Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций — справочник студента

• Новый материал
• Функция
• Область определения D(y)
• y=sin x
• Множество значений E(y)
• y=cos x
• y=tg x
• y=ctg x
• R
• R
• R
• R

1. Домашнее задание
2. № 1 (4,6), № 2 (4,6),
3. № 3 (1,2), № 5 (2)
4. стр.6

Решение упражнений

1. Найдите область определения функции:

Решение упражнений

2. Найти множество значений функции:

• Решение упражнений
• 3. Найдите область определения функции:
• Решение
• 
• 
• 
• 
• 0
• •
• -1

Решение упражнений

3. Найдите область определения функции:

Четность и нечетность тригонометрических функций

11 класс

1. Домашнее задание
2. № 12, 13 (все)
3. стр.11

Симметрия относительно оси Оу и начала координат

Четные функции

• Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения функции верно равенство f(-x) = f(x).
• Чтобы узнать является ли функция четной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную( –x ).

Четные функции

• Например: является ли четной функция f(x) = 3x 2 + 2
• f (-x) = 3(-x) 2 + 2 = 3x 2 + 2 = f(x) – функция четная

Четные функции

• Проверим являются ли данные функции четными

• f( — x) = 2(-x) 4 – 3(-x) 2 = 2x 4 — 3x 2 — четная
• f ( — x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) 2 = – x 3 – 2x 2 Не является четной

• f(x) = 2x 4 — 3x 2
• f (x) = x 3 — 2x 2

График четной функции

• График четной функции симметричен относительно оси ординат (ось ОУ).

Нечетные функции

• Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения функции верно равенство

f(-x) = — f(x).

• чтобы узнать является ли функция нечетной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную ( – x ) и получить первоначальную функцию с противоположными знаками .

Нечетные функции

• Например: является ли нечетной функция f(x) = 3x 3 + х
• f (-x) = 3(-x) 3 + (-х) = — 3x 3 — х = -( 3x 3 + х)=

= — f(x) – функция нечетная

Нечетные функции

• Проверим являются ли данные функции нечетными

• f ( — x) = 2(-x) 4 + 3(-x) = = 2x 4 — 3x — не является нечетной
• f ( — x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) = – x 3 + 2x нечетная

• f(x) = 2x 4 + 3x
• f (x) = x 3 — 2x

График нечетной функции

• График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четные и нечетные функции

• Функции могут быть как четными, нечетными , так и ни четными, ни нечетными.

Пример: y (x) = x 2 + 2x

y(-x) = (-x) 2 + 2(-x) = x 2 — 2x

Для любого значения x верны равенства :

• Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x
• Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x
• Sin(-x) = -Sin x
• Cos(-x) = Cos x

• Следовательно :
• y= Sin x – нечетная функция
• y= Cos x – четная функция

1. Так как для любого значения x из области определения функции
2. y = tg x верно равенство
3. tg(-x) = -tg x ,
4. то y = tg x – нечетная функция.

• Пример
• Выяснить, является ли функция
• y = 2 + Sin 2 x четной или нечетной.
• Решение :
• y(-x) = 2 + Sin 2 (-x) = 2 + (-Sin x) 2 =
• =2 + Sin 2 x = y(x) 
•  y = 2 + Sin 2 x – четная функция .

Пример: определите, является ли данная функция четной или нечетной

Решение:

Работа в тетрадях

Определите, являются ли данные функции четными или нечетными:

Разбейте функции на три группы:

• четные
• нечетные
• не являются ни четными, ни нечетными

1. Проверяем ответы
2. четные
3. нечетные
4. 1

ни чет., ни нечет.

• 2
• 4
• 5
• 3
• 9
• 10
• 7
• 6
• 15
• 8
• 11
• 14
• 12
• 13

Подведение итогов урока

• y=sinx – нечетная функция,

т.к. sin(-x)=-sinx

График функции симметричен относительно начала координат

2. y=cosx – нечетная функция,

т.к. cos(-x)=cosx

График функции симметричен относительно оси Оу

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

11 класс

Для любого значения x верны равенства :

• Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х
• Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х
• Sin (x + 2 π ) = Sin x
• Cos (x + 2 π ) = Cos х

Следовательно, значения Sin и Cos периодически повторяются при изменении аргумента на 2 π .

Такие функции называются периодическими с периодом 2 π .

1. Функция f(x) называется периодической , если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство
2. f(x – T) = f(x) = f(x + T).
3. Число T называется периодом функции f(x).

Покажем, что число 2 π является наименьшим положительным периодом функции y = Cos x.

Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство

Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0 , получим Cos T = 1. Отсюда T = 2 π k, k є Ζ . Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2 π , 4 π , 6 π , …, и поэтому период не может быть меньше 2 π .

• Аналогично можно доказать, что наименьший положительный период функции y = Sin x также равен 2 π
• Пример :
• Доказать, что f(x) = Sin 3x – периодическая функция с периодом ( 2 π ) /3.
• Доказательство :
• Данная функция определена для всех x є R , поэтому достаточно показать, что для любого x верно равенство f(x + T) = f(x) .
• f(x + (2 π )/3) = Sin 3(x + (2 π )/3) =
• = Sin (3x + 2 π ) = Sin 3x = f(x)

Покажем, что функция y= tg x является периодической с периодом π .

Если x принадлежит области определения этой функции, т.е. x ≠ — π /2 + π n, n є Ζ , то по формулам приведения получаем

tg(x – π ) = -tg( π – x) = -(-tg x) = tg x

tg(x + π ) = tg x

Таким обтазом, tg(x – π ) = tg x = tg(x + π ). Следовательно, π – период функции у = tg x.

Покажем, что π – наименьший положительный период функции y = tg x.

Пусть Т – период тангенса, тогда tg(x + T) = tg x, откуда при x = 0 получаем tg T = 0, T = k π , k є Ζ . Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π – наименьший положительный период функции y = tg x.

1. Доказать, что у = tg (x/3) – периодическая функция с периодом 3 π .
2. Доказательство :
3. Так как tg ((x + 3 π )/3) = tg (x/3 + π ) = tg (x/3)
4. и
5. tg((x — 3 π )/3) = tg(x/3 – π ) = tg (x/3), то tg(x/3) – периодическая функция с периодом 3 π .

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/presentacii/priezientatsiia-dlia-uroka-alghiebry-i-nachala-analiza-po-tiemie-chietnost-niechietnost-pieriodichnost-trighonomietrichieskikh-funktsii-11-klass

Четность и нечетность тригонометрических функций

Skip to content Общие сведения Синус Косинус Тангенс Котангенс

Синус

sin x — нечетная функция:

Косинус

cos x — четная функция:

Тангенс

tg x — нечетная функция:

Котангенс

ctg x — нечетная функция:

Четная функция – это функция y=f(x) удовлетворяющая следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О.

   То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси ОY.

Нечетная функция – это функция y=f(x) удовлетворяющая следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О.

   То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Индифферентная функция (ни четная ни нечетная) – это функция которая не обладает симметрией

MATHVOX

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/trigonometria/osnovnie-ponyatiya-trigonometrii-opredelenie-trigonometricheskih-funkcii/glava-2-trigonometricheskie-funkcii/chetnost-i-nechetnost-trigonometricheskih-funkcii/

Основные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, ограниченность

Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

• 4) Монотонность функции.
• Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
• Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
• 5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого хиз области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная функция обладает следующими свойствами: 1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения. 2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x) 3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

1. Нечетная функция обладает следующими свойствами: 1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2. 2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x)

3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T — это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.



Источник: https://infopedia.su/16x9e62.html

Периодичность тригонометрических функций

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.

Свойства нечетности и периодичности

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т !=0 (называемое периодом функции у=f (х) ), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Следует понимать, что если Т — период функции, то число k*T, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.

Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π.

Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Тригонометрические функции: свойства и их графики
Следующая тема:   Свойства тригонометрических функций: гармонические колебания

Источник: http://www.nado5.ru/e-book/chetnye-i-nechetnye-funkcii-pereodichnost

Четность и периодичность тригонометрических функций

• Если   при   любых  допустимых значениях аргумента х
• f(x+T) = f (х),
• где Т — некоторое отличное от нуля число, то функция f (x) называется периодической, а число Т — ее периодом.
• Согласно этому определению функции sin x и cos х являются периодическими с  периодом   Т = 360°.

При n полных оборотах вектора ОА против часовой стрелки образуется угол φ + 360°n, а по часовой стрелке — угол φ — 360°n.

В каждом из этих случаев координаты х и у вектора не изменяются, а потому не изменяются sin φ и cos φ.

1. Таким образом,         cos φ = cos (φ + 360°n),
2. sin φ = sin  (φ + 360°n),                           (1)
3. где n — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Формулы (1) показывают, что каждый из углов360°; 720°;  1080°; … (n = 1, 2, 3, . . .), — 360°;   —720°;  —1080°;   …   (n = — 1,   —2,   —3,   . . .)

является периодом функции sin φ и cos φ. Таким образом, эти периодические функции имеют бесконечное множество периодов.

Можно доказать, что любая периодическая функция (а не только sin φ и cos φ) имеет бесконечное множество периодов.

Из всех рассмотренных выше периодов функции sin φ наименьшим  положительным  периодом является угол в 360°.

     Но, может быть, существует еще меньший угол, который мы   просто упустили из виду, но который, Также является периодом функции sin φ? Чтобы решить этот вопрос, предположим, что наименьший положительный период функции sin φ равен Т. Тогда при  любом  φ

sin   (φ + Т) = sin φ.

В частности,  при φ = 0 получаем: sinТ = sin  0° = 0.

Но нулю равны синусы лишь тех положительных углов, которые кратны углу в 180° , то есть углов в 180°, 360°, 540° и т. д. Поэтому единственным «конкурентом» для угла » 360° является угол в 180°.

Составляет ли он период функции sin φ? Если бы это было так, то равенство sin (φ + 180°) = sin φ должно было бы выполняться при всех значениях φ. В частности, при φ = 90° мы  получили  бы

sin 270° = sin 90°.

Ho sin 270° = —1,    a    sin 90° = 1 . Поэтому угол в 180° не является периодом функции sin φ. Остается признать, что периодом   (то    есть   наименьшим    положительным    периодом) функции sin φ является угол в 360°.

Аналогично можно доказать, что периодом функции cos φ также является угол в 360°  Предлагаем  учащимся  убедиться в этом самостоятельно.

Источник: http://oldskola1.narod.ru/trigF06.htm

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций Урок 4. — презентация

1 Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций Урок 4

2 Знания и навыки учащихся Знать определение четности и нечетности функции, периодичности тригонометрических функций Уметь находить период тригонометрических функций Уметь исследовать их на четность и нечетность

3 Повторение Функция y=f(x) называется четной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). Функция четна тогда и только тогда, когда её график симметричен относительно оси ординат.

Функция y=f(x) называется нечетной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x). Функция нечетна тогда и только тогда, когда её график симметричен относительно начала координат. Замечание.

Если нечетная функция определена при х=0, то f(0)=0.

Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаком.

Р(1; 0) О у х М 2 М 1 — sin sin(- ) cos tg(- ) =- tg, /2 + k, k Z ctg(- ) = — ctg, k, k Z sin(- ) = -sin, -любое cos(- ) = cos, -любое Эти равенства выражают свойства нечетности и четности тригонометрических функций.

5 Повторение Алгоритм выяснения четности функции 1. Найти D(f). 2. Выяснить, симметрична ли D(f) относительно О. 3. Выяснить, выполняется ли равенство: f(-x)=f(x).

Выполнение равенства f(-x)=f(x) означает, что для любого х Х и — х Х, то есть область определения четной функции есть множество, симметричное относительно нуля. Алгоритм выяснения нечетности функции: 1. Найти D(g). 2.

Выяснить, симметрична ли D(g) относительно О. 3. Выяснить, выполняется ли равенство: g(-x) = -g(x).

6 Практическая часть 1. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной:

7 Практическая часть 1. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной:

8 Теоретическая часть Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число Т, не равное 0, что для всех х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T). Замечание. Очевидно, если Т – период функции f(x), то (–Т) также период функции f(x), т. е. f(x-T)=f(x)=f(x+T). Теорема.

Покажем, что число 2 — наименьший положительный период функции y=cosx.

9 Теоретическая часть Пусть Т>0 — период функции y=cosx, т. е. для любого х выполняется равенство cos(x+T)=cosx. Пусть х=0, тогда cos(0+T)=cos0, т. е. cosT=1. Откуда Т=2 n, n Z. Так как Т>0, то Т может принимать значения 2, 4, 6, 8, … Период Т не может быть меньше 2.

Итак, наименьший положительный период функции y=cosx равен 2.

Свойство периодичности тангенса и котангенса в общем виде записывается как: tg x = tg(x + k) и ctg x = ctg(x + k), k Z sin x = sin(x + 2 k) и cos x = cos(x + 2 k), k Z Свойство синуса и косинуса, выраженное этими формулами, и называется периодичностью. Каждое из чисел 2, 4, 6, …, т.е.

2 k, k Z, прибавление которого к любому значению аргумента х не изменяет значений синуса и косинуса, называют периодом синуса и косинуса. Таким образом, периодами этих функций служат числа k, а наименьший положительный период тангенса и котангенса равен.

10 Периодичность тригонометрических функций у х О у х О у хО у={x} дробная часть числа Примеры графиков периодических функций

11 1 0 У X 1 X У 0 у= sin x 1 0 X У X У у=cos х X у= tg x у= сtg x

12 Практическая часть 702(1, 3, 5) Доказательство: Нужно показать, что для любого х из ООФ верно равенство f(x)=f(x+T). ч.т.д устно Доказательство: ч.т.д Доказательство: ч.т.д

13 Практическая часть 705(1) Решение: Наименьший положительный период функции косинус 2, значит, Следовательно, период Т= 5. Ответ: Т= 5.

Иное решение: Чтобы найти наименьший положительный период тригонометрической функции, нужно наименьший положительный период тригонометрической функции с аргументом х разделить на коэффициент при х данной функции: Наименьший положительный период функции косинус 2, значит, наименьший положительный период данной функции равен

15 Практическая часть 705(4) Решение: Наименьший положительный период функции синус 2, значит, Следовательно, период Т=. Ответ: Т=.

16 Домашнее задание 1. Определить, является ли данная функция четной или нечетной: (2, 4, 6), 705(2) Какие из тригонометрических функций являются четными? Какие — нечетными? Назовите наименьший положительный период каждой тригонометрической функции.

17 Практическая часть Определить, является ли данная функция четной или нечетной. По вариантам: вариант I: 1, 3, 5; вариант II: 2, 4, 6. Ответы: 1), 2), 5), 6) – четные; 3), 4) — нечетные

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1056595