Числовые характеристики систем двух случайных величин — справочник студента

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Законы
распределения. случайной величины
полностью описывают случайную величину
с вероятностной точки зрения. Однако
эти функции не всегда известны, да и во
многих задачах они не нужны.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Зачастую
достаточно знать только основные
числовые параметры, характеризующие
случайную величину, такие как: интервал,
в котором находится большинство значений
случайной величины; среднее значение,
относительно которого группируются
значения случайной величины; разброс
значений случайной величины относительно
среднего значения и так далее. Такие
характеристики называются числовыми
характеристиками случайной величины.

2.2.1 Характеристики
положения

Определение 1.
Математическим ожиданием (средним
значением) дискретной случайной величины

называется сумма произведений всех
возможных значений случайной величины
на соответствующие им вероятности:

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

при условии, что данный
ряд абсолютно сходится.

Определение 2.
Математическим ожиданием непрерывной
случайной величины
с плотностью
распределения
называется величина:

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

  • при условии, что данный
    интеграл абсолютно сходится.
  • Математическое
    ожидание
    имеет простой физический смысл: если
    на прямой разместить единичную массу,
    поместив в точки
    массу
    (для дискретного распределения), или
    размазав ее с плотностью
    (для непрерывного распределения), то
    будет являться центром тяжести прямой.
  • Пример 1.
    Найти математическое ожидание
    дискретной случайной величины ,
    заданной законом распределения:
ξ -5 2 3 4
P 0,4 0,3 0,1 0,2

Решение.
Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента.

Пример 2.
Найти математическое ожидание
случайной величины ,
заданной плотностью распределения: Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Умножение вектора на число - справочник студента

Оценим за полчаса!

Решение.

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

Как
следует из определения, математическое
ожидание существует не для всех случайных
величин. Например: пусть случайная
величина
принимает значения
с вероятностью Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента.
Заметим, что Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента,
однако: Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента.

  1. Свойства
    математического ожидания.
  2. Свойство 1.
    Математическое ожидание постоянной
    равно самой постоянной:
  3. .
  4. Доказательство:
    Постоянную можно рассматривать, как
    случайную величину, которая может
    принимать одно значение
    с вероятностью равной 1, следовательно
    Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента.
  5. Свойство 2. Для
    произвольной функции ,
    случайного аргумента :

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

Доказательство.
Докажем для дискретной случайной
величины. Пусть
принимает значения
с вероятностями .
Тогда

  • Свойство 3. Математическое
    ожидание произведения постоянной
    величины на случайную величину равно
    произведению этой постоянной на
    математическое ожидание случайной
    величины:
  • (2.11)
  • Доказательство:
    (
    для дискретной величины)
  • .
  • Свойство 4. Математическое
    ожидание суммы постоянной и случайной
    величины равно сумме постоянной величины
    и математического ожидания случайной
    величины:

. (2.12)

Доказательство:
(
для дискретной величины)

.

Определение 3.
Случайная величина
(отклонение случайной величины от ее
матожидания) называется центрированной
случайной величиной
. Очевидно,
что .

Математическое
ожидание является важнейшей из
характеристик положения. Среди прочих
характеристик положения выделяют моду
и медиану случайной величины.

Определение 4.
Модой случайной величины
называют ее наиболее вероятное значение
для дискретной случайной величины, и
значение, которому соответствует
максимум плотности вероятности, для
непрерывной случайной величины.

Так, для случайной
величины, рассмотренной в примере 1 — ,
а для случайной величины, рассмотренной
в примере 2 — .

Если максимум один,
распределение называется одномодальным,
если два – двумодальным и т.д.

Определение 5. Медианой
случайной величины

называется такое значение ,
для которого ,
то есть корень уравнения .

Пример 3.
Найти медиану
случайной величины ,
рассмотренной в примере 2.

  1. Решение.
    Найдем функцию распределения:
  2. Решаем
    уравнение: .
  3. В случае симметричного
    одномодального распределения
    математическое ожидание, мода и медиана
    случайной величины совпадают.

2.2.2 Дисперсия случайной
величины

Если
математическое ожидание случайной
величины дает нам ее среднее значение,
относительно которого разбросаны
значения рассматриваемой случайной
величины, то дисперсия характеризует
«степень разброса» значений случайной
величины около ее среднего.

Определение 6.
Дисперсией
случайной величины
называется математическое ожидание
квадрата отклонения значения случайной
величины от ее математического ожидания,
т.е.

  • (2.13)
  • Для дискретной случайной
    величины: (2.14)
  • Для непрерывной случайной величины:
    (2.15)
  • Свойства дисперсии.
  • Свойство 1. Для
    дисперсии
    случайной величины
    справедлива формула:
  • (2.16)
  • Доказательство:
    (для дискретной случайной величины)

Свойство 2. Дисперсия
постоянной равна нулю. .

Доказательство:

.

Свойство 3. Дисперсия
произведения постоянной величины на
случайную величину равна произведению
квадрата этой постоянной на дисперсию
случайной величины:

. (2.17)

  1. Доказательство:
  2. .
  3. Свойство 4. Дисперсия
    суммы постоянной и случайной величины
    равна дисперсии случайной величины:

. (2.18)

  • Доказательство:
  • Дисперсия
    имеет размерность квадрата случайной
    величины, для характеристики рассеивания
    же удобнее использовать величину
    размерность которой совпадает с
    размерностью случайной величины.

Определение 7.
Величина
называется среднеквадратичным
отклонением случайной величины.

Определение 8.
Случайная величина называется
нормированной, если .
Нормированной случайной величиной,
очевидно, является величина .

Определение 9.
Случайная величина называется
стандартизированной, если

и .
Стандартизированной случайной величиной
является величина .

Определение 9.
Случайная величина называется вырожденной,
если .
Вырожденная случайная величина — это
величина, которая принимает единственное
значение с вероятностью 1.

Пример 4.
Найти дисперсию
и среднеквадратичное отклонение
для дискретной случайной величины ,
определенной в примере 1.

Решение.
Воспользуемся формулой .

Найдем
математическое ожидание :

.

Учитывая,
что
находим ,
.

2.2.3 Начальные и
центральные моменты

Определение 10.
Начальным моментом -го
порядка
случайной величины
называется величина .

Для дискретной случайной
величины . (2.19)

Для непрерывной
случайной величины . (2.20)

Нетрудно убедиться,
что первый центральный момент есть
математическое ожидание случайной
величины: .

Определение 11.
Центральным моментом -го
порядка
случайной величины
называется величина .

Для дискретной случайной
величины . (2.21)

Для непрерывной
случайной величины. . (2.22)

Первый центральный
момент для любых случайных величин
равен нулю: .
Нетрудно убедиться, что второй центральный
момент есть дисперсия случайной величины
.

Чтобы прояснить связь
моментов различных порядков, приведем
без доказательства следующую теорему.

Неравенство Йенсена.
Пусть функция
выпукла вниз (вверх). Тогда для любой
случайной величины
с конечным первым моментом

(), (2.23)

причем равенство
возможно лишь, если,
— вырожденная случайная величина ().

Например,
и т.п. Заметим, что если функция
линейна, то по свойствам математического
ожидания .

Следствие. Если
,
при некотором ,
то

(2.24)

Если случайная величина
распределена симметрично относительно
математического ожидания, то все
центральные моменты нечетных порядков
равны нулю. Для характеристики степени
отклонения распределения от симметричного
используют центральный момент третьего
порядка.

Читайте также:  Социальные эмоции - справочник студента

Определение 12.
Величина
называется коэффициентом асимметрии
или коэффифициентом скошенности
.

Четвертый
центральный момент служит для
характеристики островершинности
распределения.

Определение 13.
Величина
называется эксцессом случайной
величины или коэффициентом островершинности
.

Эксцесс показывает,
насколько распределение отличается от
так называемого нормального распределения,
для которого .

Моменты
порядков более четвертого, как правило,
не используются.

2.2.4 Квантили и
критические точки распределения

Определение 14.
Квантилем, отвечающим заданой
вероятности
,
или нижней критической точкой порядка
,распределения непрерывной случайной
величины
называется действительное число ,
удовлетворяющее уравнению .

Квантиль порядка 1/2
есть медиана.

Определение 15.
(Верхней) критической точкой
порядка
распределения непрерывной случайной
величины
называется действительное число ,
удовлетворяющее уравнению .

Очевидно,
что квантиль порядка
совпадает с критической точкой порядка
=1-

Источник: https://gigabaza.ru/doc/28090.html

Числовые характеристики случайной величины. Лекция 2 — презентация, доклад, проект скачать

Слайд 1

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Числовые характеристики случайной величины Лекция 2

Слайд 2

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Числовые характеристики      1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).      2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(х)).      3. Характеристики формы кривой y = φ(x) (асимметрия As, эксцесс Ех).

Слайд 3

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Математическое ожидание  Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х.

Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений: Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределения φ(x) математическим ожиданием называется  следующий интеграл:

Слайд 4

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Свойства математического ожидания      1. М(С) = C, где С = const;      2. M(C∙Х) = С∙М(Х);      3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные величины;      4. М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y), где X и Y – независимые случайные величины.

Слайд 5

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Мода      Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо, называется ее наиболее вероятное значение, а модой непрерывной случайной величины – значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Слайд 6

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Медиана Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.
     Р(Х  Ме)
     

Слайд 7

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Дисперсия Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания
     D(X) = M(X –М(Х))2.

     Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле:
     а) для дискретной величины
           б) для непрерывной случайной величины
                          
     Дисперсия обладает следующими свойствами:
     1.

 D(C) = 0,   где С = const;
     2. D(C×X) = C2∙D(X);
     3. D(X±Y) = D(X) + D(Y), если X и Y независимые случайные величины.

Слайд 8

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Среднее квадратическое отклонение Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е. 
     σ(X) =

Слайд 9

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Моменты случайных величин      Начальным моментом k-го порядка αk случайной величины Х называется математическое ожидание величиныХk, т.е. αk = М(Хk).
     Начальный момент первого порядка – это математическое ожидание случайной величины.      Центральным моментом k-го порядка μk случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х–М(Х))k, т.е. μk = М(Х–М(Х))k.

     Центральный момент второго порядка – это дисперсия случайной величины.      Для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой αk =  , а центральный – суммой μk=     где рi = p(X = xi).

Для начального и центрального моментов непрерывной случайной величины можно получить следующие равенства:
     αk =  ,  μk =   ,
     где φ(x) – плотность распределения случайной величины Х

Слайд 10

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаОписание слайда:

Коэффициент асимметрии Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину m3 отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения более полога слева от М(Х). Если коэффициент As положительный, то кривая распределения более полога справа.

Слайд 11

Описание слайда:

Эксцесс Эксцессом Еk называется величина
     Еk = μ4 / σ4 – 3.
     Эксцесс служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого эксцесс равен нулю.

Слайд 12

Описание слайда:

Основные распределения дискретной случайной величины

Слайд 13

Описание слайда:

Биноминальное распределение Пусть в каждом из n независимых испытаний событие А может произойти с одной и той же вероятностью р(следовательно, вероятность непоявления q =1 – p). Дискретная случайная величина Х – число наступлений события А– имеет распределение, которое называется биномиальным.

Слайд 14

Описание слайда:

Распределение Пуассона Это распределение представляет собой предельный случай биномиального, когда вероятность р очень мала, а число испытаний n велико.
          Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями 

Слайд 15

Описание слайда:

Распределение Пуассона      Закон Пуассона описывает число событий k, происходящих за одинаковые промежутки  времени.

При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, которая характеризуется параметром λ = n·p       По распределению Пуассона распределено, например число посетителей магазина или банка за определенный промежуток времени, при этом λ – среднее число посетителей за это время.
     Предположим, что в среднем в магазин приходит 2,1 покупатель в минуту. Тогда,

Слайд 16

Описание слайда:

Равномерное распределение Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность имеет следующий вид: График плотности распределения

Слайд 17

Описание слайда:

Показательное распределение Непрерывная случайная величина Х, функция плотности которой задается выражением называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение. Здесь параметр λ постоянная положительная величина.

Слайд 18

Описание слайда:

Нормальное распределение Случайная величина Х имеет нормальное распределение (или распределение по закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:
    
     где параметры а – любое действительное число и σ >0. График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Слайд 19

Описание слайда:

Примеры решения задач

Слайд 20

Описание слайда:

Решение задачи на классическую вероятность Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30.

С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

Слайд 21

Описание слайда:

Решение задачи на классическую вероятность Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30.

С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

Решение: подсчитаем количество всех возможных двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент: Ответ: 1/18.

Слайд 22

Описание слайда:

Схема Бернулли Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных.
n=100, k=7,m=5, l=3

Слайд 23

Описание слайда:

Схема Бернулли Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных.
n=100, k=7,m=5, l=3 Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n=5 (число испытаний), k=5−3=2 (число «успехов», неисправных аккумуляторов). Получаем Ответ: 0,0394.

Слайд 24

Описание слайда:

Теоремы сложения и умножения вероятностей Задача: трое учащихся на экзамене независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Вероятности ее решения этими учащимися равны 0,8, 0,7 и 0,6 соответственно. Найдите вероятность того, что хотя бы один учащийся решит задачу.

Слайд 25

Описание слайда:

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Слайд 26

Описание слайда:

Формула полной вероятности Задача. Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии, остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй — 3%, в третьей – 6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.

Слайд 27

Описание слайда:

Формула полной вероятности

Слайд 28

Описание слайда:

Формула Байеса Задача. Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0.6, 8 — с вероятностью 0.5 и 10 – с вероятностью 0.7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

Слайд 29

Описание слайда:

Формула Байеса

Слайд 30

Описание слайда:

Формула Байеса

Слайд 31

Описание слайда:

Биноминальный закон распределения Задача. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года.

Слайд 32

Описание слайда:

Биноминальный закон распределения

Слайд 33

Описание слайда:

Закон распределения Пуассона Задача. Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Найти вероятность того, что за 6 часов взлетят: А) три самолета, Б) не менее двух самолетов

Слайд 34

Описание слайда:

Закон распределения Пуассона

Слайд 35

Описание слайда:

Примеры решения задач по математической статистике

Слайд 36

Описание слайда:

Простой вариационный ряд Задача 1. Дан следующий вариационный ряд 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 2 4 4 4 5 5 5
Требуется 1) Построить полигон распределения
2) Вычислить выборочную среднюю, дисперсию, моду, медиану.
3) Построить выборочную функцию распределения
4) Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

Слайд 37

Описание слайда:

Простой вариационный ряд

Слайд 38

Описание слайда:

Простой вариационный ряд

Слайд 39

Описание слайда:

Простой вариационный ряд

Слайд 40

Описание слайда:

Простой вариационный ряд

Слайд 41

Описание слайда:

Интервальный ряд Задача. Проведено выборочное обследование магазинов города. Имеются следующие данные о величине товарооборота для 50 магазинов города (xi – товарооборот, млн. руб.; ni – число магазинов). xi 25-75 75-125 125-175 175-225 225-275 275-325
ni 12 15 9 7 4 3 Найти а) среднее, среднее квадратическое отклонение S и коэффициент V; б) построить гистограмму и полигон частот.

Слайд 42

Описание слайда:

Интервальный ряд

Слайд 43

Описание слайда:

Интервальный ряд

Слайд 44

Описание слайда:

Задачи на построение доверительных интервалов Строительная компания хочет оценить среднюю стоимость ремонтных работ, выполняемых для клиентов. Каким должен быть объем выборки среди 1200 клиентов строительной фирмы, если среднее квадратическое отклонение по результатам пробного обследования составило 850 у.е., а предельная ошибка выборки не должна превышать 200 у.е. с вероятностью 0,95?

Слайд 45

Описание слайда:

Задачи на построение доверительных интервалов

Слайд 46

Описание слайда:

Задачи на построение доверительных интервалов С целью размещения рекламы опрошено 420 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 170 человек. С доверительной вероятностью 0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае

Слайд 47

Описание слайда:

Задачи на построение доверительных интервалов С целью размещения рекламы опрошено 420 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 170 человек. С доверительной вероятностью 0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае

Слайд 48

Описание слайда:

Основные формулы

Слайд 49

Слайд 50

Слайд 51

Слайд 52

Слайд 53

Слайд 54

Слайд 55

Слайд 56

Слайд 57

Слайд 58

Слайд 59

Источник: https://mypresentation.ru/presentation/chislovye-xarakteristiki-sluchajnoj-velichiny-lekciya-2

Вычисление числовых характеристик двух дискретных случайных величин (X, Y)

Законом распределения двух дискретных случайных величин называют перечень возможных значений и соответствующих им вероятностей совместного появления. В табличной форме этот закон имеет следующий вид

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

При подаче таблице использованы следующие обозначения

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студентаЧисловые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

Условие нормировки для двух дискретных случайных величин имеет следующий вид:

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

  • Основные числовые характеристики для случайных величин , образующих систему
  • Математическое ожидание определяется по формуле
  • Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента
  • Дисперсия и среднее квадратическое отклонение для каждой дискретной величины определяют по правилам

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

  1. При изучении системы двух и более случайных величин приходится выяснять наличие связи между этими величинами и его характер. С соответствующей целью применяют корреляционный момент
  2. В случае нулевого значения корреляционного момента связь между величинами и, и, принадлежащих системе отсутствует.
  3. Когда момент отличен от нуля , то между дискретными величинами и существует корреляционная связь. Тесноту корреляционной связи характеризует коэффициент корреляции
  4. , или

Итак, если случайные величины и независимы, то корреляционный момент равен нулю и . Равенство нулю является необходимым, но не достаточным условием независимости случайных величин. Может существовать система зависимых случайных величин, в которой коэффициент корреляции равен нулю.

Примером такой системы является система двух случайных величин, которая равномерно распределена внутри круга радиусом с центром в начале координат. Две случайные величины и называют некоррелированными, если коэффициент корреляции равен нулю , и коррелированными в противном случае Следовательно, если и независимы, то они будут и некоррелированными.

Читайте также:  Система блоков - справочник студента

Но с некоррелированности случайных величин в общем случае не следует их независимость.

  • ——————————————
  • Приведем решение распространенного на практике примера.
  • Пример 1. Задан закон распределения системы двух дискретных случайных величин (X,Y):
  • Найти неизвестную константу . Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее матиматичне отклонения, корреляционный момент и коэффициент корреляции
  • Решение. Применяя условие нормирования, находим каонстанту
  • По найденным закон системы набирает такой вид:
  • Основные числовые характеристики вычисляем по приведенным выше формулам. Математическое ожидание величины X получит значение
  • Дисперсия и среднее квадратичное отклонение набудут вида
  • Аналогичные вычисления выполняем для нахождения числовых характеристик случайной величины Y
  • Находим математическое ожидание появления обоих событий
  • Значение корреляционного момента вычисляем по формуле
  • Поскольку корреляционный момент отличен от нуля , то между соответствующими величинами X и Y существует корреляционная связь.
  • Для измерения тесноты корреляционной связи вычислим коэффициент корреляции
  • ——————————

Подобных примеров можно найти немало в интернете и решебниках по теории вероятностей. Принцип их решения остается неизменным, поэтому хорошо проанализируйте приведенный пример. Если возникают трудности в вычислениях — обращайтесь, мы Вам поможем.

Источник: https://yukhym.com/ru/sluchajnye-velichiny/vychislenie-chislovykh-kharakteristik-dvukh-diskretnykh-sluchajnykh-velichin.html

Числовые характеристики случайных величин

  • Случайная величина может быть описана частично с помощью числовых характеристик.
  • Числовые характеристики –наиболее существенные особенности распределения.
  • Различают:
  • 1) Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Математическим ожиданием (МО) или случайной величины называется ее среднее значение. имеет размерность СВ.

МО обладает свойствами:

1. МО постоянной величины равно самой постоянной: Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента .

Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента Числовые характеристики систем двух случайных величин - Справочник студента

Произведение двух независимыхслучайных величин и — это случайная величина , возможные значения которой равны произведениям возможных значений СВ на возможные значения СВ .

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависим от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимые.

Несколько СВ взаимно независимы, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие значения приняли остальные величины.

4. МО суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых .

МО суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Например, для трех СВ .

Суммой случайных величин и называют СВ , возможные значения которой равны суммам возможных значений СВ с возможными значениями СВ .

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение

Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого , т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше .

2) Характеристики рассеяния (разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания): дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия или случайной величины — это математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Разность между СВ и ее МО называется отклонением или центрированной СВ.

МО отклонения равно 0. .

Размерность равна квадрату СВ.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна 0: .

  1. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводим его в квадрат
  2. 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин
  3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин. Например, для трех СВ
  4. Дисперсия суммы постоянной величины и СВ равна дисперсии СВ
  5. 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсии

Среднее квадратическое отклонение илислучайной величины — это положительное значение корня квадратного из дисперсии. Предназначена для более наглядного представления характеристики «рассеяния», т.к.

имеет размерность случайной величины в отличие от дисперсии. Может быть также использована для ориентировочной оценки диапазона возможных значений СВ.

Диапазон практически возможных значений СВ не выходит за пределы

,

т.н. правило трех сигм.

3) Начальный теоретический момент -го порядка или случайной величины — математическое ожидание -ой степени этой случайной величины. Начальный момент нулевого порядка равен . Начальный момент первого порядка (первый момент) есть, МО

4) Центральный теоретический момент -го порядка или случайной величины — математическое ожидание -ой степени отклонения (разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием).

  • Центральный момент 0-го порядка равен 1.
  • Центральный момент 1-го порядка равен 0.
  • Центральный момент 2-го порядка есть дисперсия.
  • Центральный момент 3-го порядка служит для характеристики ассиметрии относительно МО (или «скошенности» распределения) и используется в формуле для расчета коэффициента ассиметрии (или просто ассиметрии).

Центральный момент 4-го порядка служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. «островершинности» или «плосковершинности» распределения, который называется эксцесс

  1. Центральные моменты выражаются через начальные

Источник: https://megaobuchalka.ru/5/3750.html

Оценки для числовых характеристик системы случайных величин

В подразделах 14.1 — 14.4 мы рассмотрели задачи, связанные с оценками для числовых характеристик одной случайной величины при ограниченном числе опытов и построением для этих характеристик доверительных интервалов.

  • Аналогичные вопросы возникают и при обработке ограниченного числа наблюдений над двумя и более случайными величинами.
  • Здесь мы ограничимся рассмотрением только точечных оценок для характеристик системы.
  • Рассмотрим сначала случай двух случайных величин.
  • Имеются результаты п независимых опытов над системой случайных величин (X, Y), давшие результаты:

Требуется найти оценки для числовых характеристик системы; математических ожиданий тх, ту, дисперсий Dx, Dy и корреляционного момента Кху.

Этот вопрос решается аналогично тому, как мы решили его для одной случайной величины. Несмещенными оценками для математических ожиданий будут средние арифметические:

а для элементов корреляционной матрицы —

Доказательство может быть проведено аналогично подразделу 14.2. При непосредственном вычислении оценок для дисперсий и корреляционного момента часто бывает удобно воспользоваться связью между центральными и начальными статистическими моментами:

где

Вычислив статистические моменты по формулам (14.6.3), можно затем найти несмещенные оценки для элементов корреляционной матрицы по формулам:

Пример. Произведены стрельбы с самолета по земле одиночными выстрелами. Зарегистрированы координаты точек попаданиям и одновременно записаны соответствующие значения угла скольжения самолета. Наблюденные значения угла скольжения р (в тысячных радиана) и абсциссы точки попадания Х(в метрах) приведены в табл. 14.6.1.

Таблица 14.6.1

/ Р/ Xi i Pi Xi
1 -8 -10 и +3 -1
2 + 10 -2 12 -2 +4
3 +22 +4 13 28 + 12
4 +55 + 10 14 +62 +20
5 +2 -1 15 -10 -11
6 -30 -16 16 -8 +2
7 -15 -8 17 +22 + 14
8 +5 -2 18 +3 +6
9 + 10 +6 19 -32 -12
10 + 18 +8 20 +8 + 1

Найти оценки для числовых характеристик системы ф, X). Решение. Для наглядности наносим все пары значений ф, X) на график (рис. 14.6.1). Расположение точек на графике уже свидетельствует о наличии определенной зависимости (положительной корреляции) между р и X.

По формулам (14.6.1) вычисляем средние значения величин р и X— оценки для математических ожиданий:

Далее находим статистические вторые начальные моменты:

По формулам (14.6.3) находим статистические дисперсии:

Для нахождения несмещенных оценок умножим статистические дисперсии на получим:

Соответственно средние квадратичные отклонения равны:

По последней формуле (14.6.4) находим статистический начальный момент:

и статистический корреляционный момент:

Для определения несмещенной оценки умножаем его на получаем:

откуда оценка для коэффициента корреляции равна:

Рис. 14.6.1

  1. Полученное сравнительно большое значение грх указывает на наличие существенной связи между Р и X; на этом основании можно предполагать, что скольжение является основной причиной боковых отклонений снарядов.
  2. Перейдем к случаю обработки наблюдений над системой произвольного числа случайных величин.
  3. Имеется система т случайных величин

Над системой произведено п независимых наблюдений; результаты этих наблюдений оформлены в виде таблицы, каждая строка которой содержит т значений, принятых случайными величинами Х1, Х2,…, Хт в одном наблюдении (табл. 14.6.2).

Таблица 14.6.2

/ Х х2 Хк Хщ
1 *п Хц Хт
2 *12 *22 хп Хщ2
/ хи *2,' Хк! X/ni
п Хщ *2/, Х/аг У~тп

Числа, стоящие в таблице и занумерованные двумя индексами, представляют собой зарегистрированные результаты наблюдений; первый индекс обозначает номер случайной величины, второй — номер наблюдения, так что хк, — это значение, принятое величиной Хк в /-м наблюдении.

Требуется найти оценки для числовых характеристик системы: математических ожиданий тч,тХ2,…,тхт и элементов корреляционной матрицы:

По главной диагонали корреляционной матрицы, очевидно, стоят дисперсии случайных величин Хх,Х2, …, :

Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические:

Несмещенные оценки для дисперсий определятся по формулам

а для корреляционных моментов — по формулам

По этим данным определяются оценки для элементов нормированной корреляционной матрицы:

где

Пример. Сброшено 10 серий бомб, по 5 бомб в каждой, и зарегистрированы точки попадания. Результаты опытов сведены в табл. 14.6.3. В таблице буквой / обозначен номер серии; к — номер бомбы в серии.

Требуется определить подходящие значения числовых характеристик — математических ожиданий и элементов корреляционных матриц — для системы пяти случайных величин

и системы пяти случайных величин

Решение. Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические по столбцам:

При вычислении элементов корреляционной матрицы мы не будем, как в прежних примерах, пользоваться соотношениями между начальными и центральными моментами; в данном случае ввиду сильно изменяющихся математических ожиданий пользование этим приемом не даст преимуществ. Будем вычислять оценки для моментов непосредственно по формулам (14.6.2). Для этого вычтем из каждого элемента табл. 14.6.3 среднее значение соответствующего столбца. Результаты сведем в табл. 14.6.4.

Таблица 14.6.3

Абсцисса X Ордината Y
>4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 -120 -20 2 60 180 -20 -15 -8 -6 -2
2 -108 -75 -20 20 80 40 60 120 125 130
3 -200 -120 -80 -20 10 -25 -30 -20 -10 2
4 -55 -2 40 120 200 -100 -75 -35 2 2
5 5 60 100 165 220 -40 -30 -25 -30 -45
6 -240 -202 -140 -88 -30 80 30 25 10 2
7 10 65 120 160 205 14 25 25 30 10
8 -40 0 65 103 170 80 75 60 10 -4
9 -100 -40 -10 55 105 -70 -60 -30 -10 0
10 105 135 190 280 330 2 4 10 12 4

Таблица 14.6.4

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 -45,7 -0,1 -25,7 -25,8 33,0 -16,1 -13,4 -20,2 -19,3 -11,9
2 -33,7 -55,1 -37,7 -65,8 -67,0 43,9 61,6 107,8 111,7 120,1
3 -125,7 -100,1 -107,7 -105,8 -137,0 -21,1 -28,4 -32,2 -23,3 -7,9
4 19,3 17,9 12,3 34,2 53,0 -96,1 -73,4 -47,2 -11,3 -7,9
5 79,3 79,9 72,3 79,2 73,0 -36,1 -28,4 -37,2 -43,3 -54,9
6 -165,7 -182,1 -167,7 -173,8 -177,0 83,9 31,6 12,8 -3,3 -7,9
7 84,3 84,9 92,3 74,2 58,0 17,9 26,6 12,8 16,7 0,1
8 34,3 19,9 37,3 17,2 23,0 83,9 76,6 47,8 -3,3 -13,9
9 -25,7 -20,1 -37,7 -30,8 -42,0 -66,1 -58,4 -42,2 -23,3 -9,9
10 179,3 154,9 162,3 194,2 183,0 5,9 5,6 -2,2 -1,3 -5,9

Возводя эти числа в квадрат, суммируя по столбцам и деля на п — 1 = 9, получим оценки для дисперсий и средних квадратичных отклонений:

Чтобы найти оценку для корреляционного момента, например между величинами Х и Х2, составим столбец попарных произведений чисел, стоящих в первом и втором столбцах табл. 14.6.4[1]. Сложив все эти произведения и разделив сумму на п — 1, получим:

Деля Кхт на аХ| аХ2, получим:

Аналогично находим все остальные элементы корреляционных матриц. Для удобства умножим все элементы обеих матриц моментов на 10-2. Получим:

(Ввиду симметричности матриц они заполнены только наполовину.)

Нормированные корреляционные матрицы имеют вид:

Рассматривая эти матрицы, убеждаемся, что величины (Х{, Х2, Х3, Х4, Х5) находятся в весьма тесной зависимости, приближающейся к функциональной; величины (Ур У2, У3, Y4, Ys) связаны менее тесно, и коэффициенты корреляции между ними убывают по мере удаления от главной диагонали корреляционной матрицы.

Источник: https://bstudy.net/637845/estestvoznanie/otsenki_chislovyh_harakteristik_sistemy_sluchaynyh_velichin

Ссылка на основную публикацию