Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики — справочник студента

  • Вопросы занятия:
  • ·  рассмотреть функцию y = x2, её свойства и график;
  • ·  рассмотреть функцию y = х3, её свойства и график.
  • Материал урока
  • На одном из предыдущих уроков мы с вами познакомились с линейной функцией, которую можно задать формулой вида:

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Также вспомним, что графиком линейной функции является прямая.

На этом уроке мы рассмотрим  функции:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

А точнее, мы научимся строить графики этих функций и выясним некоторые их свойства.

Начнём с того, что выразим формулой зависимость площади квадрата от длины его стороны.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

  1. Таким образом, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции.
  2. Давайте построим график этой функции.
  3. Составим таблицу значений x, y.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Далее полученные точки изобразим на координатной плоскости и проведём через них плавную линию.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Обратите внимание, что этот график неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси игрек.

Теперь выясним некоторые свойства функции y = x2.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Из последнего свойства графика следует, что точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси игрек.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Когнитивная теория ж. пиаже - справочник студента

Оценим за полчаса!

Теперь давайте выразим формулой зависимость объёма куба от длины его ребра.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

 Если мы будем менять длину ребра, то и его объём будет меняться.

Зависимость объёма куба от длины его ребра является примером функции.

Построим график этой функции. Для этого придадим несколько значений аргументу икс и вычислим соответствующие значения функции.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Изобразим точки с полученными координатами на координатной плоскости и проведём через них плавную линию.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Обратите внимание, что этот график можно неограниченно продолжать справа от оси игрек вверх и слева от оси игрек вниз.

Поговорим о свойствах функции игрек равняется икс в кубе.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Следовательно, точки графика, которые имеют противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат.

В повседневной жизни представление о параболе дают нам, например, траектории прыжков животных, радуга. Тросы висячего моста напоминают нам параболы.

  • Также параболу часто можно встретить в архитектуре.

Источник: https://videouroki.net/video/21-funktsii-y-x2-i-y-x3-i-ikh-ghrafiki.html

Функция. Область определения и область значений функции

  • Линейная функция — это функция вида y=kx+b, где k и b некоторые действительные числа.
  • Если b=0, то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью.
  • D(f) : x in R;enspace E(f) : y in R
  • График линейной функции — прямая.
  • Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:
  • k= tg alpha , где alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox.
  • 1) Функция монотонно возрастает при k > 0.
  • Например: y=x+1

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

2) Функция монотонно убывает при k < 0.

Например: y=-x+1

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

3) Если k=0, то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox.

Например: y=-1

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Обратная пропорциональность

  1. Обратной пропорциональностью называется функция вида y=frac {k}{x}, где k — отличное от нуля, действительное число
  2. D(f) : x in left { R/x
    eq 0
    ight }; : E(f) : y in left {R/y
    eq 0
    ight }.
  3. Графиком функции y=frac {k}{x} является гипербола.

  4. 1) Если k > 0, то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.
  5. Например: y=frac{1}{x}

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

2) Если k < 0, то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Например: y=-frac{1}{x}

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y=x^n, где n — отличное от нуля, действительное число

1) Если n=2, то y=x^2. D(f) : x in R; : E(f) : y in [0; +infty) .

Графиком функции y=x^2 является парабола.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

2) Если n=3, то y=x^3. D(f) : x in R; : E(f) : y in R .

Графиком функции y=x^3 является кубическая парабола.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

3) Если n=frac{1}{2}, то y=x^ frac{1}{2} или y=sqrt{x}. D(f) : x in [0; +infty ); : E(f) : y in [0; +infty )

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

4) Если n=frac{1}{3}, то y=x^ frac{1}{3} или y=sqrt[3]{x}. D(f) : x in R; : E(f) : y in R

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Показательная функция

  • Показательная функция — это функция вида y=a^x, где a=const, a > 0, a
    eq 1
  • D(f) : x in R; : E(f) : y in (0; +infty ).
  • Графиком показательной функции является экспонента.
  • 1) Функция будет монотонно возрастать при a > 1.
  • Например: y=2^x

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

  1. 2) Функция монотонно убывает при 0 < a < 1.
  2. Например: y=left (frac{1}{2}
    ight )^{x}

Логарифмическая функция

  • Логарифмическая функция — это функция вида y=log_{a}x, где a — действительное число, a > 0, : a
    eq 1
  • D(f) : x in (0; +infty ); : E(f) : y in R.
  • 1) Функция монотонно возрастает при a > 1.
  • Например: y=log_{2}x
  • 2) Функция будет монотонно убывать при 0 < a < 1.
  • Например: y=log_{ frac{1}{2}}x

Тригонометрическая функция

  1. К тригонометрическим функциям относят функции вида:
  2. 1) y=sin x. D(f) : x in R; : E(f) : y in [-1; 1]; основной период функции T=2 pi
  3. 2) y = cos x.

    D(f) : x in R; : E(f) : y in [-1; 1]; основной период функции T=2 pi

  4. 3) y = tg x. D(f) : x in left { R /x
    eq frac{pi}{2}+pi n
    ight }, n in mathbb{Z}; : E(f) : y in R; основной период функции T= pi
  5. 4) y = ctg x.

    D(f) : x in left { R /x
    eq 0+pi n
    ight }, n in mathbb{Z}; : E(f) : y in R; основной период функции T= pi

Обратные тригонометрические функции

  • К обратным тригонометрическим функциям относят функции вида:
  • 1) y=arcsin x. D(f) : x in [-1; 1], : E(f) : y in left [ -frac{pi}{2}; frac{pi}{2}
    ight ]
  • 2) y=arccos x. D(f) : x in [-1; 1], : E(f) : y in [0; pi]
  • 3) y=arctg x. D(f) : x in R, : E(f) : y in left (-frac{pi}{2}; frac{pi}{2}
    ight )
  • 4) y= arcctg x. D(f) : x in R, : E(f) : y in left (0; pi
    ight )

Источник: https://academyege.ru/page/funkciya-oblast-opredeleniya-i-oblast-znachenij-funkcii-grafiki-funkcii.html

График функции в Excel: как построить?

Пример 1

Дана функция:

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Нужно построить ее график на промежутке [-5;5] с шагом равным 1.

Создание таблицы

Создадим таблицу, первый столбец назовем переменная x (ячейка А1), второй — переменная y (ячейка В1). Для удобства в ячейку В1 запишем саму функцию, чтобы было понятно, какой график будем строить. Введем значения -5, -4 в ячейки А2 и А3 соответственно, выделим обе ячейки и скопируем вниз. Получим последовательность от -5 до 5 с шагом 1.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Вычисление значений функции

Нужно вычислить значения функции в данных точках. Для этого в ячейке В2 создадим формулу, соответствующую заданной функции, только вместо x будем вводить значение переменной х, находящееся в ячейке слева (-5).

Важно: для возведения в степень используется знак ^, который можно получить с помощью комбинации клавиш Shift+6 на английской раскладке клавиатуры.               Обязательно между коэффициентами и переменной нужно ставить знак умножения * (Shift+8).

Ввод формулы завершаем нажатием клавиши Enter. Мы получим значение функции в точке x=-5. Скопируем полученную формулу вниз.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Мы получили последовательность значений функции в точках на промежутке [-5;5] с шагом 1.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Построение графика

Выделим диапазон значений переменной x и функции y. Перейдем на вкладку Вставка и в группе Диаграммы выберем Точечная (можно выбрать любую из точечных диаграмм, но лучше использовать вид с гладкими кривыми).

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Мы получили график данной функции. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графика.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

  • Пример 2
  • Даны функции:
  • Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

и y=50x+2. Нужно построить графики этих функций в одной системе координат.

Создание таблицы и вычисление значений функций

Таблицу для первой функции мы уже построили, добавим третий столбец — значения функции y=50x+2 на том же промежутке [-5;5]. Заполняем значения этой функции. Для этого в ячейку C2 вводим формулу, соответствующую функции, только вместо x берем значение -5, т.е. ячейку А2. Копируем формулу вниз.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Мы получили таблицу значений переменной х и обеих функций в этих точках.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Построение графиков

Для построения графиков выделяем значения трёх столбцов, на вкладке Вставка в группе Диаграммы выбираем Точечная.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Мы получили графики функций в одной системе координат. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графиков.

Последний пример удобно использовать, если нужно найти точки пересечения функций с помощью графиков. При этом можно изменить значения переменной x, выбрать другой промежуток или взять другой шаг (меньше или больше, чем 1). При этом столбцы В и С менять не нужно, диаграмму тоже. Все изменения произойдут сразу же после ввода других значений переменной x. Такая таблица является динамической.

Кратко об авторе:

Шамарина Татьяна Николаевна — учитель физики, информатики и ИКТ, МКОУ «СОШ», с. Саволенка Юхновского района Калужской области. Автор и преподаватель дистанционных курсов по основам компьютерной грамотности, офисным программам. Автор статей, видеоуроков и разработок.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя стало известно автору, войдите на сайт как пользователь

и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Источник: https://pedsovet.su/excel/5883_grafik_funkcii

Исследование функции и построение графика функции

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат. 

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале — график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна — график ниже оси абсцисс. 

5. Промежутки возрастания и убывания функции

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна — график функции возрастает, отрицательна — убывает.

6. Выпуклость, вогнутость

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна — график функции выпукл вверх. Отрицательна — график функции выпукл вниз. 

7. Наклонные асимптоты

Пример исследования функции и построения графика №1

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Пример исследования функции и построения графика №2

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Пример исследования функции и построения графика №3

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Пример исследования функции и построения графика №4

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №5

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №6

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №7

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

 

Пример исследования функции и построения графика №8

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №9

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №10

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №11

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №12

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №13

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №14

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №15

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №16

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №17

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №18

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №19

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №20

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №21

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №22

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №23

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №24

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №25

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №26

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Источник: http://matecos.ru/mat/matematika/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika-funktsii.html

Функция «y = kx» и её график

Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx» внимательно изучите урок «Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Функция «y = kx» — это первый тип функции, который изучается в математике.

Важно!

Буквенный множитель «k» в функции «y = kx» называют числовым коэффициентом.

На месте «k» может стоять любое число (положительное, отрицательное или дробь).

  • Другими словами, можно сказать, что «y = kx» — это семейство всевозможных функций, где вместо «k» стоит число.
  • Примеры функций вида «y = kx».
  • Давайте определим для каждой из функций выше, чему в них равен числовый коэффициент «k».
Функция Коэффициент «k»
y = 4x k = 4
y = −1,5x k = −1,5
y = x k =

Как построить график функции «y = kx»

Запомните!

Графиком функции «y = kx» является прямая.

  1. Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательства), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
  2. Исходя из этой аксиомы, что чтобы построить график функции вида «у = kx» нам будет достаточно найти всего две точки.
  3. Для примера построим график функции «y = −4x».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x». Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

Важно!

Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа «0» и «1». С этими числами легко выполнять расчеты.

x Расчет «y»
0 y(0) = −4 · 0 = 0
1 y(1) = −4 · 1 = −4

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции «y = −4x».

Запишем полученные координаты точек «y = −4x» в таблицу.

Точка Координата по оси «Оx» (абсцисса) Координата по оси «Оy» (ордината)
(·)A 0 0
(·)B 1 −4

Отметим полученные точки на системе координат.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая и будет являться графиком функции «y = −4x».

После построения не забудьте подписать график функции.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Как решать задачи на функцию «y = kx»

Рассмотрим задачу.

Построить график функции «y = −1,5x». Найти по графику:

  1. значение «y» соответствующее значению «x» равному 1; 0; 2; 3;
  2. значение «x», если значение «y» равно −3; 4,5; 6;
  3. несколько целых значений «x», при которых значения «y» положительны (отрицательны).

Вначале построим график функции «y = −1,5x».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции «y = −1,5x» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа «0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка Координата по оси «Оx» Координата по оси «Оy»
(·)A 0 y(0) = −1,5 · 0 = 0
(·)B 1 y(1) = −1,5 · 1 = −1,5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = −1,5x».

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

  • Теперь работаем с построенным графиком функции «y = −1,5x».
  • Требуется найти значение «y», соответствующее значению «x» равному 1; 0; 2; 3.
  • Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
  • В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Запомните!

Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике функции необходимо:

  1. провести перпендикуляр от оси «Ox» (ось абсцисс) из заданного числового значения «x» до пересечения с графиком функции;
  2. из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси «Oy» (ось ординат);
  3. полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = −1,5x» необходимые значения функции «y» для «x» равным 1; 0; 2; 3.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x» Полученное с графика значение «y»
0 0
1 −1,5
2 −3
3 −4,5

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x», если значение «y» равно −3; 4,5; 6.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси «Oy».

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «y» Полученное с графика значение «x»
−3 2
4,5 −3
6 −4

И, наконец, к последнему заданию. Нас просят найти несколько целых значений «x», при которых значения «y» положительны (отрицательны).

Для решения этой задачи необходимо внимательно изучить график функции «y = −1,5x».

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Отметим область на оси «Oy», где значения «y» для графика функции «y = −1,5x» положительны.

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Из этой области проведем от графика функции несколько перпендикуляров к оси «Ox».

Помните, что по заданию, нас просят найти несколько «целых» значений «x». Поэтому перпендикуляры мы будем проводить к оси «Ox» в целые числовые значения.

Запишем ответ. При x = −2; x = −1 значения y > 0.

Теперь найдем при каких «x», значения «y» отрицательны. Отметим область на оси «Oy», где значения «y» на графике функции отрицательны.

Проведем перпендикуляры из отмеченной области к оси «Ox» в целые числовые значения «x».

Запишем ответ. При x = 1; x = 2 значения y < 0.

Рассмотрим другую задачу.

Какие из точек A(5; −3), D(2; 1) принадлежат графику функции, заданной формулой «y = x»?

Подробный разбор задачи «Как проверить, что точка принадлежит графику функции» мы приводили в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этом уроке мы вспомним только основные моменты решения подобных задач.

Запомните!

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси «Ox» вместо «x», а координату по оси «Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит точка принадлежит графику функции.
  • Если получится не верное равенство, значит точка не принадлежит графику функции.

Подставим в функцию «y = x» координаты точки (·)A(5; −3).

−3 = · 5                −3 = (неверно)

Это означает, что точка (·)А(5; −3) не принадлежит графику функции «y = x» Проверим точку (·)D(2; 1). Также подставим её координаты в функцию «y = x».

1 = ·2 1 =              1 = 1(верно)

Это означает, что точка (·)D(2; 1) принадлежит графику функции «y = x».

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/function/function_y_kx.php

Функции y=x2 и y=x3 и их графики

Тема урока: Функции y=x2 и y=x3 и их графики

Цели урока:

  • Датьучащимся представление о том, что в математике, кроме линейных функций, встречаются и другие функции, познакомить учащихся со свойствами функций
  • Рассмотрение функций y=x2 и y=x3 позволяет продолжить работу по формированию умений строить графики и читать графики функций.
  • Развитие познавательного интереса к предмету
  • Развитие логического мышления
  • Формирование информационной культуры
  1. Воспитательные:

    • Воспитание самостоятельности в работе
    • Воспитание умения контролировать внимание на всех этапах урока.
    • Создание дружелюбной атмосферы на уроке
  • Тип урока: Усвоение новых знаний
  • Методы обучения:
  • Методы организации учебно — познавательной деятельности – беседа, объяснение, демонстрация
  • Методы стимулирования учебно — познавательной деятельности – поощрение
  • Методы контроля учебно — познавательной деятельности – фронтальный опрос, тестирование (закрытый тип) с применением компьютера.
  • Оборудование урока:
  • Компьютер
  • Демонстрационные файлы
  • Файл с тестом
  • Координатная плоскость – стенд
  • Координатная плоскость – раздаточный материал

Литература, использованная при подготовке к уроку:

  • Математика в школе №4, 1989 «О понятии функции в школьном курсе математики»
  • Окунев А.А. Спасибо дети за урок!: о развитии творч. способностей учащихся: Книга для учителя.
  • Я иду на урок математики. Алгебра: 7 класс: Книга для учителя
  • Алгебра: учебник для 7 класса для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.

План урока

  1. Вступительное слово учителя – 1 мин.

  2. Проверка самостоятельной работы прошлого урока– 3 мин.

  3. Устная работа: подготовка к новой теме – 5 мин.

  4. Новая тема – 12 мин.

  5. Закрепление – 10 мин

  6. Самостоятельная работа за компьютером. Тестирование -8 мин.

  7. Выставление оценок. – 2 мин.

  8. Подведение итогов – 2 мин.

Ход урока

  1. Вступительное слово учителя

  1. Психологическая установка учащихся:
  2. На уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.
  3. Понять и быть первым, который увидит правильное решение.
  4. Озвучивание цели урока
  1. Устная работа, подготовка к новой теме (файл «Презентация1») , повторить правила.

  • Слайд №1
  • Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента
  • Слайд №2

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Слайд №3 (подготовка к новой теме)

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Вопросы к слайду №3

  1. График какой функции лишний? Почему?

  2. Какие функции вы знаете?

  3. Сколько точек достаточно для построения графика линейной функции?

  4. На каком рисунке изображен график прямой пропорциональности? Почему?

  1. На рисунке 3 представлен график функции, который отличается от графиков линейной функции и прямой пропорциональности, следовательно, можно сделать вывод, что существуют и другие виды функций.
  2. Озвучить цель урока: Познакомиться еще с двумя видами функций, с их свойствами, научиться строить их графики.
  3. Записать на доске и в тетради тему урока.
  4. Рассмотрению функций, предшествует небольшое исследование, которое демонстрирует примеры этих функций в повседневной жизни.
  5. Вы неоднократно сталкивались в повседневной жизни с примерами этих функций.
  6. Слайд №4

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Слайд № 5

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

  • Две формулы, записанные на экране представляют собой: Зависимость площади квадрата от его стороны и зависимость объема куба от его ребра, которые является примерами функций вида y=x2 и y=x3, а — независимая переменная, а S и V – зависимые переменные.
  • Все записи на уроке заносятся в таблицу, состоящую из двух столбцов: в первом столбце рассматривается функция y=x2, а во втором — y=x3.
  • Конспект урока:
  • y=x2
  • y=x3

x

  1. -3
  2. -2
  3. -1
  4. 1
  5. 2
  6. 3
  7. y
  8. 9
  9. 4
  10. 1
  11. 1
  12. 4
  13. 9

x

-3

  • -2
  • -1
  • 1
  • 2
  • 3
  • y
  • -27
  • -8
  • -1
  • 1
  • 8
  • 27
  • Парабола
  • Кубическая парабола
  • Если x = 0, то и у=0
  • Если х≠0, то у>0
  • Если х>0, то у>0; если х

Источник: https://infourok.ru/konspekt_uroka_algebry_v_7_klasse-304117.htm

Элементарные функции и их графики

Понятие функции — одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано в статье «Что такое функция».

И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз — первая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и их графикам.

Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.

Существует всего пять типов элементарных функций:

1. Степенные
К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические, , , Все они содержат выражения вида xα.

2. Показательные
Это функции вида y = ax

3. Логарифмические
y = logax.

4. Тригонометрические
В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

5. Обратные тригонометрические
Содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x2 · ex — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(ax) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.

Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть.

Степенные функции

1. Линейная функция y = x Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента
2. Квадратичная парабола y = x2 Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента
3. Функция y = xn,
n — натуральное, n > 1
n — чётное
n = 2, 4, 6,…
Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента
n — нечётное
n = 3, 5, 7,…
Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента
4.Гипербола Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента
5.
6.
Показательная функция y = ax

a > 1
0 < a < 1
Логарифмическая функция y = logax

a > 1
0 < a < 1
Тригонометрические функции

1.
2.
3.
4.
Обратные тригонометрические функции

1.
2.
3.
4.

Выше приведены основные, «базовые» графики. А как будут выглядеть, например, графики функций y = sin(2x) или y = 4×2 + 5? Об этом — статья «Преобразования графиков функций».

Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.

Почему в уравнении 3x = 35 мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3x возрастает и каждое значение принимает только один раз.

Почему уравнение имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.

Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.

Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/elementarnye-funkcii-i-ix-grafiki/

Функция вида y = x^2, y = x^3 и их свойства

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студентаСвойства функции y = x2:

  • График функции неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси y.
  • Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат
  • Если x ≠ 0, то y > 0. Так как квадрат любого числа, отличного от нуля положителен, то все точки графика кроме (0,0), расположены выше оси x.
  • Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (-x)2 = x2 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y.

Функция вида у = х3 называется кубической, графиком функции является кубическая парабола с вершиной в точке (0;0) , график симметричен относительно начала координат.

Построим график функции y = x3

Составим таблицу соответственных значений x и y, округляя значения y до сотых:

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студентаГрафик функции y = x3 называется кубической параболой.

Свойства функции y = x3:

  • График функции неограниченно продолжается вверх справа от оси y и неограниченно продолжается вниз слева от оси y.
  • Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат
  • Если x > 0, то y > 0, если x < 0, то y < 0, . Так как куб положительного числа - положительное число, а куб отрицательного числа - отрицательное число. Значит график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
  • Противоположным значениям x соответствует противоположные значения y. Это следует из того, что (-x)3 = -x3 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.

Вопросы к конспектам

Даны точки . Какая из них принадлежит графику функции y = x2? Точка А(a, b) принадлежит графику функции y = x3. Какая из точек В(–а;b), С(а; -b) и D (– а; –b) также принадлежит этому графику?Последнее изменение: Воскресенье, 12 Март 2017, 01:07 Пропустить НавигацияПропустить РекламаПропустить Редактор ошибок

       Вы заметили ошибку в тексте? 

    Выделите ее мышкой     и нажмите CTRL + Enter   

Пропустить Меню блога Пропустить Теги

Источник: https://100ballov.kz/mod/page/view.php?id=473

Построение графика функции онлайн

  • Обязательно писать все знаки умножения
  • Десятичные дроби нужно разделять точкой
  • Список функций и констант смотрите ниже

Режим: Обычный y(x)ПараметрическийПолярные координаты

Как пользоваться программой:

  • Можно строить графики сразу нескольких функций. Для этого просто разделяйте функции точкой с запятой (;).
  • Масштаб изменяется с помощью кнопок «+» и «−». Кнопка «100%» меняет масштаб на стандартный.
  • Положение экрана можно менять, перетаскивая его мышью, а можно стрелками на панели слева.
  • Кнопка «·» в центре джойстика переносит начало координат в центр экрана.
  • Кнопка «↺» изменяет масштаб на стандартный и переносит начало координат в центр.
  • В форме под графиком можно выбрать точку, которую нужно расположить в центре экрана.

Режимы

Обычный. В этом режиме можно строить графики функций, заданных уравнением

Параметрический. Этот режим предназначен для построения графиков кривых, заданных параметрически, то есть в виде Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики - Справочник студента

Полярные координаты. Здесь можно построить график кривой, заданной в полярной системе координат, то есть уравнением где — радиальная координата, а — полярная координата.

Список констант

Константа Описание
pi Число =3,14159…
e Число Эйлера =2,71828…

Список функций

Функция Описание
+ − * / Сложение, вычитание, умножение, деление
( ) Группирующие скобки
abs() или | | Модуль числа. Выражение abs(x) эквивалентно |x|. Если функция содержит модуль под модулем, то пользуйтесь abs(). Например, если вы хотите построить график функции |1-x+|x+5||, то нужно вводить abs(1-x+abs(x+5)).
pow() или ^ Степень числа. Например, выражения pow(x, 3) и x^3 дают x в третьей степени
sqrt() Квадратный корень
sin() Синус
cos() Косинус
tg() Тангенс
ctg() Котангенс
arcsin() Арксинус
arccos() Арккосинус
arctg() Арктангенс
arcctg() Арккотангенс
ln() Натуральный логарифм числа
lg() Десятичный логарифм числа
log(a, b) Логарифм числа b по основанию a
exp() Степень числа e
sh() Гиперболический синус
ch() Гиперболический косинус
th() Гиперболический тангенс
cth() Гиперболический котангенс

График функции

Графиком функции называется множество точек плоскости таких, что абсциссы и ординаты этих точек удовлетворяют уравнению .

Источник: https://umath.ru/calc/graph/

Ссылка на основную публикацию