Формула планка — справочник студента

Вывод формулы Рэлея — Джинса с классической точки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической статистической физики и электродинамики.

В 1900 г. Планку удалось найти вид функции f(ω,T), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии ε (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

  •       (27)
  • Коэффициент пропорциональности ħполучил впоследствии название постоянной Планка. Определенное из опыта значение равно:
  • Формула Планка - Справочник студента       (28)

В механике есть имеющая размерность «энергиях X время» величина, которая называется действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют квантом действия. Заметим, что размерность ħсовпадает с размерностью момента импульса.

Если излучение испускается порциями ħω, то его энергия εn должна быть кратной этой величине:

Формула Планка - Справочник студента

Согласно закону Больцмана вероятность Рп того, что энергия излучения имеет величину еп, определяется выражением:

Формула Планка - Справочник студента

Нормировочный множитель А можно найти, исходя из условия, что сумма всех Рп должна быть равна единице. Действительно, сумма Рп представляет собой вероятность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак,

Формула Планка - Справочник студента

откуда

Формула Планка - Справочник студента

Подставив найденное значение А в формулу (53.4), получим:

Формула Планка - Справочник студента

Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени. Произведем через равные промежутки времени Δt очень большое число таких измерений N.

Разделив сумму полученных значений на число измерений N, мы найдем среднее по врег мени значение энергии . При очень большом N количество измерений Nn, которые дадут результат εп, будет равно NPn.

Поэтому

Формула Планка - Справочник студента

Таким образом, среднее значение энергии излучения частоты со определяется следующим выражением:

Формула Планка - Справочник студента

Чтобы произвести вычисления, обозначим bw/kT = х и допустим, что величина х может изменяться, принимая непрерывный ряд значений. Тогда выражение для ё можно записать в виде:

Формула Планка - Справочник студента

Выражение, стоящее под знаком логарифма, представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии, равным е-x. Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле

Формула Планка - Справочник студента

  1. Подставив это значение суммы в (53.7) и выполнив дифференцирование, получим:
  2. .
  3. Наконец, заменив х его значением ħω/kT, получим окончательное выражение для средней энергии излучения частоты ω:
  4.                (34)

Заметим, что при ħ, стремящемся к нулю, формула (26) переходит в классическое выражение . В этом можно убедиться, положив , что выполняется тем точнее, чем меньше ħ. Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно kT.

Заменив в формуле Рэлея — Джинса kT выражением (34), получим формулу, найденную Планком:

             (35)

Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до ∞. Она удовлетворяет критерию Вина (26). При условии, что ħω/kT

Источник: https://students-library.com/library/read/94492-formula-planka

Основные формулы по физике — КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Начало развития квантовой физики связано с решением немецким ученым Максом Планком проблемы излучения абсолютно черного тела. Необходимо знать гипотезу Планка о квантовании энергии осцилляторов и уяснить, что на основании формулы Планка могут быть получены законы Стефана- Больцмана и Вина.

Развитие гипотезы Планка привело к созданию представлений о квантовых свойствах света. Кванты света называются фотонами. С позиций квантовой теории света объясняется такое явление как фотоэффект. Здесь следует знать формулу Эйнштейна для фотоэффекта.

Дальнейшее развитие квантовой физики связано с построением теории строения атома. О сложном строении атома говорят исследования спектров излучения разряженных газов.

Смотрите также основные формулы механике

Таблица сновных формул квантовой физики

Источник: https://infotables.ru/fizika/91-osnovnye-formuly-po-fizike-kvantovaya-fizika

Законы излучения черного тела. Формула Планка — Оптика

В предыдущем параграфе мы выяснили, что излучение любого тела можно определить, найдя лучеиспускательную способность черного тела e(v, Т). Сначала излучение черного тела изучалось экспериментально.

Кривые, характеризующие распределение энергии в спектре черного тела при нескольких температурах, приведены на рисунке 11.1. Их характерные особенности таковы:

1. Мощность излучения (в интервале частот v, v+dv)—немонотонная функция частоты. Она имеет максимум вблизи частоты vmax. Этот максимум при повышении температуры смещается в сторону высоких частот, причем выполняется закон смещения, теоретически найденный Вином:

где р=5,88 x 1010 с-1 x К-1.

Площадь под кривой, определяющая интенсивность полного излучения, растет с температурой по закону, найденному теоретически Стефаном и Больцманом:

Формула Планка - Справочник студента

где о=5,67 x 10-8 Вт x м-2 x К-4.

Однако аналитическое выражение всей кривой теоретически получить не удавалось, пока применялись методы классической физики, в частности, пока предполагалось, что элементарные излучатели, совокупность которых соответствует черному телу, могут иметь любую энергию и излучают непрерывно.

В 1900 г. Планк получил сначала эмпирическое (на основании опытных данных) выражение для функции e(v, Т), затем это выражение, превосходно совпадающее с опытом, было им выведено теоретически.

Но при этом Планку пришлось сделать допущения, в корнепротиворечившее классическим представлениям.

Именно ему пришлось допустить, что элементарные излучатели могут иметь лишь энергию, удовлетворяющую условию:

Формула Планка - Справочник студента

Рис. 11.1

где h=6,626 x 10-34 Дж x с — постоянная Планка (уже встречавшаяся нам); n= 1, 2 … . Излучение также следовало считать не непрерывным, а дискретным, причем излучаемая порция энергии (квант света) равнялась:

E=hv. (11.5)

При этих предположениях Планк получил следующее выражение:

Формула Планка - Справочник студента

где k=1,38-10~23 Дж x К-1 — постоянная Больцмана, одна из важнейших постоянных молекулярной физики.

Покажем, что формула Планка удовлетворяет законам (11.2) и (11.3).

Введя переменную

и интегрируя по всем частотам, найдем интенсивность излучения:

Формула Планка - Справочник студента

( интеграл равен π4/15). Результат полностью согласуется с законом Стефана — Больцмана.

Формула Планка - Справочник студента

Рис 11.2

Найдем теперь максимум функции распределения. Беря производную и приравнивая ее нулю, находим:

Формула Планка - Справочник студента

Это уравнение имеет решения:

Формула Планка - Справочник студента

  • Первое и второе решения дают минимум (нуль), третье же — максимум излучения:
  • что соответствует закону смещения Вина.

Работа Планка явилась первой работой, где была введена идея дискретности энергии излучения. Мы уже пользовались этой идеей при объяснении ряда явлений поглощения света веществом.

Следует отметить, что вместо функции Ɛ(v, Т) часто вводят функцию Ɛ(λ, Т). Эти функции отличаются друг от друга.

  1. Так как между частотой и длиной волны X существует соотношение
  2. ν=c/λ
  3. то спектральному интервалу частоты dv отвечает волновой интервал
  4. |dλ|=λ2/c dν
  5. Поэтому получается:
  6. и ход функций Ɛ (λ, Т) и Ɛ (v, Т) неодинаков, хотя обе они имеют максимум. При этом закон смещения Вина принимает вид:

Кривые е(к, Т) для нескольких температур показаны на рисунке 11.2.

Источник: https://itteach.ru/optika/zakoni-izlucheniya-chernogo-tela-formula-planka

Зарождение квантовой теории. Гипотеза Планка

Физические законы, формулы, переменные Формулы квантовой физики
Закон Стефана-Больцмана: где R — энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, т.е. энергия, испускаемая в единицу времени с единицы площади:σ — постоянная Стефана-Больцмана:

Формула Планка - Справочник студента

Энергетическая светимость (излучательность) серого тела: где α — коэффициент черноты. Формула Планка - Справочник студента
Закон смещения Вина: где λm — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; b — постоянная Вина : Формула Планка - Справочник студента
  • Импульс фотона: где λ — длина волны;
  • h — постоянная Планка:
Формула Планка - Справочник студента
  1. Энергия фотона: где ν — частота;
  2. с — скорость света в вакууме:
Формула Планка - Справочник студента Формула Планка - Справочник студента
  • Формула Эйнштейна для фотоэффекта: где hν — энергия фотона, падающего на поверхность металла;
  • А — работа выхода электрона из металла;

— максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Формула Планка - Справочник студента
Красная граница фотоэффекта: где λк — максимальная длина волны, при которой возможен фотоэффект; νк — минимальная частота, при которой возможен фотоэффект.
или
Сериальные формулы спектра водородоподобного атома где R — постоянная Ридберга R=1,097·107 м-1, z — порядковый номер элемента; Серия Лаймана m=1, n=2,3,4… Серия Бальмера m=2, n=3,4,5… Серия Пашена m=3, n=4,5,6…Серия Брекета m=4, n=5,6,7… и т.д. Формула Планка - Справочник студента
  1. Длина волны де Бройля:
  2. где р — импульс частицы.
  3. В классическом приближении (при v
Зарождение квантовой теории
В конце XIX в. многие ученые считали, что развитие физики завершилось по следующим причинам:

  1. Больше 200 лет существуют законы механики, теория всемирного тяготения.
  2. Разработана МКТ.
  3. Подведен прочный фундамент под термодинамику.
  4. Завершена максвелловская теория электромагнетизма.
  5. Открыты фундаментальные законы сохранения (энергии, импульса момента импульса, массы и электрического заряда).
В конце XIX — начале XX в. открыты В. Рентгеном — X-лучи (рентгеновские лучи), А. Беккерелем — явление радиоактивности, Дж. Томсоном —электрон. Однако классическая физика не сумела объяснить эти явления.
Теория относительности А. Эйнштейна потребовала коренного пересмотра понятии пространства и времени. Специальные опыты подтвердили справедливость гипотезы Дж. Максвелла об электромагнитной природе света. Можно было предположить, что излучение электромагнитных волн нагретыми телами обусловлено колебательным движением электронов. Но это предположение нужно было подтвердить сопоставлением теоретических и экспериментальных данных.
Для теоретического рассмотрения законов излучений использовали модель абсолютно черного тела, т. е. тела, полностью поглощающего электромагнитные волны любой длины и, соответственно, излучающего все длины электромагнитных волн. Формула Планка - Справочник студента
Примером абсолютно черного тела по излучающей способности может быть Солнце, по поглощающей — полость с зеркальными стенками с маленьким отверстием. Формула Планка - Справочник студента
Австрийские физики И. Стефан и Л. Больцман экспериментально установили, что полная энергия Е, излучаемая за 1 с абсолютно черным телом с единицы поверхности, пропорциональна четвертой степени абсолютный температуры Т:
,  где s = 5,67.10-8  Дж/(м2.К-с)—постоянная Стефана-Больцмана.
Этот закон был назван законом Стефана — Больцмана. Он позволил вычислить энергию излучения абсолютно черного тела по известной температуре.
Пример экспериментально полученных кривых распределения энергии в спектре излучения черного тела.
При заданном значении температуры Т интенсивность излучения черного тела максимальна и соответствует  определенному значению длины волны l. Немецкий физик В. Вин обнаружил, что при изменении температуры длина волны, на которую приходится максимальная энергия Еmax, убывает обратно пропорционально температуре, поэтому Формула Планка - Справочник студента (закон Вина). Используя законы термодинамики, В. Вин получил закон распределения энергии в спектре черного тела, который совпадал с экспериментальными результатами лишь в области больших частот. Формула Планка - Справочник студента
Английский физик Дж. Рэлей сделал попытку более строгого теоретического вывода закона распределения энергии. по закон приводил к хорошему совпадению с опытами в области малых частот. По этому закону интенсивность излучения должна возрастать пропорционально квадрату частоты. Следовательно, в тепловом излучении должно быть много ультрафиолетовых и рентгеновских лучей, чего на опыте не наблюдалось. Затруднения в согласовании теории с результатами эксперимента получили название ультрафиолетовой катастрофы. Формула Планка - Справочник студента
Законы электромагнетизма, полученные Максвеллом, оказались не в состоянии объяснить форму кривой  распределения интенсивности в спектре абсолютно черного тела. При удалении от этого значения интенсивность электромагнитного излучения плавно убывает.
Гипотеза Планка
Стремясь преодолеть затруднения классической теории при объяснении излучения черного тела, М. Планк в 1900 г. высказал гипотезу: атомы испускают электромагнитную энергию от дельными порциями —квантами. Энергия Е
где h=6,63.10-34 Дж.с—постоянная Планка. h=6,63.10-34 Дж.с
Иногда удобно измерять энергию и постоянную Планка вэлектронвольтах.
Тогда h=4,136.10-15 эВ.с. В атомной физике употребляется также величинаФормула Планка - Справочник студента. (1 эВ — энергия, которую приобретает элементарный заряд, проходя ускоряющую разность потенциалов 1 В. 1 эВ=1,6.10-19 Дж).
Таким образом, М. Планк указал путь выхода из трудностей, с которыми столкнулась теория теплового излучения, после чего начала развиваться современная физическая теория, называемая квантовой физикой.

Источник: https://www.eduspb.com/node/1997

Формула Планка — это… Что такое Формула Планка?

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком. Для плотности энергии излучения :

Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. Для вывода формулы Планк в 1900 году сделал предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:


varepsilon = hbar omega.

Коэффициент пропорциональности впоследствии назвали постоянной Планка, = 1.054 · 10−27 эрг·с.

Вывод для абсолютно чёрного тела

Излучение абсолютно чёрного тела

Файл:XkcdScience.svg

Формула в XKCD

Выражение для средней энергии колебания с частотой ω дается выражением:

 overline{varepsilon} = frac{hbar omega} {mathrm{exp}( hbar omega / kT) -1}, qquadqquad (1)

где — постоянная Планка, — постоянная Больцмана.

Количество стоячих волн в трёхмерном пространстве равно:

 mathrm{d}n_{omega}= frac{omega^2 mathrm{d} omega}{pi^2 c^3} qquadqquad (2)

Переход к формулам Рэлея—Джинса

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до . При малых частотах (больших длинах волн), когда можно разложить экспоненту по . В результате получим, что , тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея—Джинса.

и

Переход к закону Стефана — Больцмана

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

Введём переменную , тогда , , получим

Полученный интеграл имеет точное значение: , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

Подстановка численных значений констант даёт значение для Вт/(м ), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по и приравнять нулю (поиск экстремума):

.

Значение , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим , получится уравнение:

.

Решение такого уравнения даёт x=4.965. Следовательно , отсюда немедленно получается:

.

Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментом, а также удобную приближенную формулу мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зеленой области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

Литература

Источник: https://partners.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/323393

Планковская длина и планковское время: хранители тайн Вселенной

Мы привыкли жить в мире крупных, макроскопических вещей.

Все, с чем сталкивается обычный человек в течение дня — от чашки кофе с утра до огромного огненного шара в небе под названием Солнце, — вещи, которые мы можем либо видеть, либо осязать.

Однако еще в Древней Греции философы, в частности Демокрит и его учитель Левкипп, предположили, что все состоит из мельчайших неделимых частиц — атомов (в переводе с греческого буквально означает «неделимый»).

Со временем был открыт атом, а затем и его свойство, что он вовсе не неделимый, а состоит из ядра и вращающегося вокруг него электрона. Затем выяснилось, что и ядро состоит из протонов и нейтронов.

Еще позже были открыты кварки, из которых состоят протоны и нейтроны атомных ядер. Эти миниатюрные частицы называют элементарными. Помимо кварков, среди элементарных частиц есть уже упомянутые электроны, бозоны, нейтрино и фотоны.

Все они считаются теми самыми древнегреческими «атомами» — неделимыми.

В 1899 году (в некоторых источниках — в 1900-м) немецкий физик и по совместительству основоположник квантовой теории Макс Планк предложил особую меру измерения — планковские единицы. Это единицы, предназначенные для упрощения определенных алгебраических выражений, присутствующих в теоретической физике, в частности в квантовой механике.

В число их входят такие фундаментальные единицы, как планковская масса, планковская температура, планковская длина и планковское время. В этом материале мы рассмотрим планковскую длину и планковское время и попробуем сделать это наиболее понятным способом, без сложных математических выкладок (хотя некоторые формулы нам понадобятся).

 

Как вы уже знаете, физика занимается изучением не только огромных космических структур вроде галактик и туманностей, но и невероятно маленькими явлениями на атомном и субатомном масштабах. Однако существует еще одна реальность в масштабах, которые намного меньше того, что науке удалось изучать.

На этом уровне есть величина, настолько сильно выходящая за рамки традиционного понимания «маленького», что ее тяжело представить. Это планковская длина — она в 1020 раз меньше диаметра ядра атома водорода. Предполагается (или, точнее сказать, подозревается), что именно на этом уровне формируется «пена» пространства-времени.

Чтобы осознать, о какой величине идет речь, можно заглянуть в анимацию «Масштаб Вселенной» по этой ссылке.

И все же о каких размерах идет речь? Планковская длина составляет всего 1,616 х 10-35 метра. Вычислить ее можно при помощи уравнения, включающего в себя целых три фундаментальные константы — постоянную Планка (6,6261 х 10-34), скорость света в вакууме (2,29979 х 108 м/с) и гравитационную постоянную (6,6738 х 10-11):

lP = √ħG/c3

Впервые Макс Планк пришел к этой примечательной единице после работы над излучением черного тела и квантовой механики. Вероятно, вы слышали, что это самая малая возможная длина.

Тут, как и в случае с древнегреческой концепцией атома, можно сказать: «Конечно, если у меня есть некая длина и я разделяю ее пополам, а затем повторяю это снова и снова, я буду получать все меньшие и меньшие значения». Однако мы говорим о масштабах, на которых физика уже не способна делать то же, что и математика.

Один из самых ярких примеров таких невозможностей — движение со сверхсветовой скоростью. То есть на бумаге вы можете применить к массе силу и ускорить ее до скорости света и выше, но нам известно, что в природе это попросту физически невозможно, поскольку масса объекта (а значит, и энергия, необходимая для его ускорения) возрастает бесконечно.

Получается, мы не способны осуществить в реальности все, что можем сделать на бумаге.

Формула Планка - Справочник студента

Теория струн предсказывает существование струн, составляющих все элементарные частицы, именно в масштабах планковской длины / © Universe Review

Итак, каким образом такая малая величина вписывается в физику? Если две частицы разделены планковской длиной или еще меньшим расстоянием, то невозможно определить позиции каждой из них.

Более того, любые эффекты квантовой гравитации на этом масштабе (если они вообще есть) неизвестны науке, так как там само пространство не определено должным образом.

В некотором смысле можно сказать: даже если бы мы разработали методы измерений, способные «заглянуть» в эти масштабы, мы никогда не смогли бы измерить что-либо меньшее, вне зависимости от дальнейшего совершенствования наших методов и оборудования.

Согласно стандартной космологической модели Вселенная родилась в результате Большого взрыва, начавшегося в бесконечно плотной точке.

Особенно интересно то, что физики и космологи не имеют ни малейшего понятия, какие законы физики господствовали во Вселенной, прежде чем она превысила по своим размерам планковскую длину, так как еще нет подтвержденной теории квантовой гравитации.

Тем не менее эта единица оказалась полезной во множестве разных уравнений, которые помогли вычислить и исследовать некоторые из самых главных тайн Вселенной.

Например, планковская длина — ключевой компонент в уравнении Бекенштейна и Хокинга для расчета энтропии черной дыры.

Струнные теоретики считают, что именно на этом масштабе существуют «вибрирующие» струны, из которых состоят элементарные частицы Стандартной модели.

Вне зависимости от того, верна теория струн или нет, с уверенностью можно сказать одно: в поиске объединенной теории всего понимание планковской длины и связанной с ней физики сыграет ключевую роль.

Формула Планка - Справочник студента

Самые первые моменты существования Вселенной в космологии называют планковской эпохой / © University of Illinois 

А что насчет планковского времени? Если в двух словах, то планковское время — это время, за которое свет в вакууме проходит планковскую длину. Следовательно, эти две величины связаны между собой.

Любопытно, что для вычисления планковского времени необходимы постоянная Планка, гравитационная постоянная и скорость света в вакууме.

Точное значение планковского времени — 5,391 х 10-44 секунд, а вычисляется оно по формуле: 

tP = √ħG/c5

Планковское время также называют квантом времени — самым малым значением времени, имеющим какое-то фактическое значение. Меньшие значения времени не имеют никакого смысла.

Возвращаясь к теоретическим гипотезам, струнные теоретики предполагают, что струны размером в планковскую длину вибрируют с периодичностью, соответствующей планковскому времени.

В 2003 году при анализе снимков Deep Field с телескопа «Хаббл» некоторые ученые высказали предположения, что если бы на планковском масштабе присутствовали флуктуации пространства-времени, то изображения очень далеких объектов были бы размытыми.

Снимки «Хаббла», как они утверждали, были слишком точными, что, по мнению специалистов, ставило под сомнение концепцию планковских масштабов. Другие представители научного сообщества не согласились с этим предположением, отметив, что такие флуктуации были бы слишком малы, чтобы их можно было наблюдать. Кроме того, было высказано предположение, что ожидаемая размытость была устранена большими размерами объектов на снимках.

Формула Планка - Справочник студента

Снимок Hubble Ultra-Deep Field / © NASA/ESA/R. THOMPSON

Итак, планковская длина и связанное с ней планковское время определяют масштабы, на которых современные физические теории перестают работать. Вся геометрия пространства-времени, предсказанная Общей теорией относительности, перестает иметь всякий смысл.

Эти масштабы хранят еще неоткрытую теорию, объединяющую Общую теорию относительности и квантовую механику, которая сможет наиболее полно описать законы физики.

В сущности говоря, именно по этой причине современные описания развития Вселенной начинаются только спустя 5,391 х 10-44 секунд после Большого взрыва, когда Вселенная была размером 1,616 х 10-35 метров.

Источник: https://naked-science.ru/article/nakedscience/plankovskaya-dlina-i

ПЛА́НКА ЗАКО́Н ИЗЛУЧЕ́НИЯ

Авторы: А. В. Масалов

ПЛА́НКА ЗАКО́Н ИЗЛУЧЕ́НИЯ, опи­сы­ва­ет спек­траль­ное рас­пре­де­ле­ние энер­гии элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния, на­хо­дя­ще­го­ся в те­п­ло­вом рав­но­ве­сии с ве­ще­ст­вом при за­дан­ной тем­пе­ра­ту­ре.

Идеа­ли­зи­ро­ван­ной мо­де­лью рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния слу­жит элек­тро­маг­нит­ное по­ле внут­ри по­лос­ти, рас­по­ло­жен­ной в на­гре­том ве­ще­ст­ве, при ус­ло­вии, что стен­ки ве­ще­ст­ва не­про­зрач­ны для из­лу­че­ния. Спектр та­ко­го рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния на­зы­ва­ют спек­тром из­лу­че­ния аб­со­лют­но чёр­но­го те­ла.

Объ­ём­ная плот­ность энер­гии из­лу­че­ния $u_ω$, при­хо­дя­щей­ся на еди­нич­ный ин­тер­вал час­тот $ω$, вы­ра­жа­ет­ся т. н. фор­му­лой План­ка:$$u_ω=frac{ω^2}{π^2 c^2}cdotfrac{hbar ω}{e^{hbar ω/kT}-1},$$ где $T$ – аб­со­лют­ная темп-ра, $k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на, $c$ – ско­рость све­та, $hbar$  – по­сто­ян­ная План­ка. Т. о.

, по спек­тру из­лу­че­ния аб­со­лют­но чёр­но­го те­ла мож­но оп­ре­де­лить его тер­мо­ди­на­мич. темп-ру. Эта фор­му­ла бы­ла вы­ве­де­на М.

 План­ком в 1900 в ре­зуль­та­те рас­смот­ре­ния ба­лан­са об­ме­на энер­ги­ей ме­ж­ду дву­мя ви­да­ми ос­цил­ля­то­ров: час­ти­ца­ми ве­ще­ст­ва, по­гло­щаю­щи­ми и ис­пус­каю­щи­ми из­лу­че­ние на час­то­те $ω$, и ос­цил­ля­то­ра­ми, пред­став­ляю­щи­ми элек­тро­маг­нит­ное по­ле той же час­то­ты.

Планк пред­по­ло­жил, что та­кие ос­цил­ля­то­ры мо­гут на­хо­дить­ся толь­ко в со­стоя­ни­ях с дис­крет­ной энер­ги­ей и об­ме­ни­ва­ют­ся ме­ж­ду со­бой кван­та­ми энер­гии ве­ли­чи­ной $Δmathscr {E}=hbar ω$. Зна­че­ние ко­эф. про­пор­цио­наль­но­сти $hbar$ ме­ж­ду час­то­той ос­цил­ля­то­ра и ве­ли­чи­ной кван­та энер­гии Планк ус­та­но­вил ис­хо­дя из экс­пе­рим. дан­ных: $hbar$=1,054·10–34 Дж·с. Пред­по­ло­же­ние о дис­крет­ном на­бо­ре воз­мож­ных зна­че­ний энер­гии ос­цил­ля­то­ров по­ля ($0, hbar ω, 2hbar ω, 3hbar ω, …$) ста­ло впо­след­ст­вии ос­но­ва­ни­ем для вве­де­ния по­ня­тия кван­та элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния (фо­то­на).

Спек­траль­ная плот­ность энер­гии мо­жет быть рас­счи­та­на так­же для др. ха­рак­те­ри­стик из­лу­че­ния – час­то­ты $ν=ω/2π$ или дли­ны вол­ны $λ=c/ν= 2πc/ω$.

То­гда фор­му­ла План­ка при­об­ре­та­ет вид (здесь $h=2πhbar$): $$u_v=frac{8πhv^3}{c^3}cdotfrac{1}{e^{hv/kT}-1}$$ или $$u_λ=frac{8πhc}{λ^5}cdotfrac{1}{e^{hc/λkT}-1}.

$$ За­ви­си­мость спек­траль­ной плот­но­сти энер­гии от дли­ны вол­ны из­лу­че­ния пред­став­ле­на на ри­сун­ке.

Для вы­во­да фор­му­лы План­ка не­об­хо­дим под­счёт чис­ла ос­цил­ля­то­ров из­лу­че­ния, при­хо­дя­щих­ся на еди­нич­ный ин­тер­вал час­тот; эта ве­ли­чи­на для еди­нич­но­го объ­ё­ма со­став­ля­ет $ω/π^2c^3$. Ес­ли при­нять, что ср.

энер­гия ос­цил­ля­то­ра по­ля рав­на $kT$, как это сле­ду­ет из Больц­ма­на рас­пре­де­ле­ния для не­пре­рыв­но­го на­бо­ра воз­мож­ных зна­че­ний энер­гии, то для плот­но­сти энер­гии из­лу­че­ния $u_ω$ по­лу­чит­ся фор­му­ла Рэ­лея – Джин­са (см. Рэ­лея – Джин­са за­кон из­лу­че­ния):$$u_ω=frac{ω^2}{π^2 c^3}cdot kT.

$$ Фор­му­ла Рэ­лея – Джин­са при­ме­ни­ма толь­ко для ма­лых час­тот ($hbar ω≪kT$), т. к. она пред­ска­зы­ва­ет не­ог­ра­ни­чен­ный рост плот­но­сти энер­гии, а зна­чит, и пол­ной энер­гии из­лу­че­ния, с рос­том час­то­ты (т. н. ульт­ра­фио­ле­то­вая ка­та­ст­ро­фа), что на­хо­дит­ся в про­ти­во­ре­чии с экс­пе­рим. дан­ны­ми. Имен­но для сня­тия это­го про­ти­во­ре­чия М.

 Планк вы­дви­нул пред­по­ло­же­ние о дис­крет­ном на­бо­ре энер­гий ос­цил­ля­то­ра элек­тро­маг­нит­но­го по­ля; по­лу­чен­ная им фор­му­ла хо­ро­шо со­гла­су­ет­ся с экс­пе­рим. дан­ны­ми.

Фор­му­ла План­ка кон­кре­ти­зи­ру­ет весь­ма об­щее со­от­но­ше­ние для плот­но­сти энер­гии рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния, ус­та­нов­лен­ное В. Ви­ном (см.

Ви­на за­кон сме­ще­ния), и со­гла­су­ет­ся с ус­та­нов­лен­ным ра­нее Сте­фа­на – Больц­ма­на за­коном из­лу­че­ния, ут­вер­ждаю­щим, что пол­ная (по всем час­то­там) плот­ность энер­гии про­пор­цио­наль­на чет­вёр­той сте­пе­ни темп-ры.

Хо­тя фор­му­ла План­ка вы­ве­де­на для опи­са­ния рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния в по­лос­ти на­гре­то­го ве­ще­ст­ва, она ока­зы­ва­ет­ся при­год­ной и для опи­са­ния спек­траль­но­го рас­пре­де­ле­ния лу­чи­стой энер­гии, ис­пус­кае­мой ре­аль­ны­ми те­ла­ми в ок­ру­жаю­щее про­стран­ст­во. Ре­ги­ст­ра­ция спек­тров из­лу­че­ния звёзд и их со­пос­тав­ле­ние с фор­му­лой План­ка яв­ля­ет­ся осн. ме­то­дом ус­та­нов­ле­ния темп-ры их по­верх­но­сти. Этим спо­со­бом мож­но из­ме­рять так­же темп-ру на­гре­тых тел в зем­ных ус­ло­ви­ях, что осо­бен­но важ­но для рас­ка­лён­ных ме­тал­лов и ке­ра­мик, где не­при­ме­ни­мы тра­диц. дат­чи­ки темп-ры. П. з. и. ис­поль­зу­ют для опи­са­ния по­то­ков лу­чи­стой энер­гии в эта­ло­нах яр­ко­сти из­лу­че­ния, не­об­хо­ди­мых для аб­со­лют­ной ка­либ­ров­ки при­ём­ни­ков све­та.

Источник: https://bigenc.ru/physics/text/3143472

Формула Планка

Немецкий физик М. Планк в 1900 г. вывел формулу, описывающую распределение энергии в спектре равновесного теплового излучения абсолютно чёрного тела при определённой температуре Т.

При выводе формулы он использовал статистические методы и гипотезу, что энергия испускается абсолютно чёрным телом дискретными порциями — квантами. Любое излучающее тело М. Планк рассматривал, как совокупность большого числа атомов (молекул) — осцилляторов, излучение которых даёт полное излучение тела.

Согласно гипотезе Планка, излучение и поглощение энергии осцилляторами происходит в определённые моменты времени и определёнными порциями — квантами. Величина кванта энергии е пропорциональна частоте v излучения и обратно пропорциональна длине волны Я

где h — коэффициент пропорциональности, он называется постоянной Планка, h = 6, 625 • 10'34 Джс.

Постоянная Планка h имеет размерность “энергия, умноженная на время”, которую в механике называют действием. Поэтому постоянную Планка h называют квантом действия.

Энергия Е „ излучения, по гипотезе Планка, должна быть кратной величине кванта энергии е, т. е.

где п = 0, 1, 2,… — целое число.

По классическим представлениям, атомы — осцилляторы постоянно излучают и поглощают энергию. Поэтому энергия любого тела изменяется непрерывно и может принимать любые значения.

Формула Планка, определяющая зависимость спектральной плотности энергетической светимости г д абсолютно чёрного тела от длины волны Я и температуры Г, имеет вид или

где к — постоянная Больцмана, к = 1, 38 10 23 Дж .

К

Графики, построенные с помощью формулы Планка, полностью совпадают с экспериментальными кривыми во всём интервале длин волн Я (частот v) при всех температурах Т. Планк пытался вывести свою формулу с позиций классической физики, но безуспешно. Это окончательно убедило его и других физиков в том, что квантовый характер излучения является законом природы.

Интересно отметить, что Макс Планк в своём нобелевском докладе сказал: “После нескольких недель самой напряжённой работы в моей жизни, тьма, в которой я барахтался, озарилась молнией и передо мной открылись неожиданные перспективы”. Он прочитал доклад 14 марта 1900 г. Этот день считается днём рождения квантовой физики.

Формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса в области малых частот v при выполнении условия, что квант энергии h • v во много раз меньше средней энергии осциллятора к ? Т (к ? v « к ? Г).

h-v

Величину ект разложим в ряд и ограничимся двумя первыми членами разложения

если к ? v « к ? Т, то

I

подставив (25.24) в (25.23), получим формулу Рэлея-Джинса

с

Тот факт, что из формулы Планка следует формула Рэлея- Джинса, говорит о том, что выводы классической и квантовой теорий излучения в области малых частот v (больших длин волн X) совпадают.

Энергия кванта ? = к ? v = ^'с уменьшается с увеличением длины

Я

волны Я.

При больших длинах волн Я (малых частотах v) энергия кванта энергии г столь мала, что невозможно отличить целое или дробное число порций энергии (квантов), содержится в излучении. Поэтому квантовая природа излучения особенно чётко проявляется в коротковолновой части спектра (малые значения длины волны Я).

Из формулы Планка выводятся формулы законов равновесного теплового излучения абсолютно чёрного тела (закон Стефана-Больцмана, закон смещения Вина).

Чтобы вывести формулу закона Стефана-Больцмана нужно в формулу, определяющую энергетическую светимость R абсолютно чёрного тела, подставить значение г v из уравнения (25.25)

  • 2л-5 -к4
  • где (7 =
  • 15-с2 /г3 ’
  • Итак, интегрирование формулы Планка по всем частотам v (или длинам волн Я) от 0 до со позволяет получить формулу закона Стефана-Больцмана, определяющую энергетическую светимость R абсолютно чёрного тела.

Из формулы Планка (25.23) следует закон смещения Вина.

Введём в формулу переменную х = ^'v , тогда формула Планка

к — Т

примет вид

Если взять производную от г v по v и приравнять её к нулю, то получим уравнение, решение которого даёт значение v мах, при котором величина г „ достигает максимального значения. В уравнении (25.23) отбросим постоянные величины, не содержащие х, тогда получим

  1. х3
  2. выражение -, от которого возьмем производную по х и
  3. ех -1

Приближённое решение этого уравнения имеет вид

  • отсюда
  • или
  • где в] = Ь_мах = 2,82 ? К = 3, 6910'11_1__
  • h h К-с

Если взять производную от г; по Я и приравнять её к нулю, т. е. записать условие экстремума функции г , (л, Г) = f (Я), то решение алгебраического уравнения даёт значение длины волны, при котором г ; имеет максимум. После соответствующих вычислений, получим где b — постоянная Вина, b = ^l'L_ = 2, 9 -10 3 м • К.

4,965к

Итак, квантовая теория излучения не отвергает классическую теорию, основанную на опытных данных. Она включает классическую теорию, как свою составную часть.

Применение законов теплового излучения многообразно. С помощью законов теплового излучения определяют высокие температуры внутри доменных печей. Температуру Солнца и других звёзд рассчитывают по длине волны, соответствующей максимуму излучения их или по энергетической светимости. Законы теплового излучения используются в военном деле.

Источник: https://bstudy.net/721631/estestvoznanie/formula_planka

Уравнение Планка

Уравнение Планка. Атомные спектры, энергетические уровни электрона. Модель электрона в атоме. Волновая функция «пси» для электрона. Квантовые числа, их характеристика.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА:

Квантовая теория – дитя XX века: её открыл и в простейшей форме изложил в 1900 году Макс Планк. (1858-1947) – профессор Германского университета. К этой теории он пришел, изучая природу излучения, испускаемого нагретыми твердыми телами.

h – постоянная Планка

порции электромагнитной энергии прямо пропорциональны частоте излучения

Если тело нагрето, оно излучает. Тепловое излучение, как и видимый свет, является одним из видов электромагнитных волн. Это легко заметить, так как излучение нагретого тела лежит в видимой области спектра. Сначала нагретое тело становится красным, а при увеличении tº — белым (как нить накаливания).

Для изучения этого явления используется модель абсолютно – черного тела, — это полость, хорошо изолированная стенками из непрозрачного материала с небольшим отверстием в одной из стенок. Например, это длинная трубка, которую нагревают электрическим током, пропуская его по намотанной на трубку проволоке. Излучение можно наблюдать через маленькое отверстие.

В противоположность классическому взгляду, состоящему в том, что осциллятор может поглощать и излучать энергию непрерывно в интервале длин волн от нуля до бесконечности, Планк предположил, что энергия должна излучаться и поглощаться дискретными порциями (квантами).

Это значит, что любая система, способная к лучеиспусканию, должна обладать рядом энергетических состояний, и излучение может происходить тогда, когда система переходит из одного состояния в другое. В 1905 году Эйнштейн высказал предположение, что идея о квантовании должна быть применена к любому излучению.

Это значит, что электромагнитное излучение состоит из частиц, называемых сейчас фотонами, имеющих энергию и распространяющихся со скоростью света. Были получены экспериментальные доказательства предложенных изменений Планком, а затем Эйнштейном и квантовую теорию стало невозможно опровергнуть.

В то самое время, когда внимание ученых было сконцентрировано на проблеме излучения абсолютно твердого тела, нечто похожее происходило и в области атомных спектров.

Было найдено, что, например, при пропускании электрического разряда в одноатомном газе испускается свет. Для легкого элемента, такого как водород, линейчатый спектр довольно простой. Однако для более тяжелых элементов спектр значительно сложнее.

Но как образуются такие линии трудно было объяснить, т.к. не существовало модели атома.

Для объяснения линейного характера спектров, датский ученый Бор в 1913 году предложил модель атома. Он опирался на квантовую теорию Планка. Бор доказал, что энергия электрона, движущегося вокруг ядра, может иметь лишь определенные значения: энергия квантована.

Энергия, необходимая электрону для движения по заданной орбите, зависит от радиуса этой орбиты. Для движения по орбите, удаленной от ядра, требуется больше энергии, чем для движения по орбите, близкой к ядру. А орбиты электронов имеют строго определенные радиусы.

При движении по одной из таких орбит электрон не излучает энергию. Чтобы переместиться на орбиту, более удаленную от ядра, электрон должен поглотить энергию, которая компенсирует работу по преодолению силы притяжения электрона ядром.

Если атом поглотит фотон (квант световой энергии ), то электрон сможет перейти с одной из внутренних орбит на внешнюю.

Согласно квантовой теории, энергия фотона – кванта света с частотой υ излучения – равна , где

h – постоянная Планка (6,626 • 10-34 Дж•с)

Чтобы электрон мог перейти с орбиты с энергией E1 на другую орбиту с энергией Е2, поглощаемый свет должен иметь частоту, определяемую уравнением Планка:

Спектр испускания возникает, если электроны, которые ранее были возбуждены «падают» обратно на орбиты с меньшей энергией. Электроны отдают энергию, испуская её в виде светового излучения с частотой, определяемой уравнением Планка.

# Бор приписал орбитам квантовые числа.

Источник: http://lech-ximiya.blogspot.com/2012/03/blog-post_5770.html

О постоянной планка | физика

  Постоянная Планка

    Об этой физической константе впервые заявил немецкий физик Макс Планк в 1899 году. В этой статье я постараюсь ответить на три вопроса: 

 1. В чём заключается физический смысл постоянной Планка?

 2. Как её можно вычислить из реальных экспериментальных данных?

 3. Связано ли с постоянной Планка утверждение о том, что энергия может передаваться только определёнными порциями — квантами?

                                                                                                              Введение 

   Читая современную научную литературу, невольно обращаешь внимание на то, насколько сложно, а иногда и туманно авторы отображают эту тему. Поэтому в своей статье я постараюсь объяснить ситуацию простым русским языком, не выходя за уровень школьных формул.

История эта началась во второй половине 19 века, когда учёные начали детально изучать процессы теплового излучения тел.

Для повышения точности измерений при этих экспериментах использовались специальные камеры, которые давали возможность приблизить коэффициент поглощения энергии к единице.

   Устройство этих камер подробно описано в различных источниках и я не буду на этом останавливаться, замечу только, что сделаны они могут быть практически из любого материала. Оказалось, что излучение тепла является излучением электромагнитных волн в инфракрасном диапазоне, т.е. на частотах, несколько ниже видимого спектра.

В ходе экспериментов было установлено, что при любой конкретной температуре тела в спектре ИК излучения этого тела наблюдается пик максимальной интенсивности этого излучения. При повышении температуры этот пик сдвигался в сторону более коротких волн, т.е. в область более высоких частот ИК излучения.

Графики этой закономерности тоже есть в различных источниках и я не буду их рисовать. Вторая закономерность уже была по настоящему удивительной. Оказалось, что различные вещества при одной и той же температуре имеют пик излучения на одной и той же частоте. Ситуация требовала теоретического объяснения.

И тут Планк предлагает формулу, связывая энергию и частоту излучения: Е=hf, где Е-энергия, f-частота излучения, а h — постоянная величина, которая позже и была названа в его честь.

    Планк вычислил и значение этой величины, которая, по его расчётам оказалась равной 6,626*10 в степени -34 дж*сек. Количественно эта формула описывает реальные экспериментальные данные не совсем точно и далее вы увидите, почему, а с точки зрения теоретического объяснения ситуации она полностью соответствует действительности, что вы позже тоже увидите.

                                                                                                          Подготовительная часть

   Далее мы вспомним несколько физических законов, которые лягут в основу наших дальнейших рассуждений. Первым будет формула кинетической энергии тела, совершающего вращательное движение по круговой или эллиптической траектории.

Она выглядит следующим образом: Е=mV^2, т.е. произведению массы тела на квадрат скорости, с которой тело движется по орбите.

Скорость V при этом вычисляется по простой формуле: 2nR/T, где Т — период обращения, и в качестве R при круговом движении берётся радиус вращения, а при эллиптической траектории большая полуось эллипса траектории.

Для одного атома вещества есть одна очень полезная для нас формула, связывающая температуру с энергией атома:  (1) mV^2=3кt.  Здесь t — температура в градусах Кельвина, а к — постоянная Больцмана, которая равна 1,3807*10 в степени -23 дж/К.

   Если взять температуру в один градус, то, в соответствии с этой формулой, энергия одного атома будет равна: (2) Е=4140*10 в степени-26 дж    Причём эта энергия будет одинаковой как для атома свинца, так и для атома алюминия или атома любого другого химического элемента. В этом как раз и заключается смысл понятия «температура».

   Из формулы (1) видно, что равенство энергии для различных атомов с различной массой при температуре в 1 градус достигается лишь с помощью изменения величины квадрата скорости, т.е.

скорости, с которой атом совершает движение по своей круговой или эллиптической .орбите.

Поэтому, зная энергию атома при одном градусе и массу атома, выраженную в килограммах, мы можем без труда вычислить линейную скорость данного атома при данной температуре.

   Как это делается, поясним на конкретном примере. Возьмём из таблицы Менделеева любой химический элемент, например — молибден. Далее возьмем любую температуру, например — 1000 градусов Кельвина. Зная из формулы (2) значение энергии атома при 1 градусе, мы можем узнать энергию атома при взятой нами температуре, т.е. умножить это значение на 1000.

Получилось:  (3) Энергия атома молибдена при 1000К =4, 14*10 в степени -20 дж    Теперь вычислим значение массы атома молибдена, выраженное в килограммах. Делается это при помощи таблицы Менделеева. В клетке каждого химического элемента, около его порядкового номера, указана его молярная масса. Для молибдена это 95, 94.

Остается это число разделить на число Авогадро, равное 6, 022*10 в степени +23 и полученный результат умножить на 10 в степени -3, так как в таблице Менделеева молярнрная масса указана в граммах. Получается 15,93 *10 в степени -26 кг. Далее из формулы mV^2=4, 14*10 в степени -20 дж вычислим скорость и получаем V=510м/сек.

     Тут нам пора переходить к следующему вопросу подготовительного материала.

   Вспомним о таком понятии, как момент импульса. Это понятие было введено для тел, совершающих движение по окружности.

Можно провести простой пример: взять кроткую трубку, пропустить через неё шнур, привязать к шнуру груз массой m и, придерживая шнур одной рукой, другой рукой раскрутить груз над головой.

Перемножив значение скорости движения груза на его массу и радиус вращения, получим значение момента импульса, который обычно обозначается буквой L. Т.е. L=mVR. Потянув шнур через трубку вниз, мы уменьшим радиус вращения.

При этом скорость вращения груза возрастёт и его кинетическая энергия увеличится на величину той работы, которую вы выполните, тянув за шнур для уменьшения радиуса. Однако, умножив массу груза на новые значения скорости и радиуса, мы получим то же самое значение, которое у нас получилось до того, как мы уменьшили радиус вращения. Это и есть закон сохранения импульса.

   Ещё в 17 веке Кеплер во втором своём законе доказал, что этот закон соблюдается и для спутников, двигающихся вокруг планет по эллиптическим орбитам.

При приближении к планете скорость спутника возрастает, а при удалении от него уменьшается. При этом произведение mVR остается неизменным. То же самое касается и планет, двигающихся вокруг Солнца.

Попутно вспомним и третий закон Кеплера. Вы спросите — зачем?

   Затем, что в этой статье вы увидите то, о чем не написано ни в одном научном источнике —                                                                                                        формулу третьего закона движения планет Кеплера в микромире.

   А теперь о сути этого самого третьего закона.

   В официальной трактовке он звучит довольно витиевато: «квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит». Когда я в первый раз это прочитал, я вообще ничего не понял. Потом разобрался. Поэтому объясняю закон человеческим языком.

У каждой планеты есть два личных параметра — расстояние до Солнца и время, за которое она делает один полный оборот вокруг Солнца, т.е. период обращения. Так вот, если расстояние возвести в куб, а потом полученный результат разделить на период, возведённый в квадрат, то получится какая-то величина, обозначим её буквой С.

А если произвести вышеуказанные математические действия с параметрами любой другой планеты, то получится та же самая величина — С.

   Несколько позже, на основе третьего закона Кеплера, Ньютон вывел Закон Всемирного тяготения, а ещё через 100 лет Кавендиш вычислил истинное значение гравитационной постоянной — G. И только после этого стал ясен истинный смысл этой самой константы — С.

Оказалось, что это зашифрованная величина массы Солнца, выраженная в единицах измерения длина в кубе, делённые на время в квадрате. Проще говоря, зная расстояние планеты до Солнца и период её обращения, можно вычислить массу Солнца. Пропуская несложные, но нудные математические припомпасы, сообщу, что коэффициент пересчёта равен 4n^2/G.

Поэтому справедлива формула, с аналогом которой мы ещё встретимся:  (4) 4n^2R^3/T^2G = M солнца (кг)

                                                                                                           Основная часть

                                                                                  Вот теперь можно и к главному переходить.

   Разберёмся с размерностью постоянной Планка. Из справочников мы видим, что величина постоянной Планка =6,626*10 в степени -34дж*сек. Для тех, кто подзабыл физику, напомню, что эта размерность эквивалентна размерности кг*метр в квадрате/сек. Это есть размерность момента импульса mVR.

Теперь возьмём формулу энергии атома Е=mV^2 и формулу Планка Е=hf. Для одного атома любого вещества при заданной температуре величины этих энергий должны совпадать. Учитывая, что частота обратна периоду излучения, т.е.

f=1/T, а скорость V=2nR/T, где R — радиус вращения атома, мы можем написать: m4n^2R^2/T^2=h/T. Отсюда мы видим, что постоянная Планка не является моментом импульса в чистом виде, а отличается от него на сомножитель 2n. Вот мы и определили её истинную суть. Осталось только её вычислить.

Перед тем, как мы сами начнём её вычислять, давайте посмотрим, как это делают другие.

   Заглянув в лабораторные работы по этой теме, мы увидим, что в большинстве случаев постоянную Планка вычисляют из формул фотоэффекта. Но законы фотоэффекта были открыты гораздо позже, чем Планк вывел свою постоянную.

В другой лабораторной работе я увидел, как постоянную Планка вычисляют из закона Стефана Больцмана. Похоже, Планк действительно вычислял свою постоянную именно из этого закона, где она сейчас присутствует в одном из коэффициентов.

Этот коэффициент вычисляется по адской формуле, которую я здесь даже не хочу приводить. Поэтому поищем другой закон. Он есть. Это закон Вина, открытый в 1893 году.

   Суть этого закона проста. Объясню его простыми словами.

   Как мы уже говорили, при определённой температуре нагретое тело имеет пик интенсивности ИК излучения на определённой частоте. Так вот, если умножить значение температуры на значение волны ИК излучения, соответствующей этому пику, то получится некая величина.

Если взять другую температуру тела, то пик излучения будет соответствовать другой длине волны. Но и тут, при перемножении этих величин получится тот же результат.

Вин вычислил эту константу и выразил свой закон в виде формулы:  (5) Lt= 2,898 * 10 в степени -3 м*градус К  Здесь L — длина волны ИК излучения в метрах, а t — значение температуры в градусах Кельвина. Этот закон по своей значимости можно приравнять к законам Кеплера.

Теперь, посмотрев на нагретое тело через спектроскоп и определив длину волны, на которой наблюдается пик излучения, можно по формуле закона Вина дистанционно определить температуру тела. На этом принципе работают все пирометры и тепловизоры. Хотя тут не всё так просто.

   Пик излучения показывает, что большинство атомов в нагретом теле излучает именно эту длину волны, т.е. имеют именно эту температуру. А излучение справа и слева от пика показывает, что в теле есть как «недогретые», так и «перегретые» атомы.

В реальных условиях бывает даже несколько «горбов» излучения.

Поэтому современные пирометры измеряют интенсивность излучения в нескольких точках спектра, а потом полученные результаты интегрируются, что даёт возможность получить максимально точные результаты.

   Но вернёмся к нашим вопросам. Сейчас будет последнее лирическое отступление и будем заканчивать.

   Зная, с одной стороны, что из формулы (1) температура соответствует кинетической энергии атома через постоянный коэффициент 3к, а с другой стороны, произведение температуры на длину волны в законе Вина тоже константа, раскладывая квадрат скорости в формуле кинетической энергии атома на сомножители, мы можем записать: m 4n^2R^2L/T^2 = константа. В левой половине уравнения m — константа, значит и всё остальное в левой части 4n^2R^2L/T^2 — константа. А теперь сравните это выражение с формулой третьего закона Кеплера (4). Тут, конечно, речь не идёт о гравитационном заряде Солнца, тем не менее, в этом выражении зашифрована величина некого заряда, суть и свойства которого весьма интересны. Но эта тема достойна отдельной статьи, поэтому мы продолжим свою.

   Вычислим значение постоянной Планка на примере атома молибдена, который мы уже взяли в качестве примера. Как мы уже установили, формула постоянной Планка h=2nmVR. Ранее мы уже вычислили значения массы атома молибдена и скорость его движения по своей траектории. Нам осталось вычислить лишь радиус вращения.

Как это сделать? Здесь нам поможет закон Вина. Зная значение температуры молибдена = 1000 градусов, мы по формуле (5) легко вычислим длину волны L, которая получится = 2,898*10 в степени -6 м.

Зная, что инфракрасные волны распространяются в пространстве со скоростью света — с, мы по простой формуле Т= L/с вычислим частоту излучения атома молибдена при температуре 1000 градусов. И получится этот период Т= 0,00966 *10 в степени -12 сек. Но это именно та частота, которую генерирует атом молибдена, двигаясь по своей орбите вращения.

Ранее мы уже вычислили скорость этого движения V= 510 м/сек, а сейчас знаем и частоту вращения Т. Осталось только из простой формулы V=2nR/T вычислить радиус вращения R. Получается R = 0,7845*10 в степени -12 м. И теперь нам остаётся только вычислить значение постоянной Планка, т.е.

перемножить значения массы атома (15,93 *10 в степени -26 кг), скорости (510м/сек), радиуса вращения (0,7845*10 в степени -12 м) и удвоенного значения числа «пи».      Получаем 4*10 в степени -34 дж*сек. Стоп!

   В любом справочнике вы найдёте значение 6, 626*10 в степени -34 дж*сек! Кто прав?

   Вы сами по указанной методике можете просчитать значение постоянной Планка для атомов любых химических элементов при любой температуре.

   Во всех случаях получится величина именно 4, а не 6,626. Но, лучше всего, чтобы ответ на этот вопрос дал сам Планк.

   Давайте в его формулу Е=hf подставим наше значение его постоянной, а частота излучения при 1000 градусах вычислена нами на основе закона Вина, который сотни раз перепроверялся и выдержал все экспериментальные проверки. Учитывая, что частота является величиной, обратной периоду, т.е.

f=1/T, вычислим энергию атома молибдена при 1000 градусах. Получаем 4*10 в степени -34//0,00966*10 в степени -12 = 4,14*10 в степени -20 дж. А теперь сравним полученный результат с другим, полученным по независимой формуле, достоверность которой не вызывает сомнений (3).

  •    Эти результаты совпадают, что является лучшим доказательством.
  •         Поэтому, хочет кто-то этого или нет, справочники по физике придётся переписывать.
  •    А мы ответим на последний вопрос — содержит ли формула Планка неопровержимые доказательства того, что энергия передаётся только квантами?

   Иногда читаешь в серьёзных источниках такое объяснение — вот, видите, при частоте 1Гц мы имеем определённое значение энергии, а при частоте в 2 Гц оно будет кратным величине постоянной Планка. Это и есть квант.

Господа! Значение частоты может быть 1/1000 000 Гц или любое другое. Частота является обратной функцией длины волны и для электромагнитного излучения связаны через скорость света функцией типа у=1/х.

График этой функции не допускает никакого квантования. А теперь о квантах в общем.

   В физике существуют законы, выраженные в формулах, где присутствуют целые неделимые числа. Например, электрохимический эквивалент вычисляется по формуле масса атома/к, где к — целое число, равное валентности химического элемента. Целые числа присутствуют и при параллельном соединении конденсаторов при вычислении общей ёмкости системы.

   С энергией то же самое. Простейший пример — переход вещества в газообразное состояние где однозначно присутствует квант в виде числа 2. Интересна и серия Бальмера и некоторые другие соотношения. Но к формуле Планка это не имеет никакого отношения. Кстати, сам Планк был такого же мнения.

                                                                                                                         Заключение

  Если открытие закона Вина можно по значимости сравнить с законами Кеплера, то открытие Планка можно сравнить с открытием Закона Всемирного тяготения.

   Он превратил безликую постоянную Вина в константу, имеющую размерность и физический смысл. Доказав, что для жидкого и твёрдого агрегатного состояния вещества для атомов любых элементов при любой температуре сохраняется момент импульса, Планк совершил великое открытие, позволившее по новому взглянуть на окружающий нас физический мир.

   В заключение приведу интересную формулу, выведенную из вышесказанного и объединяющую четыре физических константы — скорость света — с, постоянную Вина — в, постоянную Планка — h и постоянную Больцмана — к. (6)      3кв = hс

Источник: https://maxpark.com/community/5654/content/5449521

Ссылка на основную публикацию