Числовые последовательности — справочник студента

      Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число  xn ,  то говорят, что задана числовая последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

      Число x1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности, число x2 — членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число xn называют членом последовательности с номеромn .

•       Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы.
•       Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности
• x1 ,  x2 , … xn , …
• с помощью формулы, выражающей зависимость члена xn от его номера n .
•       Пример 1.  Числовая последовательность
• 1, 4, 9, … n2 , …
• задана с помощью формулы общего члена
• xn = n2,       n = 1, 2, 3, …
•       Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности  xn через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы.
•       Пример 2 (Числа Фибоначчи). Числовая последовательность
• 1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55, …
• может быть задана с помощью рекуррентной формулы
• xn = xn – 1 + xn – 2 ,       n > 2 ,
• с начальными условиями
• x1 = 1,       x2 = 1 .

Возрастающие и убывающие последовательности

1.       Определение 1. Числовую последовательность
2. x1 ,  x2 , … xn , …
3. называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена.
4.       Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство
5. xn + 1 > xn
6.       Пример 3.

    Последовательность натуральных чисел

7. 1, 2, 3, … n, …
8. является возрастающей последовательностью.
9.       Определение 2. Числовую последовательность
10. x1 ,  x2 , … xn , …
11. называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

12.       Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство
13. xn + 1 < xn
14.       Пример 4. Последовательность

• заданная формулой
• является убывающей последовательностью.
•       Пример 5. Числовая последовательность
• 1, – 1, 1, – 1, …
• заданная формулой
• xn = (– 1)n,       n = 1, 2, 3, …
• не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

      Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями.

Ограниченные и неограниченные последовательности

1.       Определение 4. Числовую последовательность
2. x1 ,  x2 , … xn , …
3. называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.
4.       Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство
5. xn < M
6.       Определение 5.

   Числовую последовательность

7. x1 ,  x2 , … xn , …
8. называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m.
9.       Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство
10. xn > m
11.       Определение 6.

    Числовую последовательность

12. x1 ,  x2 , … xn , …
13. называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
14.       Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство
15. m < xn < M

      Определение 7.

Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.

•       Пример 6. Числовая последовательность
• 1, 4, 9, … n2 , …
• заданная формулой
• xn = n2,       n = 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу, например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху.

      Пример 7 .  Последовательность

1. заданная формулой
2. является ограниченной последовательностью, поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/sequence.htm

Как быстро освоить высшую математику?

Спешу вас обрадовать – это реально. Даже если теорема Пифагора благополучно забыта после 9 класса. И даже если через пару дней вам нужно сдавать контрольную / зачёт в ВУЗе. Или вообще завтра. Или, как оно бывает, вчера.

Приветствую тех, кто зашёл с поисковика – меня зовут Eмeлин Aлeксaндр, я преподаватель математики и автор сайта mathprofi.ru. За годы работы по моим лекциям и урокам успешно и быстро (!) подготовились группы и группы студентов, и на этой странице я рад представить вам долгожданные книги!

По существу, их можно назвать печатной версией статей, с которыми вы можете  свободно ознакомиться на mathprofi.ru. НО! Я постарался сделать высшую математику ещё доступнее, и преимущества книжного формата таковы:

В настоящий момент создано 8 интенсивных курсов и практикум по теории вероятностей,

и во избежание недопонимания и претензий, сразу пояснение:

Интенсивные курсы предназначены для того, чтобы вы БЫСТРО (буквально за считанные часы) научились решать* примеры по той или иной теме. В них я зачастую не останавливаюсь на сути понятий, но зато вам потребуется минимум знаний для освоения техники решения, что может быть критически важным, когда «на носу» контрольная / зачёт / экзамен.

И поэтому курсы доступны ПРЯМО СЕЙЧАС – сразу после символической оплаты

(эл. деньгами, сотовым, пластиковой картой, через онлайн-банк, др. способами)

Далее по законам жанра обычно пишут про бонусы. Бонус есть!

Вы получаете самое свежее издание книги!

Я постоянно улучшаю и обновляю свои материалы; так, некоторые статьи сайта подвергались правке более 100 (!) раз. Критические недочёты исправляются в кратчайшие сроки, и через пару минут обновлённый файл отправляется не только в продажу, но и в Личный кабинет каждого покупателя!

Внимание! Перед покупкой ОБЯЗАТЕЛЬНО откройте демо-версию книги и проверьте, корректно ли у вас отображается pdf-файл. Об устранении проблем на платформах Windows, Mac OS, Android можно прочитать здесь. Кроме того, файлы упакованы в zip-архивы (тестовый архив на всякий случай).

Интенсивный курс «Матрица, определитель и зачёт!»

Описание: чтобы освоить данный курс нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить.

Уже через 2-3 часа вы будете уверенно выполнять действия с матрицами и вычислять определители. Объяснения ведутся только на типовых практических примерах – ничего лишнего.

Более того, приложенный Матричный калькулятор не пропустит ни одной ошибки – забудьте о том, что такое «незачёт»!

• Формат: pdf-книга, А4, 56 страниц + Памятка по арифметике + Матричный калькулятор (требуется MS Excel).
• Посмотреть демо-версию курса >>>
• 

Интенсивный курс «Учимся решать пределы»

Описание: курс ориентирован на студентов-заочников с начальным уровнем подготовки и позволяет в кратчайшие сроки научиться решать типовые пределы функций одной переменой и пределы числовых последовательностей. Обладая большим практическим опытом, я включил в курс именно те задания, которые реально встретятся в ваших контрольных работах!

1. Формат: pdf-книга, А4, 66 страниц (с Приложениями включительно)
2. Посмотреть демо-версию курса >>>

Интенсивный курс «Как найти производную?»

Описание: курс позволяет в кратчайшие сроки научиться дифференцировать (находить производные) функции одной переменной.

Материал предназначен, прежде всего, для учащихся средней школы и студентов-заочников с начальными («школьными») навыками.

Однако планка поднимается высоко, и поэтому методичка может быть интересна и читателям с более высоким уровнем подготовки.

• Формат: pdf-книга, А4, 58 страниц (с Приложениями включительно)
• Посмотреть демо-версию курса >>>

И специальное предложение! Пределы + Производные:

1. Кроме того, в магазине действуют накопительные скидки, и это отличная возможность получить новые курсы с дополнительным дисконтом! (используйте один и тот же почтовый ящик)

Интенсивный курс «Частные производные»

• Описание: буквально за пару часов вы научитесь находить частные производные (1-го и 2-го порядка) функции двух и трёх переменных. Курс доступен и полезен для студентов всех форм обучения – как «чайников», так и «самоваров» =)
• Предполагается, что читатель умеет находить «обычные» производные.
• Формат: pdf-книга, А4, 41 страница (с Приложениями включительно)
• Посмотреть демо-версию курса >>>

Экстремально короткий курс «Горячие интегралы»

Описание: всего лишь 68 страниц «чистых объяснений», после которых вы сможете уверенно взять практически любой неопределённый интеграл! Курс предназначен для студентов с нулевым (в интегральном исчислении) уровнем подготовки, в том числе для студентов-«технарей». Значительную часть темы реально поднять за пол суток (например, день-вечер).

Чтобы освоить этот материал, нужно уметь дифференцировать! (см. курс «Как найти производную?»)

1. Формат: pdf-книга, А4, 96 страниц (с Приложениями включительно)
2. Посмотреть демо-версию курса >>>

Часть 2. «Определённые и несобственные интегралы»

Описание: этот невероятно короткий курс позволит вам закрепить навыки решения неопределенных интегралов, научиться решать определённые и несобственные интегралы, а также распространённые тематические задачи (нахождение площади плоской фигуры и объёма тела вращения).

Для освоения 2-й главы нужно уметь решать несложные пределы (см. курс «Учимся решать пределы»)

Формат: pdf-книга, А4, 66 страниц с Приложениями и 40 (!) иллюстрациями включительно + калькулятор в MS Excel (на тот случай, если под рукой нет своего калькулятора).

Посмотреть демо-версию курса >>>

И, конечно, обе Части со скидкой – все интегралы в одном флаконе: неопределенные, определённые, несобственные

• Прилагается инструкция для аварийной сверхбыстрой подготовки по теме!

Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

Описание: данный курс позволяет в кратчайшие сроки (1-2-3 дня) научиться решать наиболее распространённые типы дифференциальных уравнений.

Книга предназначена для студентов-заочников с нулевым (в теме) уровнем подготовки, а также для всех тех, кому нужно ОЧЕНЬ БЫСТРО научиться решать типовые диффуры, например, перед письменным зачётом или экзаменом.

1. Чтобы освоить этот материал нужно уметь находить неопределённые интегралы и производные, в том числе частные – для изучения параграфа 1.6
2. Формат: pdf-книга, А4, 105 страниц с Приложениями включительно
3. Посмотреть демо-версию курса >>>

«Ряды – рядом!» Экспресс-курс по числовым и степенным рядам

Описание: данный курс позволяет в минимальные сроки (в пределах 1-2 дней) научиться решать наиболее распространённые типы задач (>90%) по числовым и степенным рядам. Материал предназначен для студентов заочников, а также всех читателей, которым нужно срочно «поднять» практику по теме.

Чтобы освоить этот курс, нужно уметь решать пределы (критично!), и, кроме того, несобственные интегралы (для освоения п. 1.9) и производные (для п. 2.7).

• Формат: pdf-книга, А4, 86 страниц с Приложениями включительно
• Посмотреть демо-версию курса >>>

Практикум по теории вероятностей – краткий курс для начинающих

Описание: настоящая книга поможет вам в считанные дни ознакомиться с азами темы (комбинаторика и тервер) и научиться решатьнаиболее распространённые задачи. Практикум предназначен для студентов-заочников и других читателей, которые хотят быстро освоить практику. Прилагается план сверхбыстрой подготовки!

Для изучения некоторых задач и параграфов нужно ориентироваться в графиках функций и уметь решать несложные пределы, производные, интегралы. Книга содержит соответствующие внешние ссылки, в том числе на видеоматериалы.

1. Формат: pdf-книга, А4, 203 страницы + Приложения + Калькулятор (требуется MS Excel)
2. Посмотреть демо-версию курса >>>
3. Возможные проблемы и способы их устранения:
4. В случае «накладок» с доставкой зайдите в магазин и активируйте скачивание ещё раз.

Если архив пуст или не скачивается вообще, то, скорее всего, этому препятствует ваш антивирус или файерволл. Настройте своё программное обеспечение. В крайнем случае пишите в личку, отправлю материалы в распакованном виде.

• Если архив не распаковывается или вы не нашли в нём некоторых файлов, то распакуйте его с помощью онлайн сервисов, например: https://extract.me/ru/
• С иными проблемами технического характера обращайтесь через форму обратной связи – я постараюсь решить ваш вопрос как можно скорее.
• С наилучшими пожеланиями, Eмeлин Aлeксaндр.
• * Разумеется, я не могу гарантировать результат в 100 случаях из 100.

Источник: https://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

Определение числовой последовательности

Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.

Числовая последовательность {xn} – это закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число xn. Элемент xn называют n-м членом или элементом последовательности.

Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Последовательность обозначается в виде n-го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей: ,   ,   .

Другими словами числовая последовательность – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос – как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства. А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры последовательностей

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Рассмотрим последовательность . Общий член этой последовательности . Выпишем несколько первых членов: . Видно, что с ростом номера n, элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к : при .

Теперь рассмотрим последовательность с общим членом . Вот ее несколько первых членов: . С ростом номера n, элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к : при .

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Рассмотрим последовательность . Ее общий член . Первые члены имеют следующий вид: . Видно, что с ростом номера n, элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0: при . Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий.

В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0 с погрешностью . Ясно, что с ростом n эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n, погрешность можно сделать сколь угодно малой.

Причем для любой заданной погрешности ε > 0 можно указать такой номер N, что для всех элементов с номерами большими чем N: , отклонение числа от предельного значения a не превзойдет погрешности ε: .

Далее рассмотрим последовательность . Ее общий член . Вот несколько ее первых членов: . В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n равны . Поэтому, с ростом n, их величины приближаются к предельному значению a = 0. Это следует также из того, что .

Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0, для которой можно найти такой номер N, что элементы, с номерами большими чем N, будут отклоняться от предельного значения a = 0 на величину, не превышающую заданной погрешности.

Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0:   при  .

Примеры расходящихся последовательностей

Рассмотрим последовательность со следующим общим членом: Вот ее первые члены: . Видно, что члены с четными номерами:

,

сходятся к значению a1 = 0. Члены с нечетными номерами: , сходятся к значению a2 = 2. Сама же последовательность, с ростом n, не сходится ни к какому значению.

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок [0;1]. Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть . Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть

.

Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем . И так далее.

В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1). Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала [0; 1], мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.

Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала [0; 1]. То есть с ростом номера n, члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.

Для точки a = 1 выберем такую подпоследовательность: . Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1.

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде: , где – целое; – натуральное. Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Для этого на плоскости проводим оси p и q. Проводим линии сетки через целые значения p и q. Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов.

Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны.

Поэтому они не отображены на рисунке.

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем: . Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата: . Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата: . И так далее.

Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где – натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности. Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/mnozhestva/opredelenie-chislovoj-posledovatelnosti/

Числовая последовательность

Числовой последовательностью называют ряд чисел, полученных по некоторому правилу или формуле

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: (2; 4; 6; 8; 10…) А правило «первое число равно (3), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: (3; 6; 12; 24; 48….)

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер

Например, в последовательности (3; 6; 12; 24; 48…) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента

То есть, если последовательность (3; 6; 12; 24; 48…) обозначить как (a_n), то можно записать, что (a_1=3), (a_2=6), (a_3=12), (a_4=24) и так далее.

Иными словами, для последовательности (a_n={ 3;: 6; :12; : 24; : 48; : 96; : 192; : 384…}).

порядковый номер элемента	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	…
обозначение элемента	(a_1)	(a_2)	(a_3)	(a_4)	(a_5)	(a_6)	(a_7)	(a_8)	…
значение элемента	(3)	(6)	(12)	(24)	(48)	(96)	(192)	(384)	…

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: (1; : 1; : 1; : 1…) .

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

— I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Пример: Напишите первые пять членов последовательности квадратов натуральных чисел.

Решение: Натуральными называют числа, возникающие естественным образом при счете количества предметов, то есть: (1; : 2; : 3; : 4; : 5) и т.д. Нашу же последовательность формируют квадраты этих чисел, то есть (1^2;: 2^2; : 3^2; : 4^2; : 5^2…) . Таким образом, имеем ответ: (1; : 4; : 9; : 16; : 25…)

• Ответ: (1; : 4; : 9; : 16; : 25…)
• Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

— II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Пример: Последовательность задана формулой: (b_n=frac{n-1}{n^2}). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Вычислим (b_1). Это первый член последовательности, то есть его порядковый номер (n) равен единице. Тогда его значение равно (b_1=frac{1-1}{1^2} =frac{0}{1}=0).

У второго члена (n=2), то есть его значение равно (b_2=frac{2-1}{2^2} =frac{1}{4}). Третий ((n=3)):    (b_3=frac{3-1}{3^2} =frac{2}{9}). Четвертый ((n=4)):     (b_4=frac{4-1}{4^2} =frac{3}{16}). Пятый ((n=5)):     (b_5=frac{5-1}{5^2} =frac{4}{25}) . Готово. Можно писать ответ.

Ответ: (b_n= {0; : frac{1}{4}; : frac{2}{9}; : frac{3}{16}; : frac{4}{25}…}).

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

Пример: Последовательность задана формулой: (a_n=8+5n-n^2). Вычислите (a_9).

Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер (n=9). Подставляем в формулу: (a_9=8+5·9-9^2=8+45-81=-28).

Ответ: (a_9=-28).

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Пример: Последовательность задана условиями: (c_1=4), (c_{n+1}=c_n+3). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

1. Решение: Первый член нам известен: (c_1=4).
2.                                  (c_3=c_2+3=7+3=10).
3. Четвертый ((n=3)):     (c_{3+1}=c_3+3)                                          (c_4=c_3+3=10+3=13).
4. Пятый ((n=4)):   (c_{4+1}=c_4+3)                               (c_5=c_4+3=13+3=16).

Второй мы получим, подставив в формулу вместо (n) единицу: (c_{1+1}=c_1+3)                                                                                                                      (c_2=c_1+3=4+3=7) Третий ((n=2)):   (c_{2+1}=c_2+3 )

Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.

Ответ: (c_n={4; : 7; : 10; : 13; : 16…}).

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула (c_{n+1}=c_n+3) требовала именно этого. В ней (c_n) – это предыдущий элемент, а (c_{n+1}) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента (z_1=2;)   (z_2=5). Так же известна формула следующего элемента (z_{n+2}=3z_{n+1}-z_n). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:	Вычисления:
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) ? ? ? (…)	Так как формула дана для элемента с номером (n+2), то чтобы найти (z_3) нужно подставлять вместо (n) единицу: (z_{1+2}=3z_{1+1}-z_1) (z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) (13) ? ? (…)	Теперь найдем (z_4), подставив вместо (n) двойку: (z_{2+2}=3z_{2+1}-z_2) (z_4=3z_3-z_2=3·13-5=34)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) (13) (34) ? (…)	Наконец вычисляем (z_5), подставляя вместо (n) тройку: (z_{3+2}=3z_{3+1}-z_3) (z_5=3z_4-z_3=3·34-13=89)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) (13) (34) (89) (…)	Готово. Можно писать ответ.

Ответ: (c_3=13); (c_4=34); (c_5=89).

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

1. Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности (a_n=n^2-n):
2. а) (1)               б) (3)               в) (6)              г) (10) ?
3. Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:
4. (a_1=1^2-1=0) – мимо.
5. (a_2=2^2-2=2) – тоже не то.
6. (a_3=3^2-3=6) – есть!
7. Нужный элемент найден.
8. Ответ: (6).

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

1. Подставляют заданное число в формулу (n) -го члена вместо (a_n); 

2. Решая полученное уравнение, находят неизвестное (n); 

3. Если (n) – натуральное, то данное число — член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число (3) членом последовательности (a_n=)(frac{51+2n}{n+4}) ?

Решение:

(a_n=)(frac{51+2n}{n+4})	Если число (3) – член последовательности, то значит при некотором значении (n), формула (frac{51+2n}{n+4}) должна дать нам тройку. Найдем это (n) по алгоритму выше. Подставляем тройку вместо (a_n).
(3=)(frac{51+2n}{n+4})	Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель ((n+4)).
(3cdot (n+4)=51+2n)	Получилось линейное уравнение.  Раскрываем скобки слева.
(3n+12=51+2n)	Собираем неизвестные слева, числа справа…
(3n-2n=51-12)	…и приводим подобные слагаемые.
(n=39)	Готово. Найденное значение – это то число, которое надо подставить вместо (n) в формулу (frac{51+2n}{n+4}), чтоб получилось тройка (можете проверить это сами). Значит (39)-ый член последовательности равен трем.

Ответ: Да, число (3) является элементом данной последовательности.

Смотри также: Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия

Скачать статью

Источник: http://cos-cos.ru/math/94/

Определение числовой последовательности — урок. Алгебра, 9 класс

Функцию y=f(x), x∈ℕ, называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью, и обозначают (y=f(n)), или y1,y2,y3…yn…

 Значения y1,y2,y3…yn (и т. д.) называют соответственно первым, вторым, третьим (и т. д.) членами последовательности.

В символе yn число (n) называют индексом, который задаёт порядковый номер того или иного члена последовательности. Иногда для обозначения последовательности используется запись yn.

1. Аналитическое задание последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула её (n)-го члена yn=f(n).

Пример:

1. yn=n2.

Это аналитическое задание последовательности (1, 4, 9, 16…) n2(…), о которой шла речь выше.

Пример:

2. yn=C. Это значит, что речь идёт о последовательности (C, C, C… C…), которую называют стационарной.

  2. Словесное задание последовательности.

Пример:

последовательность простых чисел: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…)

Последовательность задана словесно.

Нахождение аналитического задания последовательности по её словесному описанию часто бывает сложной (а иногда и неразрешимой) задачей.

3. Рекуррентное задание последовательности.Этот способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить (n)-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы всё время возвращаемся назад, выясняем, чему равны предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от лат. recurrere — возвращаться).

Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить (n)-й член последовательности через предыдущие, и задают один-два начальных члена последовательности.

Пример:

y1=3;yn=yn−1+4, если n=2,3,4…

Имеем

y1=3;y2=y1+4=3+4=7;y3=y2+4=7+4=11;y4=y3+4=11+4=15и т. д.

Тем самым получаем последовательность (3, 7, 11, 15…)

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

Последовательность yn называют убывающей, если каждый её член (кроме первого) меньше предыдущего.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/algebra/9-klass/progressii-9139/chislovye-posledovatelnosti-11943/re-267fbf41-3e8d-4528-a23c-bc835806a480