Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля — справочник студента

Раздел 3.   Граничные условия.

 3.1 Неприменимость уравнений Максвелла в дифференциальной

 форме на границе  раздела диэлектрических сред.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме справедливы для описания сред электродинамические параметры, которых либо являются непрерывными функциями координат  поля в линейных средах, электродинамические параметры (eа,mа,s) которых не зависят от координат, либо являются непрерывными функциями координат.

На практике, чаще всего возникают задачи, в которых присутствуют электродинамические среды, отличающиеся электродинамическими параметрами. На границе раздела сред, где соответствующие параметры меняются скачком, операция дифференцирования, а стало быть, и уравнения Максвелла в дифференциальной форме, незаконна.

В этом случае для описания электромагнитного поля при переходе границы раздела сред, используют уравнения Максвелла в интегральной форме.

         Соотношения, которые описывают взаимосвязь векторов электромагнитного поля на границе раздела сред, называют граничными условиями.

3.2. Граничные условия для векторов электрического поля

Условия для нормальных составляющих векторов Е и D.

Поверхностные заряды.

         На границе раздела двух сред, отличающихся объемом и диэлектрической проницаемостью, выделим элементарную площадку DS. Размеры ее настолько малы, что ее можно считать плоской.

В пределах площадки нормальная составляющая вектора электрического смещения  на границе раздела в пределах  была распределена равномерно. На  DS, как на основании, построим прямой цилиндр высотой Dh так, чтобы его основания ( и ) находились в различных средах.

Единичный вектор — нормаль к основанию  считается положительной, если она из второй среды в первую.

• Применим к этому цилиндру 3-тье уравнение Максвелла в интегральной форме: (1)
• Полную поверхность представим в виде суммы:
•  (2)

Рассмотрим предел для левой части при . Устремим  таким образом, чтобы DS1 и DS2 все время были в разных средах. Очевидно, что в пределе DS1 и DS2 совпадут с площадкой DS. Учитывая, что направление векторасовпадает с направлением внешней нормали к поверхности цилиндра для слагаемых, в левой части получим следующее предельное соотношение:

1.  (3)
2.  (4)
3.  (5)
4. Осуществляя предельный переход при  в соотношении (2) с учетом выражения (3), получим: (6).
5. В данном соотношении следует рассмотреть 2 случая:
6. 1. Пусть, на границе раздела S отсутствуют поверхностные заряды, тогда  при любом конечном значении rэ (объемной плотности заряда) предел справа будет равен нулю и, получим: (7)
7. Из (7) следует, что при отсутствии поверхностного заряда на границе раздела S нормальная составляющая вектора электрического смещения Dn непрерывна при прохождении границы раздела.

2. Будем полагать, что электрические заряды распределены по поверхности S с поверхностной плотностью .

• В этом случае предел в правой части (6) можно преобразовать следующим образом:        .
• Равномерное распределение нормальной составляющей вектора D на границе раздела сред в пределах ∆S сопряжено с условием нормального распределения поверхностной плотности заряда в пределах ∆S.
•  (8).
• Подставляя (8) в (6) получим, что при условии поверхностного распределения заряда граничное условие будет следующим:
•  (9)    .
• Из (9) следует, что при наличии поверхностных зарядов на границе раздела нормальная компонента вектора D претерпевает разрыв величина которого определяется аовырхностной плотностью электрических зарядов.
• Переходя в (7) к напряжениям электрического поля получим:
•  или  (10)

Переходя в (9)  к напряжениям электрического поля получим:  (11) – справедливо при наличии поверхностных зарядов.

Из (10) и (11) следует, что даже при отсутствии поверхностных зарядов нормальная компонента вектора Е претерпевает разрыв, величина которого определяется соотношением диэлектрических проницаемостей сред. Наличие поверхностных зарядов изменяют величину этого разрыва.

P.S. Поверхностная плотность электрического заряда это удобная идеализация, упрощающая решение задач. Фактически электрический заряд распределен в конечном приграничном слое. Мы прибегаем к понятию плоскости поверхностного заряда, когда нас не интересует значение D в случае заряженного слоя.

3.3.Условия для касательных составляющих вектора E и D

         На границе раздела сред, отличающихся eа, выделим точку. Проведем через нее нормаль к поверхности S. Через эту нормаль проведем плоскость р.

В этой точке проведем единичный вектор касательный к Dl и единичный вектор перпендикулярный к Dl. В плоскости р построим контур высотой Dh так, чтобы участки контура CD и АВ находились в разных средах. Положительное направление обхода контура ABCD связано с направлением единичной нормали правилом правого винта.

Применим к контуру ABCD 2-ое уравнение Максвелла:

1.            (1)
2. Представим контур в виде суммы отрезков:
3.   (2)
4. Три единичных вектора связаны векторным соотношением. В слагаемых AB и CD векторные элементы dl равны, поэтому их можно заменить:
5. АВ: 
6.                                                     CD:

Найдем предел в соотношении (2) при Dh. Высоту уменьшим так, что бы АВ и CD были в разных средах. В пределе они совпадут с отрезком Dl.

• так как вектор  в 1 и 2 средах, а также  имеют конечное значение, то
• С учетом отмеченных особенностей предельный переход при Dh®0 ,в соотношении (2), приводит к следующему соотношению:                                       
•        (3)
• На границе раздела сред тангенциальная составляющая напряженности электрического поля непрерывна:  (4)

Тангенциальная компонента вектора электрического смешения претерпевает разрыв, величина которого равна отношению диэлектрической проницаемости сред. Из полученных граничных условий следует, что на границе раздела сред, векторы электрического поля  преломляются.

3.4. Граничные условия для векторов магнитного поля.

Условия для нормальных составляющих векторов В и Н.

         Имеется некая граница раздела сред. Выделяем на ней элементарную площадку DS. Размеры малы на столько, что в пределах этой площадки нормальная компонента  распределена равномерно. Строим на основании этой площадки цилиндр.

• Применим к цилиндру закон Гаусса
•      (1)
•         (2)

Во всех этих интегралах направление  совпадает с внешней нормалью к цилиндру. Устремим высоту цилиндра Dh®0 так, чтобы DS1 и DS2 находились в разных средах. Тогда:

1. Так как  имеет конечные значения, то . В итоге получим:
2.      (3)
3.     (4)

Из (3) и (4) следует, что нормальная компонента вектора магнитной индукции непрерывна при прохождении границы сред. Тангенциальная компонента вектора напряженности магнитного поля непрерывна только при отсутствии на границе сред поверхностного тока.

В другом случае  компонента Н претерпевает разрыв,  который определяется отношением магнитных проницаемостей сред.

3.5. Условия для касательных составляющих В и Н.

Поверхностный ток.

         Условия для касательных составляющих магнитных векторов выводятся также как и для электрических. Через нормаль проводим плоскость р. На линии пересечения выделяем элемент длины Dl, малый настолько, чтобы в пределах этого участка касательные составляющие  в 1 и 2 средах были распределены равномерно.

На этом отрезке строим контур так, чтобы участки контура были в разных средах. Положительное направление обхода контура связано с этими векторами правилом правого винта . Применим к контуру первое уравнение Максвелла в интегральной форме:     (1).

Левую часть представим в виде суммы интегралов по участкам контура:

•   (2)
•  на участках АВ и СD может быть  представлен:

         Устремим Dh®0 так, чтобы участки контура находились в разных средах. Тангенциальная составляющая  распределена равномерно.

1.          Так как векторы  в 1 и 2 средах, а также вектор  имеют конечную величину, то
2.          В результате предельного перехода, примененного к соотношению (2), получим
3. (3)
4. 1. Пусть на границе раздела S отсутствуют поверхностные токи, тогда правая часть соотношения (3) обращается в нуль, получаем                                                 (4)
5. При отсутствии поверхностных токов тангенциальная компонента  непрерывна при прохождении границы раздела сред.

   2.  Пусть на границе раздела сред S имеются поверхностные токи.

• Ðàçäåë1.          В этом случае правую часть соотношения (3) можно преобразовать
• Плотность поверхностного тока распределена в пределах Dl равномерно (это условие является следствием исходного предположения о равномерном распределении тангенциальной составляющей  в пределах Dl)                         
•          С учетом приведенных соотношений, предельный переход, выполненный в соотношении (3) приведет к следующему соотношению: 
•         (5)
• При наличии поверхностных токов на границе раздела тангенциальная составляющая  претерпевает разрыв, величина которого определяется плотностью поверхностного тока. Используя взаимосвязь единичных векторов, соотношение (5) можно переписать в векторной форме:
•  (6)
•          Соотношения (4), (5), (6) можно переписать для магнитной индукции: (7)                         (8)

         Из соотношений (7), (8) следует, что тангенциальные компоненты вектора магнитной индукции на границе раздела претерпевают разрыв. Наличие поверхностного тока только изменяет величину разрыва, увеличивая или уменьшая ее. Понятие поверхностного тока это удобная идеализация, упрощающая решение задач.

Ток протекает в конечном, по величине, слое. Причем  тангенциальная составляющая   непрерывна во всех точках внутри этого слоя, но по разные стороны этого слоя тангенциальная составляющая   имеет различные значения.

Поэтому, когда мы переходим к поверхностным токам, мы вынуждены предположить скачкообразное изменение тангенциальной составляющей .

3.6. Полная система граничных условий.

1. Граничные условия на поверхности идеального проводника
2.          (1)
3. Отсутствующие граничные условия являются следствием приведенных, при использовании материальных уравнений                         
4.          Частный случай, когда на границе раздела отсутствуют поверхностные заряды и поверхностные токи выглядит следующим образом:
5.     (2)
6.          Система (1) может быть записана в векторной форме:
7.   (3)

Соотношения (1) и (3) применимы в самом общем случае. В ряде случаев эти условия могут быть упрощены.

Обычно при решении электродинамических задач, в которых присутствуют металлические тела, обычно предполагают, что проводимость этих металлических тел равна бесконечности.

Известно, что в идеально проводящих средах электромагнитное поле отсутствует. Упрощенно, это можно показать: закон Ома в дифференциальной форме     

    В идеально проводящих средах s =¥. Объемная плотность не может быть равна бесконечности, т.е. вынуждены предположить, что . Пусть идеально проводящей является 2 среда, тогда соотношения (1) и (3) будут выглядеть:

•   (4)
•        (5)
• Для переменного электромагнитного поля .
• 2 уравнение Максвелла: , где .
• Это получится, если .
•          Из соотношений (4) и (5) следует, что на поверхности идеального проводника тангенциальная составляющая   и нормальная  обращаются в нуль.

Источник: https://studizba.com/lectures/73-fizika/1081-elektrodinamika-i-rasprostranenie-radiovoln/19902-3-granichnye-usloviya.html

Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля

Граничные условия для векторов и магнитного поля в кусочно-однородной среде. Это условия для векторов и на границе раздела двух однородных магнетиков. Эти условия получаем с помощью теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции, кот. имеет вид: : .Для : Представим малой высоты цилиндр, расположенный на границе раздела магнетиков. Тогда поток наружу из этого цилиндра можно записать так: . Взяв обе проекции на общую нормаль , получим => , т.е. нормальная составляющая вектора оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела. Для : Предположим, что вдоль пов-ти раздела магнетиков течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i. Применим теорему о циркуляции к очень малому прямоугольному контуру, высота кот. мала по сравнению с длиной его . Пренебрегаем вкладом в циркуляцию на боковых сторонах контура, запишем для всего контура : , где — проекция вектора на нормаль к контуру . Взяв обе проекции на общий орткасательной , получим => т.е. тангенциальная составляющая вектора при переходе границы раздела магнетиков претерпевает скачок. Но если на границе раздела магнетиков токов проводимости нет (i=0) то Т.о. если на границе раздела двух однородных магнетиков тока проводимости нет , то при переходе этой границы составляющие Bn и Hr изменяются непрерывно, а и при этом претерпевают скачок.

Магнитное поле в полостях в однородном магнетике.

В обычных случаях, когда токи текут по достаточно тонким проводам, магнитное поле в окруж. пр-ве (вакууме) зависит только от токов проводимости, т.к. поля от токов намагничивания компенсируют друг друга.

Заполним окружающее проводник пр-во однородным непроводящим магнетиком, на его границе с проводом появится поверхностный ток намагничивания I’.

В рез-те мы будем иметь ток намагничивания I, объемный и поверхностный токи намагничивания в проводнике и поверхностный ток намагничивания I’ на непроводящем магнетике. При достаточно тонких проводах магнитное поле В в магнетике будет опр-ся как поле тока I+I’.

Для нахождения I’ окружим проводник контуром, расположенным в поверхностном слое непроводящего магнетика, и пусть пл-ть контура перпендик-на оси провода, тогда . поля токов намагничивания отличается от В0 поля токов проводимости. , тогда В=В0+В’=(1+χ)В0=μВ0 – индукция результирующего поля, т.е.

при заполнении пр-ва однородным магнетиком возрастает в μ раз; разделив последнее на μμ0 => Н=Н0 (поле Н оказывается таким же и в вакууме). поля токов намагничивания связана с I магнетиков: .

Принципиальные методы измерения напряженности и индукции магнитного поля в магнетиках. Пусть соленоид, имеющий п1 ампер-витков на единицу длины, заполнен однородным магнети-ком с магнитной проницаемостью μ>1. Найдем магнитную ин­ дукцию В поля в магнетике.

тПри отсутствии магнетика внутри соленоида магнитная индукция В0=μμ0nI.Так как магнетик заполняет все пространство, где поле отлично от нуля (краевыми эффектами мы пренебрегаем), то магнитная индукция В должна быть в μ раз больше: .В этом случае поле вектора Н остается тем же, что и при отсутствии магнетика,т. е. Н = Н0.

Изменение поля В вызвано появлением токов намагничивания, обтекающих поверхность магнетика в том же направлении, что и тока проводимости в обмотке соленоида, это при μ> 1. Если же μ< 1, то направления указанных токов будут противоположными.

Полученные результаты справедливы и в случае, когда магнетик имеет вид очень длинного стержня, расположенного внутри соленоида параллельно его оси.

• Магнетики.
• Магнетиками называются макроскопические тела, способные намагничиваться – приобретать магнитные свойства.
• Классификация магнетиков.
• По магнитным свойствам магнетики (среды, способные намагничиваться в магнитном поле) разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

Диамагнетики — вещества, у атомов (или молекул) которых в отсутствие внешнего магнитного поля нет собственного магнитного момента.

Магнитная восприимчивость и практически не зависит от температуры, тогда магнитная проницаемость µ < 1.

У диамагнетиков индукция собственного поля В' мала по сравнению с индукцией внешнего поля В0 , но оба поля направлены противоположно друг другу:

Парамагнетики – вещества атомы или молекулы которых обладают собственными орбитальными магнитными моментами. Магнитная восприимчивость , а магнитная проницаемость µ 1.

Магнитное поле стремиться установить магнитные моменты по полю, тепловое движение атомов стремится разбросать их равномерно по всем направлениям. Устанавливается некоторая преимущественная ориентация магнитных моментов вдоль поля В, тем меньшая, чем выше температура Т.

1. Закон Кюри для парамагнетиков:магнитная восприимчивость парамагнетиков обратно пропорциональна термодинамической температуре
2. где С — постоянная Кюри, зависящая от рода вещества, Т – термодинамическая температура.
3. Щелочные и щелочноземельные металлы не подчиняются закону Кюри – их магнитная восприимчивость практически не зависит от температуры.
4. Насыщение намагниченности – состояние парамагнетика, при котором магнитные моменты всех атомов парамагнетика ориентированы по направлению вектора магнитной индукции В.

Ферромагнетики— вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, сильно изменяющейся под влиянием внешнего магнитного поля.

Ферромагнетики – сильномагнитные вещества, их намагниченность в 1010 раз превосходит намагниченность диа- и парамагнетиков. Магнитная восприимчивость , а магнитная проницаемость µ 1.

У ферромагнетиков индукция собственного поля В' намного больше индукции внешнего поля В0 и оба поля направлены одинаково:

В ферромагнетиках внешнее поле многократно усиливается за счет возникновения весьма сильного собственного поля.



Источник: https://infopedia.su/7xc737.html

Граничные условия

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая > Перейти к загрузке файла

В магнитном поле имеют место следующие граничные условия /4, с.106/: H1t=H2t, (16) B1n=B2n. (17) Равенство нормальных составляющих векторов магнитной индукции следует из принципа непрерывности магнитного потока. Из выражений (16) и (17) следует, что если линии магнитной индукции проходят через границу раздела двух сред с проницаемостями м1 и м2 под углом б1, то они преломляются с углом преломления б2 /3, с.107/: (18) Векторный потенциал магнитного поля Для расчета магнитных полей широко используют величину, которую называют векторным потенциалом (вектор-потенциалом) магнитного поля. Его обозначают . Это плавно изменяющаяся от точки к точке векторная величина, ротор которой равен магнитной индукции. (19) Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора-потенциала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно равна нулю /3, с.107/. Если вектор-потенциал как функция координат известен, то индукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от вектора-потенциала в соответствии с (19). В электротехнических расчетах векторный потенциал применяют для двух целей /3, с.108/: 1) определения магнитной индукции с помощью формулы (19); 2) определения магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур. Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плотностью тока в этой же точке уравнением Пуассона: (20) Решение этого уравнения относительно вектора-потенциала /3, с.109/ имеет вид:

(21)

Единицей вектор-потенциала А является вольт-секунда на метр (В. с/м).

Формула (21) дает общее решение уравнения (20). Вектор-потенциал в любой точке поля можно определить вычислением объемного интеграла (21). Последний должен быть взят по всем областям, занятым током.

Для практических расчетов более удобно использовать значение тока, а не его плотности. Для использования тока применим теорему Стокса, заменив объемный интеграл поверхностным, и выразим (21) в дифференциальной форме /3, с.111/:

• (22)
• Составляющая векторного потенциала от элемента тока имеет такое же направление в пространстве, как и ток в элементе проводника.
• Далее, получив выражение для вектор-потенциала, берем его ротор и получаем выражение для вектора магнитной индукции.

Взаимное соответствие электрического и магнитного полей

Между картинами электрического и магнитного полей в областях, не занятых током, может быть соответствие двух типов /3, с.113/. Первый тип — одинаково распределение линейных зарядов в электрическом поле и линейных токов в магнитном поле.

В этом случае картина магнитного поля (сетка поля) подобна картине соответствующего электрического поля.

Отличие состоит лишь в том, что силовым линиям электрического поля соответствуют эквипотенциальные линии магнитного поля, а эквипотенциалям электрического поля — силовые линии магнитного.

Второй тип — одинаковая форма граничных эквипотенциальных поверхностей в электрическом и магнитном полях постоянного тока. В этом случае картина поля оказывается совершенно одинаковой.

Источник: https://studbooks.net/2127803/matematika_himiya_fizika/granichnye_usloviya