Функции и их графики — справочник студента

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует.

Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием.

 Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0).

Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c).

График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
• если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

• Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):
• Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

К оглавлению…

1. Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:
2. Приведем несколько примеров графиков степенных функций:
3. Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:
4. В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

• Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:
• В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):
• Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:
• В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:
• График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

1. Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:
2. где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Источник: https://educon.by/index.php/materials/math/funkcii

Графики степенных, показательных и логарифмических функций

•       Определение 1. Степенной функцией называют функцию
• y = x p ,
• где   p   – любое действительное число, отличное от нуля.
•      С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».
•       Графики степенных функций при различных значениях   p   представлены в следующей таблице.

Графики степенных функций

y = x
y = x2
y = x3
y = x4

Показательные функции

1.       Определение 2. Показательной функцией называют функцию
2. y = a x ,
3. где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .

4.      С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».

5.       Графики показательных функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики показательных функций

Логарифмические функции

•       Определение 3. Логарифмической функцией называют функцию
• y = log a x ,
• где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .
•      С определением и свойствами логарифмов можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Логарифмы».
•       Графики логарифмических функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики логарифмических функций

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/fiz/dgia.htm

Справочник по математическим формулам и графикам функций, Старков С.Н., 2009

• Словари, энциклопедии, справочники →
• Математика

СкачатьЕще скачатьСмотреть Купить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Справочник по математическим формулам и графикам функций, Старков С.Н., 2009.

    Первая часть данного справочника содержит более 1200 формул элементарной и высшей математики, расположенных в 34 разделах. Во вторую часть вошло более 1200 рисунков, представляющих собой графики функций и их преобразования (элементарные и неэлементарные), а также изображения кривых на плоскости.

Издание предназначено для студентов и преподавателей высших учебных заведений технического и естественнонаучного профиля; большая часть справочника может быть полезна учащимся и преподавателям средних учебных заведений. Правило сложения вероятностей(34.27)    Р(А + В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)(34.28)? (А + В + С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)- Р(А*В)-Р(В*С)-Р(А*С)+Р(А*В*С)(34.29)    Если события А и В несовместны, то Р(А + В)=Р(А)+Р(В)(34.30)    Р(А) + Р(А) = 1Суммой событий А + В называется событие С, состоящее в выполнении хотя бы одного из событий А или В (или А, или В, или обоих вместе)Произведением А-В событий называется событие С, состоящее в совместном выполнении обоих событий А и В Противоположным к А событием называется событие А, состоящее в невыполнении события А

• Содержание
• Часть 1. Формулы 15
• Часть 2. Графики функций 127

Некоторые обозначения 131. Формулы сокращенного умножения и другие тождества 172. Формулы разложения многочленов на множители 18Разложения на множители некоторых многочленов 2-й, 3-й и 4-й степени • Схема Горнера деления многочлена на двучлен • Теорема о подборе корней многочлена с целочисленными коэффициентами • Разложение многочлена n-й степени на простейшие множители3. Действия с дробями 204. Средние величины. Пропорции. Проценты 215. Модуль (абсолютная величина) 226. Степени и корни. Логарифмы 27Степени с натуральным, целым и рациональным показателем. Арифметический корень • Свойства арифметических корней • Свойства степени с действительным показателем • Свойства логарифмов7. Прогрессии 25Арифметическая прогрессия • Геометрическая прогрессия8. Решение уравнений 36Рациональные уравнения • Уравнения, содержащие знак модуля • Иррациональные уравнения • Показательные уравнения • Логарифмические уравнения • Тригонометрические уравнения9. Решение неравенств 28Рациональные неравенства • Неравенства, содержащие знак модуля • Иррациональные неравенства • Показательные неравенства • Логарифмические неравенства • Тригонометрические неравенства10. Тригонометрические формулы 31Основные тождества • Свойства четности и нечетности • Формулы сложения • Формулы кратных углов • Формулы половинных углов • Формулы преобразования суммы в произведение • Формулы преобразования произведения в сумму • Выражение функций через тангенс половинного угла о Формулы приведения • Обратные тригонометрические функции• Дополнительные тождества • Связь радианной и градусной меры угла• Таблица значений тригонометрических функций1. Типовые способы замены переменной 3612. Формулы геометрии 37Треугольники • Вычисление площади треугольника • Теорема Пифагора• Теорема синусов • Теорема косинусов • Четырехугольники • Вычисление площади четырехугольника • Окружность и круг • Вычисление объемов и площадей поверхности13. Векторы 39Прямоугольные и полярные координаты точки на плоскости • Прямоугольные и цилиндрические координаты точки в пространстве• Прямоугольные и сферические координаты точки в пространстве• Проекция вектора на ось • Проекции вектора на оси прямоугольной системы координат OXYZ • Задание вектора в координатной форме• Расстояние между двумя точками • Модуль (длина) вектора • Направляющие косинусы вектора • Единичный вектор • Нулевой вектор• Вектор, противоположный вектору • Равенство векторов • Сложение и вычитание векторов • Умножение вектора на число • Орт ненулевого вектора • Признак коллинеарности двух ненулевых векторов • Линейная комбинация векторов • Линейная независимость системы ненулевых векторов • Линейная зависимость системы векторов • Связь коллинеарности и линейной зависимости двух векторов • Связь компланарности и линейной зависимости трех векторов • Разложение вектора по базису в пространстве • Разложение вектора по трем некомпланарным векторам • Разложение вектора по базису прямоугольной системы координат OXYZ • Преобразование координат в пространстве • Преобразование координат на плоскости при параллельном переносе и повороте осей • Вычисление скалярного произведения в координатной форме • Угол между векторами • Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов• Вычисление векторного произведения в координатной форме • Условие коллинеарности двух векторов • Вычисление смешанного произведения в координатной форме • Условие компланарности трех векторов14. Прямая на плоскости 46Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору • Общее уравнение прямой • Неполные уравнения прямой • Нормальное уравнение прямой • Уравнение прямой в полярных кординатах • Уравнение прямой с угловым коэффициентом • Уравнение прямой «в отрезках» • Параметрическое уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору • Каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору • Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки • Угол между двумя прямыми • Расстояние от точки до прямой • Расстояние от начала координат до прямой• Условие пересечения двух прямых и координаты точки пересечения• Условие совпадения двух прямых • Условие принадлежности трех заданных точек одной прямой15. Плоскость и прямая в пространстве 50Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору • Общее уравнение плоскости • Неполные уравнения плоскости • Нормальное уравнение плоскости • Уравнение плоскости «в отрезках» • Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой • Расстояние от точки до плоскости • Угол между двумя плоскостями • Параметрическое уравнение прямойв пространстве, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору • Каноническое уравнение прямой в пространстве • Уравнениепрямой в пространстве, проходящей через две различные точки • Угол между прямой и плоскостью • Задание прямой в пространстве как линии пересечения двух непараллельных плоскостей16. Уравнения некоторых кривых на плоскости 53Эллипс • Окружность • Гипербола • Парабола • Архимедова спираль • Астроида • Декартов лист • Улитка Паскаля • Кардиоида • Конхоида Никомеда • Лемниската Бернулли • Локон Аньези • Циклоида • Эпициклоиды • Эпитрохоиды • Розы • Гипоциклоиды • Гипотрохоиды17. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка 57Эллипсоид • Однополостной гиперболоид • Двухполостной гиперболоид • Конус второго порядка • Эллиптический параболоид • Гиперболический параболоид • Эллиптический цилиндр • Гиперболический цилиндр • Параболический цилиндр • Пара пересекающихся плоскостей • Пара параллельных плоскостей18. Определители 58Определитель первого порядка • Определитель второго порядка • Определитель третьего порядка • Определитель п-то порядка • Алгебраическое дополнение • Свойства определителей • Решение системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными по формулам Крамера19. Матрицы 61Прямоугольные матрицы размера тхп • Равенство матриц • Нулевая матрица • Противоположная матрица • Сложение матриц одинакового размера • Умножение матрицы на число • Умножение матриц согласованного размера • Свойства единичной матрицы • Обратная матрица• Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы• Решение системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными методом обратной матрицы • Ранг матрицы • Теорема Кро-некера-Капелл и о совместности систем т линейных уравнений с п неизвестными20. Пределы и непрерывность 65Свойства сходящихся последовательностей • Сходимость монотонной и ограниченной последовательности • Критерий Коши сходимости последовательности • Свойства функций, имеющих предел (правила вычисления пределов) • Односторонние пределы функции • Условие существования предела функции • Пределы функции «на бесконечности» • Бесконечные пределы • Замечательные пределы • Бесконечно малые и бесконечно большие функции • Таблица эквивалентных бесконечно малых • Точки разрыва • Свойства функций, непрерывных на отрезке21. Производная и дифференциал 70Конечные и бесконечные производные • Односторонние производные• Условие существования производной функции • Существование производной и непрерывность • Производные основных элементарных функций (таблица производных) • Производные гиперболических функций • Правила дифференцирования • Производная сложной функции • Производная обратной функции • Производная функции, заданной параметрически• Производная функции, заданной неявно • Производная показательно-степенной функции • Производные высших порядков • Формулы Тейлора и Маклорена • Теорема Ферма. Необходимое условие экстремума функции • Теорема Ролля • Теорема Лагранжа • Теорема Коши • Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей • Уравнение касательной к графику функции • Уравнение нормали к графику функции • Приближенные вычисления с помощью дифференциала • Дифференциалы высших порядков • Выражение производных через дифференциалы22. Неопределенный интеграл 77Первообразная • Неопределенный интеграл • Свойства неопределенного интеграла • Таблица интегралов • Метод интегрирования с помощью замены переменной • Метод интегрирования по частям • Интегрирование рациональных дробей • Интегрирование простейших рациональных дробей • Интегралы от некоторых рациональных дробей • Интегралы от некоторых иррациональных функций • Интегралы от некоторых показательных и логарифмических функций • Интегралы от некоторых тригонометрических функций23. Определенный интеграл 85Связь определенного и неопределенного интеграла • Формула Ньютона-Лейбница • Свойства определенного интеграла • Оценки значения определенного интеграла • Метод интегрирования с помощью замены переменной • Метод интегрирования по частям • Вычисление площадей, длин дуг и объемов с помощью определенного интеграла24. Несобственные интегралы 88Несобственные интегралы 1-го рода • Несобственные интегралы 2-го рода • Гамма-функция • Значения некоторых несобственных интегралов25. Частные производныеи дифференциалы функций нескольких переменных 91Частная производная функции • Производная функции по направлению • Частные производные высшего порядка • Полная производная сложной функции • Частные производные сложной функции • Частные дифференциалы • Полный дифференциал • Дифференциалы п-то порядка • Формула Тейлора • Необходимые условия экстремума функции • Достаточные условия экстремума функции • Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности26. Кратные интегралы 94Вычисление двойного интеграла через повторные • Свойства двойного интеграла • Вычисление двойного интеграла в полярных кординатах • Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла • Вычисление тройного интеграла через повторные • Свойства тройного интеграла • Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических кординатах • Вычисление объемов с помощью тройного интеграла27. Криволинейные и поверхностные интегралы 96Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода • Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода • Формула Грина • Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода • Вычисление поверхностных интегралов 2-го рода • Формула Стокса • Формула Гаусса-Остроградского28. Дифференциальные операции векторного анализа 98Оператор Гамильтона • Градиент функции • Производная функции по направлению • Дивергенция вектор-функции • Ротор вектор-функции• Оператор Лапласа. Дифференциальные операции 2-го порядка29. Числовые и степенные ряды 99Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды • Свойства сходящихся числовых рядов • Необходимое условие сходимости числового ряда • Достаточное условие расходимости числового ряда • Знакопостоянные числовые ряды. Достаточные признаки сходимости и расходимости • Знакопеременные и знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость • Сложение и умножение степенных рядов • Дифференцирование и интегрирование степенных рядов • Разложения функций в степенные ряды • Значения сумм некоторых числовых рядов30. Тригонометрические ряды Фурье 10531. Элементы теорииобыкновенных дифференциальных уравнений 106Дифференциальное уравнение с разделенными переменными • Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными • Дифференциальное уравнение, однородное относительно аргумента и функции• Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка • Уравнение Бернулли • Уравнение в полных дифференциалах • Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами • Линейное однородное дифференциальное уравнение п-то порядка с постоянными коэффициентами32. Комплексные числа 111Степени числа i • Алгебраическая форма комплексного числа о Равенство комплексных чисел • Комплексно сопряженное число • Модуль комплексного числа • Аргумент комплексного числа • Множество значений аргумента • Действия над комплексными числами в алгебраической форме • Свойства действий над комплексными числами • Тригонометрическая форма комплексного числа • Действия над комплексными числами в тригонометрической форме • Показательная форма комплексного числа• Действия над комплексными числами в показательной форме • Расстояние между точками • Уравнение прямой • Уравнение окружности• Разложение многочлена на линейные множители • Основная теорема алгебры33. Элементы теориифункций комплексной переменной 116Основные функции комплексной переменной • Гиперболические функции • Производная функции комплексной переменной • Вычисление интегралов • Формула Ньютона-Лейбница • Теорема Коши • Интегральная формула Коши • Ряды Тейлора • Ряды Лорана • Особые точки • Классификация изолированных особых точек • Вычеты. Основная теорема о вычетах34. Элементы теории вероятностей 120Число сочетаний без повторений из п элементов по k • Число размещений без повторений из п элементов по k • Число перестановок без повторений из п элементов по п • Число размещений с повторениями из п элементов по k • Формула Стирлинга • Свойства операций сложения и умножения событий • Правило сложения вероятностей • Условная вероятность. Независимые события • Правило умножения вероятностей • Формула полной вероятности • Формула Байеса. Пересчет вероятностей гипотез • Повторение испытаний с двумя исходами. Формула Бернулли • Функция распределения случайной величины • Ряд распределения дискретной случайной величины • Плотность распределения непрерывной случайной величины • Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины с п значениями • Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины • Среднее квадратическое отклонение • Биномиальное распределение • Распределение Пуассона • Равномерное распределение • Нормальное распределение • Неравенство Чебышева35. Графики основных элементарных функций 12836. Основные типы преобразований графиков 13037. Преобразования графиков линейных функций 13238. Преобразование графиков квадратичных функций 14239. Преобразования графиков многочленов 3-й и 4-й степени 15240. Преобразования графиков дробно-рациональных функций 16241. Преобразования графиков функций, содержащих рациональные степени и корни 18242. Преобразования графиков показательных и логарифмических функций 19243. Преобразования графиков тригонометрических функций 20244. Графики различных комбинаций элементарных функций 21445. Изображения неявно заданных зависимостей, содержащих знак модуля 21746. Изображения зависимостей, заданных параметрически 22247. Изображения зависимостей, заданных в полярных координатах 22648. Изображения некоторых кривых на плоскости 22749. Изображения поверхностей 2-го порядка 228Литература 229Алфавитный указатель основных формул 231.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать книгу Справочник по математическим формулам и графикам функций, Старков С.Н., 2009 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 — pdf

Скачать файл № 2 — djvuНиже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу
Скачать книгу Справочник по математическим формулам и графикам функций, Старков С.Н., 2009.djvu — Яндекс Народ Диск.

Скачать книгу Справочник по математическим формулам и графикам функций, Старков С.Н., 2009.djvu — depositfiles.

Скачать книгу Справочник по математическим формулам и графикам функций, Старков С.Н., 2009. pdf — Яндекс Народ Диск.

Скачать книгу Справочник по математическим формулам и графикам функций, Старков С.Н., 2009. pdf — depositfiles.

10.08.2012 06:11 UTC

Источник: https://obuchalka.org/2012081066477/spravochnik-po-matematicheskim-formulam-i-grafikam-funkcii-starkov-s-n-2009.html