индукционного тока: возникающий в контуре индукционный ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, которое вызывало этот ток.

Источник: https://educon.by/index.php/materials/phys/magnetizm

Энергия магнитного поля магнито-связанных контуров

• Энергия магнитного поля системы n контуров с токами равна полусумме произведений токов в контурах на потокосцепление контуров
• 
• Так как, энергия магнитного поля одного контура или катушки с током определяется следующим образом: ,
• то Энергия системы двух контуров, связанных друг с другом посредством магнитного поля, равна:
• Знак плюс перед слагаемым MI1I2 соответствует согласному включению кон­туров, минус—встречному.

Взаимная индуктивность является параметром магнитосвязанных проводников. Обозначается взаимная индуктивность М, измеряется в генри (Гн).Взаимная индуктивность двух магнитосвязанных катушек зависит от числа витков этих катушек, габаритов и материала магнитопровода, на котором располагаются катушки. Математическая запись этой зависимости имеет следующий вид:

Запишем общее выражение для магнитной энергии системы магнитносвязанных контуров:

1. где yK— полное потокосцепление k-контура:
2. По сравнению с энергией магнитного поля 2-х индуктивно не связанных катушек, энергия общего магнитного поля 2-х индуктивно связанных катушек увеличивается (уменьшается) при согласном (встречном) включении на Wм вз.=М*I1*I2
3. (Если мы имеем две катушки, у которых отмечены начала и концы намотки, и если токи в них протекают одинаково, например от начала к концу в обеих катушках, то оба магнитные потока в каждой из них будут направлены согласно.)

Возможны два вида их соединения – согласное и встречное. Если считать, что звездочками отмечены начала обмоток, то при согласном включении начало второй подключается к концу первой (рис. 3.3, а). Токи в обеих катушках направлены одинаково относительно одноименных зажимов: от начала к концу. При встречном включении катушек конец второй присоединяется к концу первой (рис. 3.3, б

Индуктивность в системе магнито-связанных катушек

Элементы электрической цепи могут быть связаны между собой: связаны общим магнитным полем и тогда, изменение поля в одном из эл-тоа будет явл. причиной наведения ЭДС в др. элементе. Такое взаимное влияние элементов цепи друг на друга азывают их индуктивной связью.

Если изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению э.д.с. в другом элементе, то эти два элемента индуктивно связаны, а возникающая э.д.с. называется э.д.с. взаимной индукции.

Взаимная индуктивность является параметром магнитосвязанных проводников. Обозначается взаимная индуктивность М, измеряется в генри (Гн).Взаимная индуктивность двух магнитосвязанных катушек зависит от числа витков этих катушек, габаритов и материала магнитопровода, на котором располагаются катушки. Математическая запись этой зависимости имеет следующий вид:

Цепи, которые содержат катушки индуктивности, связанные между собой общим потоком взаимной индукции. При протекании переменного тока в одной катушке будет, наводится напряжение (ЭДС) не только в этой катушке (напряжение (ЭДС) самоиндукции), но и в других катушках, магнитно связанные с первой (напряжение (ЭДС) взаимной индукции). Математически это может быть представлено уравнениями.

• 
• где М – коэффициент взаимоиндукции, измеряемый в Генри и отражающий взаимодействие катушек индуктивности через общее для них магнитный поток.
• Каждое напряжение состоит из двух слагаемых, первое из которых — напряжение самоиндукции, вызванное собственным током катушки, а второе-напряжение взаимной индукции, вызванное током другой катушки или наведенное из нее

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 352;

Источник: https://studopedia.net/7_6166_energiya-magnitnogo-polya-magnito-svyazannih-konturov.html

Приложение

• Энергия магнитного поля системы контуров с токами
• Энергия магнитного поля системы контуров с токами требует знания теоремы Стокса, формулы Остроградского — Гаусса и уравнений Максвелла. При первом чтении можно пропустить
• Используем известное выражение для энергии магнитного поля

(П1)

Здесь и — индукция и напряженность магнитного поля, причем . Предполагается, что магнитная проницаемость не зависит от , т. е. среда не ферромагнитна. Интегрирование ведется по всему объему, занимаемому магнитным полем.

Нас будет интересовать энергия всей системы (контуров с током), поэтому объем предполагается достаточно большим, чтобы на его поверхности магнитное поле отсутствовало. Выразим скалярное произведение через векторный потенциал . Используя связь магнитного поля и векторного потенциала, ,  а также основные формулы векторного анализа, получим:

При интегрировании по всему объему второе слагаемое исчезает. Действительно: 

(П2)

Последнее равенство справедливо, поскольку интегрирование ведется по поверхности, охватывающей всю область, занятую магнитным полем.  Как уже говорилось, H = 0  на этой поверхности. Далее воспользуемся уравнением Максвелла

(П3)

1. которое справедливо в отсутствии электрических полей.  Подставляя (П3), (П2) в (П1), получим
2. 
3. Это общее выражение, при его выводе не делались предположения о форме плотности тока проводимости j. Пусть теперь эта плотность тока создается контурами с токами Ii
4. Тогда только в областях, занятых тонкими проводами. Выбрав линейный элемент провода с поперечным  сечением  , можно записать

• Здесь учтено, что все три вектора сонаправлены. Тогда, поскольку это равенство верно для всех контуров со своимитоками  , получаем выражение для энергии «n» контуров с током в виде
• 
• Интегрирование ведется по всем объемам Vi , в которых плотность тока отлична от нуля.
• Используя теорему Стокса для векторного потенциала
•  
• получаем окончательное выражение для энергии магнитного поля

(П4)

Здесь Fi  — поток вектора магнитной индукции через поверхность, охватываемую i-тым контуром тока. Он создается магнитными полями всех контуров с токами.

В основном тексте связь коэффициентов взаимной индуктивности  получена на основе формулы (П4).

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/electricity/data/course/8/extra.html

Законы и уравнения магнитного поля

Законы и уравнения магнитного поля

Множители и приставки для десятичных величин

Приставка	Множитель	Обозначение
Русское	Международное
экса	1018	Э	E
пета	1015	П	P
тера	1012	Т	T
гига	109	Г	G
мега	106	М	M
кило	103	к	k
гекто	102	г	h
дека	101	да	da
деци	10-1	д	d
санти	10-2	с	c
милли	10-3	м	m
микро	10-6	мк	m
нано	10-9	н	n
пико	10-12	п	p
фемто	10-15	ф	f
атто	10-18	а	a

Приставки гекто-, дека-, деци- и санти- используются только в исторически сложившихся наименованиях (например, гектар, декалитр, дециметр, сантиметр).

Единицы измерения магнитных величин

Система единиц Наименование	СГС	СИ	Соотношение
Магнитная индукция	Гс	Тл	1 Гс = 10-4 Тл
Напряженность магнитного поля	Э	А/м	1 Э ≈ 79.5775 А/м
Магнитный поток	Мкс	Вб	1 Мкс = 10-8 Вб

• Гс — Гаусс, Тл — Тесла, Э — Эрстед, А/м — Ампер на метр, Мкс — Максвелл, Вб — Вебер
• Внесистемная единица напряженности магнитного поля: 1 гамма = 1 g = 10-5 Э ↔ 10-9 Тл = 1 нТл
• Принцип суперпозиции
• Магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности.
• Связь между напряженностью магнитного поля, индукциейи намагниченностью
• В вакууме:
• где H – напряженность магнитного поля, B – индукция магнитного поля, m0 = 4p ∙ 10-7 В ∙ сек/А ∙ м = 4p ∙ 10-7 Гн/м – магнитная постоянная.
• В среде:
• где I – вектор интенсивности намагничения среды (намагниченность) – векторная сумма магнитных моментов, находящихся в единице объема.
• В изотропной среде:
• где m – относительная магнитная проницаемость среды.
• Закон Ампера
• Сила Ампера – сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током. Элементарная сила Ампера dF, действующая на малый элемент dl длины проводника, по которому идет электрический ток I, равна:
• где dl – вектор, численно равный длине dl элемента проводника и направленный в ту же сторону, что и вектор j плотности тока в этом элементе проводника.
• Если векторы dl и B взаимно перпендикулярны, то направление силы dF можно найти по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали бы направление электрического тока, то отставленный большой палец укажет направление силы, действующей со стороны поля на проводник.
• Закон Био – Савара – Лапласа
• Закон Био – Савара – Лапласа устанавливает величину и направление вектора магнитной индукции dB в произвольной точке магнитного поля, создаваемого в вакууме элементом проводника длиной dl с током I:
• 
• где dl – вектор элемента проводника, численно равный dl и проведенный в направлении тока, r – радиус-вектор, проведенный из этого элемента проводника в рассматриваемую точку поля, r = mod(r).
• Численно вектор dB равен:
• 
• где f – угол, под которым виден из рассматриваемой точки поля элемент dl проводника.
• Векторное произведение в прямоугольной системе координат
• 
• где i, j, k – единичные векторы-орты, Ax, Ay, Az и Bx, By, Bz – составляющие векторов A и B вдоль осей координат x, y, z, соответственно.
• Правило Максвелла (правило буравчика)
• Правило Максвелла позволяет определить направление вектора индукции (или линий индукции) магнитного поля тока: если ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то направление движения рукоятки укажет направление вектора индукции (линий индукции).
• Примеры магнитных полей токов
• Магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током I:
• H = (1/4p) ∙ (2I/r)
• B = (mm0/4p) ∙ (2I/r)
• где r — расстояние от проводника до точки расчета.
• Магнитное поле на оси кругового витка радиуса R с током I на расстоянии h от центра:
• H = (1/2) ∙ (IR2) / (R2 + h2)3/2
• B = (mm0/2) ∙ (IR2) / (R2 + h2)3/2
• Магнитное поле в центре кругового витка радиуса R с током I:
• H = I/(2R)
• B = mm0 I/(2R)
• Магнитное поле в центре прямоугольного витка (a и b — стороны прямоугольника) с током I:
• H = (1/p ) ∙ 2I(a2 + b2)1/2 / (ab)
• B = (mm0/p ) ∙ 2I(a2 + b2)1/2 / (ab)
• Магнитное поле тороида с током I (тороид — кольцевая катушка индуктивности, намотанная на сердечник, имеющий форму тора) полностью локализовано внутри тороида:
• H = NI / (2p r)
• B = mm0NI / (2p r)
• где N — число витков катушки, r — расстояние от центра тороида до точки внутри тороида.
• Уравнения Максвелла
• rot H = j + dD/d t
• rot E = — dB/d t
• div B = 0
• div D = r
• где H — напряженность магнитного поля, j — плотность электрического тока, D — электрическое смещение, E — напряженность электрического поля, B — магнитная индукция, r — плотность свободных электрических зарядов. Векторы D и E, B и H связаны между собой посредством тензоров электрической e (относительной электрической er) и магнитной m (относительной магнитной mr) проницаемостей:
• D = eE = e0erE
• B = mH = m0mrH

где e0 = 8.854 ∙ 10-12 Ф/м и m0 = 4p ∙ 10-7 Гн/м — электрическая и магнитная проницаемости вакуума (электрическая и магнитная постоянные).

Закон электромагнитной индукции Фарадея

Явление электромагнитной индукции состоит в том, что в проводящем контуре, находящемся в изменяющемся магнитном поле, возникает электродвижущая сила (э. д. с.) индукции. Если контур замкнут, то в нем возникает электрический ток, называемый индукционным током.

Закон электромагнитной индукции Фарадея: э. д. с. электромагнитной индукции (E) в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока (F) сквозь поверхность (S), ограниченную этим контуром:

1. Изменяющееся магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле. Циркуляция напряженности E этого поля вдоль замкнутого контура:
2. 
3. 
4. Ссылки:

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: Издательство «Наука», гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. – 872 с.; ил.
2. Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма: Учеб. пособие для студентов вузов. — 2-е, стереотип. — М.: Высш. шк., 1991. — 288 с.: ил.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Издательство «Наука», гл. ред. физ.-мат. лит., 1968 г. – 720 с.; ил.
4. Физические величины: Справочник / А. П. Бабичев, Н. А. Бабушкина, А. М. Братковский и др.; Под. ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. — М.; Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с.
5. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике / Для инженеров и студентов вузов. – 7 изд., испр. – М.: Издательство «Наука», Гл. ред. физ.-мат лит., 1978. – 944 с.; ил.

Словарь терминов:

• Катушка индуктивности — электропроводящая структура, специально предназначенная для создания собственного магнитного поля за счет протекающего по ней электрического тока.
• Магнитная индукция — вектор, численно равный пределу отношения силы, действующей со стороны магнитного поля на элемент проводника с электрическим током, к произведению тока и длины элемента проводника, если длина этого элемента стремится к нулю, а элемент так расположен в поле, что этот предел имеет наибольшее значение, и направленный перпендикулярно к направлению элемента проводника и к направлению силы, действующей на этот элемент со стороны магнитного поля, причем из его конца вращение по кратчайшему расстоянию от направления силы к направлению тока в элементе проводника должно быть видно происходящим против часовой стрелки.
• Магнитное поле — разновидность электромагнитного поля, создаваемая движущимися электрическими зарядами или токами и оказывающая силовое воздействие на движущиеся электрические заряды или токи.
• Напряженность магнитного поля — магнитодвижущая сила, приходящаяся на единицу длины магнитной цепи.
• Поле — материальная субстанция, обеспечивающая передачу силовых взаимодействий через пространство.
• Принцип суперпозиции магнитных полей — магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности.
• Тороид — тороидальная катушка индуктивности.
• Электрический ток — направленное движение заряженных частиц.
• Электрическое поле — разновидность электромагнитного поля, создаваемая электрическими зарядами и оказывающая силовое воздействие на электрические заряды.
• Электромагнитное поле — совокупность находящихся во взаимосвязи электрического и магнитного полей.

Источник: http://imlab.narod.ru/M_Fields/Magn_Field/Magn_Field.htm

Магнитная энергия совокупности контуров с током

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Магнитная энергия совокупности контуров с током
Рубрика (тематическая категория)	Технические дисциплины
Articles-ads

Допустим, что система состоит ᴎɜ двух контуров, в которых текут токи. С целью найти энергию магнитного поля контуров. необходимо учитывать, что {{mathcal E}}_i (ЭДС) в каждом ᴎɜ контуров по не только за счет изменения потока индукции магнитного поля, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ создается током контура, но и за счет изменения потока индукции магнитного поля, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ порождается током в соседнем контуре. Допустим, что: {{
m I}}_1 и {{
m I}}_2 — силы токов в соответствующих контурах, потоки магнитнои̌ индукции через первый контур {Phi }_{11} и {Phi }_{12} создаются, соответственно, первым и вторым токамиВажно сказать, что для второго контура потоки магнитнои̌ индукции обозначим как {Phi }_{21} и {Phi }_{22} . В таком случае полный магнитный поток, который охватывает первый контур ( {Phi }_1 ) равен:

• суммарный поток через контур (2) равен:
• Если L_{11} — индуктивность первого контура, L_{22} — индуктивность второго контура, то можно записать, что:
• Поток {Phi }_{12} , который пересекает контур (1), создаваемый током во втором контуре равен:
• где L_{12} — постоянная, взаимная индуктивность первого и второго контуровВажно сказать, что для второго контура имеем:

1. Исходя ᴎɜ выражений (6) и (7), ЭДС индукции в первом контуре равна:
2. ЭДС во втором контуре:
3. Вся работа, которую совершают источники сторонних ЭДС за время dt может быть представлена выражением:
4. Далее примем, что:
5. ϶то будет доказано в примере 2.
6. Используя равенство (11) имеем:
7. Отсюда следует, что, выражение (10) запишем как:

Обобщим формулу (13) на случай с N контурами:

• Рисунок 1.
• при i=k коэффициент L_{ik} называется индуктивностью контура {
  m I} , при i
  e k , ϶тот коэффициент называют взаимнои̌ индуктивностью {
  m I} -го и k -го контуров. Данные коэффициенты определяются формулами при i
  e k :

где doverrightarrow{l_i},doverrightarrow{l_k} — элементы длины контуров {
m I} -го и k-го. r_{ik}- расстояние между ними. При ϶том L_{ik}=L_{ki} .

Пример 1

Задание: Вычислите энергию магнитного поля системы ᴎɜ N=100 витков с током, которые намотаны на железный сердечник в виде кольца в один слой. Учесть, что при силе тока {
m I}=2 A магнитный поток в железе равен Phi = {10}^{-4}Вб.

1. Решение:
2. В качестве основы решения используем формулу вычисления магнитнои̌ энергии поля, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ создается витками с токомВажно сказать, что для случая, который описан в задаче она примет вид:
3. Psi (потокосцепление), через N витков равно:
4. где Phi — поток магнитнои̌ индукции через один виток.
5. Выразим коэффициент индукции ᴎɜ уравнений (1.2), получим:

[W_m=frac{LI^2}{2}left(1.1
ight).] [Psi =NPhi и Psi =LI left(1.2
ight),] [L=frac{NPhi }{I}left(1.3
ight).]

Подставим L ᴎɜ (1.3) в уравнение (1.1), получим:

[W_m=frac{frac{NPhi }{I}I^2}{2}=frac{NPhi I}{2}.]

Все данные в условиях задачи представлены в системе СИ, следовательно, можно провести вычисление магнитнои̌ энергии:

[W_m=frac{100cdot 2cdot {10}^{-4}}{2}={10}^{-2}left(Дж
ight).]

Ответ: W_m={10}^{-2}Дж.

Пример 2

• Задание: Требуется показать, что взаимные индуктивности системы двух контуров с токами равны, то есть L_{21}=L_{12} .
• Решение:
• Для найдем {Phi }_{21}и {Phi }_{12} :

[{Phi }_{21}=intlimits_{S_2}{overrightarrow{B_1}}doverrightarrow{S_2}, {Phi }_{12}=intlimits_{S_1}{overrightarrow{B_2}}doverrightarrow{S_1} left(2.1
ight),]

где overrightarrow{B_1} , overrightarrow{B_2} — индукции полей, которые созданы токами I_1 и I_2 . S_1 и S_2 — поверхности интегрирования, которые натянуты на рассматриваемые контуры.

Индукция магнитного поля в каждой точке находится суммированием: overrightarrow{B_1} + overrightarrow{B_2} .

Если overrightarrow{A_1} , overrightarrow{A_2} — векторные потенциалы, соответствующих магнитных полей, то получим:

[overrightarrow{B_1}=rot overrightarrow{A_1}, overrightarrow{B_2}=rot overrightarrow{A_2}, left(2.2
ight).]

Тогда выражения (2.1) перепишем в виде:

[{Phi }_{21}=intlimits_{S_2}{rot overrightarrow{A_1}}doverrightarrow{S_2}=ointlimits_{L_2}{overrightarrow{A_1}doverrightarrow{l_2}}, {Phi }_{12}=intlimits_{S_1}{rot overrightarrow{A_2}}doverrightarrow{S_1}=ointlimits_{L_1}{overrightarrow{A_2}doverrightarrow{l_1}}left(2.3
ight),]

[overrightarrow{A_1}=frac{{mu }_0}{4pi }I_1ointlimits_{L_1}{frac{doverrightarrow{l_1}}{r}}, overrightarrow{A_2}=frac{{mu }_0}{4pi }I_2ointlimits_{L_2}{frac{doverrightarrow{l_2}}{r}left(2.4
ight).}]

Подставим выражения векторных потенциалов (2.4) в (2.3), получим:

[{Phi }_{21}=frac{{mu }_0}{4pi }I_1ointlimits_{L_2}{ointlimits_{L_1}{frac{doverrightarrow{l_1}cdot doverrightarrow{l_2}}{r_{21}}}},{Phi }_{12}=frac{{mu }_0}{4pi }I_2ointlimits_{L_1}{ointlimits_{L_2}{frac{doverrightarrow{l_2}cdot doverrightarrow{l_1}}{r_{12}}}}left(2.5
ight), ]

где r_{21}=r_{12} — расстояния между элементами doverrightarrow{l_1}и doverrightarrow{l_2} . Сравниваем формулу (2.5) с выражениями (4) и (5), получаем:

[L_{12}=frac{{mu }_0}{4pi }ointlimits_{L_1}{ointlimits_{L_2}{frac{doverrightarrow{l_2}cdot doverrightarrow{l_1}}{r_{12}}}}, L_{21}=frac{{mu }_0}{4pi }ointlimits_{L_2}{ointlimits_{L_1}{frac{doverrightarrow{l_1}cdot doverrightarrow{l_2}}{r_{21}}}}left(2.6
ight).]

Формула (2.6) показывает, что взаимная индуктивность контуров зависит только от их геометрических характеристик и взаиморасположения.

Следует отметить, что так как doverrightarrow{l_1}и doverrightarrow{l_2} — независимые переменные интегрирования можно изменить порядок интегрирования.

Используя r_{21}=r_{12}, doverrightarrow{l_2}cdot doverrightarrow{l_1}=doverrightarrow{l_1}cdot doverrightarrow{l_2}, получаем, что:

[L_{12}=L_{21}left(2.7
ight).]

Что и требовалось доказать.

Магнитная энергия совокупности контуров с током — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Магнитная энергия совокупности контуров с током»2018-2019.

— Магнитная энергия совокупности контуров с током

Допустим, что система состоит из двух контуров, в которых текут токи. Для того чтобы найти энергию магнитного поля этих контуров. необходимо учитывать, что ${{mathcal E}}_i$ (ЭДС) в каждом из контуров появляется не только за счет изменения потока индукции магнитного поля, которое… [читать далее].

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1807_magnitnaya_energiya_sovokupnosti_konturov_s_tokom

Магнитный момент контура с током

Магнитное поле оказывает ориентирующее действие на рамку с током, располагая ее правовинтовую нормаль по отношению к току по полю. При отклонении рамки от этого положения на неё будет действовать вращающий момент. Действительно. На каждую сторону рамки действует сила Ампера направления, которых определится по правилу левой руки, а по модулю .

В данном случае эти силы образуют пару сил, создающих вращающий момент

где — плечо пары сил (см. рисунок). Подставив, выражение силы Ампера, получим . Площадь рамки (площадь поверхности, натянутой на каркас рамки) , тогда .

• ,
• где — площадь поверхности, натянутой на контур с током (ограниченной этим контуром), — единичный вектор нормали к этой поверхности, образующей с током правовинтовую систему. Вектора , и взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую тройку, что позволяет записать выражение для вращающего момента в векторном виде
• ,

а модуль о вектора равен . Этот результат справедлив не только для рамки с током, но и для любого замкнутого контура с током произвольной формы.

1. Определим потенциальную энергию контура с током в магнитном поле. Для того чтобы увеличить угол между моментом и индукцией на необходимо совершить работу
2. .
3. Эта работа равна увеличению потенциальной энергии контура с током в магнитном поле
4. .

Тогда , или . Константу интегрирования определим из условия: если , то . В этом случае и, следовательно,

• . В векторной форме
• .
• Минимум энергии соответствует углу , , а максимум энергии соответствует углу , .
• Выразив магнитный момент как , можно записать потенциальную энергию контура с током в другом виде . Скалярное произведение есть поток магнитной индукции через поверхность контура, тогда

Внесем теперь плоский контур с током в неоднородное магнитное поле. Предположим, что поле увеличивается быстрее всего в направлении оси , совпадающем с направлением поля в месте расположения центра контура, и магнитный момент контура ориентирован по полю.

Силы , действующие на элементы контура перпендикулярны к векторам и , и образуют симметричный конический веер. Их результирующая сила направлена в сторону возрастания вектора и втягивает контур в область более сильного поля.

Если изменить направление тока на обратное, направление всех сил и их результирующая сила изменят, также свое направление на обратное и контур с током будет выталкиваться из магнитного поля.

Источник: https://megaobuchalka.ru/5/35802.html